基于D-DEA交叉效率的混合型多屬性決策方法

張興賢，王應明

（1.福州大學 決策科學研究所，福州 350116；2.銅陵學院 建筑工程學院，安徽 銅陵 244061）

0 引言

目前，針對這類含有投入產出指標的混合型多屬性決策問題已有學者進行了有益的探索，相關研究成果大致分為兩類:第1類是將模糊綜合評價（FCA）和數據包絡分析（DEA）兩種方法相結合，提出了不同類型的混合型多屬性決策方法[1-3]，第2類是將證據理論（DST）和數據包絡分析（DEA）兩種方法相結合，提出一種基于證據理論與DEA交叉效率的決策評價方法[4,5]。

上述兩類決策方法在一定程度上解決了混合型多屬性決策問題，但這兩類方法仍然存在某些不足:第1類方法考慮了在語言評估中的模糊性，但是不能融合多個專家的判斷結果來提高評估結果的客觀性。第2類方法通過融合多個專家的評估結果來降低專家評估的主觀性，但是沒有考慮在語言評估中的模糊性。換言之，證據理論假設識別框架中的元素必須是相互排斥的。然而，在語言評價中，語言等級如“不好”，“一般”和“好”并不能完全滿足這個要求。

為了結合上述兩類方法的優點，本文引入D數理論[6]，D數理論作為證據理論的擴展，因其識別框架非排斥性的假設而廣泛用于語言評價中[7，8]。將D數理論與數據包絡分析兩種方法相結合能很好地克服上述兩類方法的缺陷。

1 預備知識

1.1 DEA交叉評價方法

假設有n個決策單元（DMU）需要評估，每個評價單元均有m中投入和s種產出，對于第k個決策單元DMUk(k=1，2，…，n)，用χpk(p=1，2，…，m)表示DMUk的第p種投入量，用yrk表示DMUk的第r種產出量。在CCR模型下，對于任意第d個決策單元DMUd，利用下式計算得到最優效率值Edd和投入產出指標的最優權重，（μ*rd，ω*pd）[9]:

根據交叉評價思想，通過下式計算得到其他決策單元DMUk相對于這個決策單元的交叉效率：

從而得到交叉效率評價矩陣E，通過集結矩陣中交叉效率值可實現對決策單元的充分評價。針對交叉效率評價中還可能存在多重最優解問題，可采用壓它型策略或利眾型策略來消除交叉效率不唯一的問題。

1.2 證據理論

Dempster-Shafer理論（DST）[10]簡稱證據理論用來處理不確定信息。該理論最早由Dempster提出并由Shafer進一步發展。該理論需要弱化概率論的條件，因此被認為是概率論的擴展。作為一種不確定環境下的推理理論，證據理論擁有對多個目標構成的集合的子集分配概率來直接表達不確定性的優勢，而不是直接分配給個體目標。分配到每個子集的概率有上下限，分別表示測度子集總的信度函數和似真函數。此外，證據理論還能融合多個證據。

1.2.1 基本概念

定義1：設H為互不相容的基本命題（假定）組成的完備結合，H={H1,H2,….Hn}為一個識別框架（Frame of Discernment），2H為H的冪集：

2H={?，{H1},…{HN}，{H1，H2},…，{HN-1，HN},…{H1,…,HN}}，如果A∈2H，A稱為識別框架H中的一個命題（Proposition）。

定義2：設H為識別框架，如果集函數m:2H→[0,1]滿足：則稱m為識別框架H上的基本可信度分配（Basic Probability Assignment），也稱 mass函數。如果 m(A)＞0，A稱為焦元（Focal Element），所有焦元的集合稱為mass函數的核（Core）。

定義3：設命題A?H，則信度函數Bel:2H→[0,1]定似真函數Pl：2H→[0,1]定義為顯然

Pl(A)≥Bel(A)，信度函數和似真函數分別為命題A的上下限。

1.2.2 Dempster合成法則

Dempster證據合成法則是一個反映證據的聯合作用的法則。如果已知在同一識別框架上幾個相互獨立的證據的信度函數，且它們不是完全沖突的，那么就可以利用Dempster證據融合規則得到這幾個證據的聯合信度函數，該信度函數稱為這幾個證據信度函數的直和。Dempster證據合成法則如定理1所述。

定理1：設m1,m2,…,mn是統一識別框架上的基本可信度分配，Bel1,Bel2,…,Beln是與之對應的信度函數，如果這n個信度函數的組合Bel1⊕Bel2⊕…⊕Beln存在且基本可信度分配為m，則：

其中k為沖突因子，表達式為：

Dempster證據合成法則也稱作D-S證據合成法則，它滿足交換律和結合律。合成結果反映同一識別框架上幾個不同證據對命題A的聯合支持程度。

1.3 D數理論

證據理論的識別框架和基本概率分配都基于強烈的假設條件，這嚴重制約了證據理論表達各種不確定信息的能力。

第一，證據理論的識別框架必須要求是互不相容的基本命題（假設）組成的完備集合。但是，在多數情況在這些假設是難以被滿足的。例如，在語言評價中，經常會用到“非常好”，“好”，“一般”，“不好”，“很不好”等語言評價等級。但是這些語言評價等級之間包含交叉部分，因此在這種情況下證據理論的識別框架很難保證完全獨立。

第二，基本概率分配必須滿足完整性約束，即基本概率分配中焦元的和等于1。但是，多數情況下，決策者并不具備所有知識，因此只能基于部分信息進行評估，從而獲得不完全的基本概率分配。在開放世界，不完全的識別框架可能導致不完全的信息表達。證據理論不能融合含有不完全基本概率分配。此外，證據理論融合規則的計算量大，過于復雜，一定程度上限制了它的應用。

為了克服證據理論的上述缺陷，鄧勇[6]提出了一種新的表達不確定信息的理論D數。

定義4：設Ω為有限非空集合，如果集函數D:Ω→[0,1]滿足：

其中，?表示空集，B表示Ω中的一個子集。

可以看出D數的定義類似于mass函數，但是不同之處在于，第一，不同于證據理論的識別框架，在D數中Ω所包含的元素并不要求相互獨立。第二，在D數中完整性約束不在被要求。如果，則稱信息完全，如果，則稱信息不完全。

例1：假設評估一個項目，評估得分用區間[0，100]表示，根據證據理論，專家可以給出BPA表達評估結果：

其中，a1=[0,40],a2=[41,70],a3=[71,100]。{a1,a2,a3}構成識別框架。

然而，另一個專家根據D數表達評估結果：

其中b1=[0,45],b2=[38,73],b3=[61,100]。實際上，這里{b1,b2,b3}不是識別框架，因為{b1,b2,b3}中的元素并不滿足相互排斥。由于D({b1})+D({b3})+D({b1，b2,b3})=0.9 ，因此信息是不完全的。本例表明了mass函數與D數之間的區別。

對于一個離散集合 Ω={b1,b2,…,bi,…bn} ，其中bi∈R，并且bi≠bj,i≠j，D數的特殊形式可以表示為：

或 者 簡 化 表 示 成D{(b1,ν1) ，(b2,ν2),…，(bi,νi),…，(bn,νn)})，其中νi＞0，且定義5：置換不變性存在兩個D數滿足：則D1?D2。

例2：存在兩個D數：D1={( 0 ,0.7)，(1 , 0.3) }，且D2={(1 ,0.3)，(0 ,0.7) }，則D1?D2。

定義6：對于D={(b1,ν1) ，(b2,ν2),…，(bi,νi),…，(bn,νn)}，其D數集結表達式為：

其中bi∈R，νi＞0，且

例3：D={(1 ， 0.2) ，(2 ，0.1) ，(3 ，0.3) ，(4 ，0.3) ，(5 ，0.1)}，則I(D)=1×0.2+2×0.1+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.0

1.4 基于D-DEA交叉效率的評價方法

考慮到D數能很好地客服決策者的主觀性以及融合模糊屬性，本文運用D數理論來集結交叉效率值，其過程如下：

第一步：計算評價指標體系中定量指標的交叉效率值，交叉效率矩陣中每行的效率值利用每個決策單元的最優權重分別計算得到。

第二步:對評價指標體系中定量指標的交叉效率值和定性指標分別進行模糊等級轉換，得到轉換后的評價指標信息矩陣。模糊等級轉換方法具體如下:

其中，Hn(Ej)和Hn+1(Ej)分別表示定量指標隸屬于等級Hn和Hn+1的隸屬度。

（2）對于定性指標，建立評價等級，將評價指標體系中定性值與等級進行對應轉換。例如定性指標采用5個評價等級，即H=（{很差）H1，（差）H2，（一般）H3，（好）H4，（很好）H5)。其中,H1對應于1,H2對應于2,H3對應于3,H4對應于2,H5對應于5。

第三步:運用式（8），按照評價指標體系由下向上依次進行集結，逐層計算不同指標的（ID），并根據I（D）值的大小進行排序。

2 算例分析

為便于說明本文方法的可行性和優越性，運用文獻[4]、文獻[11]和文獻[12]中的算例數據進行說明。下面對8個實驗室進行評價，其中評價指標體系分為人力財力和綜合管理2個一級指標，人力財力包括3個定量的二級指標，人數、資金投入2個輸入指標和社會委托檢驗1個輸出指標，而綜合管理包括3個定性的二級指標運行管理、實驗科研和資源共享。各指標評價值和權重已知（見表1）。根據上述評價方法對8個實驗室I1，I2，…I8進行評價。

表1 評價指標體系

（1）本文采用壓它型策略的交叉效率評價模型[5],利用Excel軟計算得到人力財力指標的DEA交叉效率矩陣，如表2所示。

表2 DEA交叉效率值

（2）假設評價等級為5級，即（1，2，3，4，5）?（很差，差，一般，好，很好），等級效用分別為（0，0.25，0.5，0.75，1）。假設人力財力指標交叉效率值對應的不同等級定性值為（0，0.25，0.5，0.75，1）。

（3）運用式（9）將表2中每個決策單元的交叉效率值進行模糊等級轉換，得到轉換后的評價指標D數矩陣。然后運用式（8）對其進行集結，在集結過程中仍采用文獻[12]的思路，即實驗室自身評價權重為0.8，其他實驗室評價權重均為0.0285。計算得到的D數矩陣和I（D）。表略。

（4）將評價指標體系中定性值與等級進行對應轉換，得到轉換后的評價矩陣（見表3）。

表3 基于模糊等級轉化后的評價矩陣

（5）運用式（8），按照評價指標體系由下向上依次進行集結，分別得到8個實驗室的I（D），即得到實驗室的優劣順序為I4? I2? I3? I8? I7? I6? I5? I1，見表4、表5。

表4 基于D數理論集結交叉效率計算結果

表5 基于D數理論集結交叉效率計算結果及排序

與文獻[11]、文獻[12]和文獻[4]方法進行對比分析，分析結果如下：

與文獻[11]方法相比，評價結果基本一致，但本文方法區分度更高（見表6）。

表6 文獻[11]、文獻[12]和文獻[4]方法與本文方法的評價結果比較

與文獻[12]方法相比，本文排序結果只在實驗室I4，I5和 I6上有所不同，文獻[12]中實驗室I4，I5，I6的優劣順序為I4? I6? I5，而本文中實驗室I4，I5，I6的優劣順序為I6? I5? I4，從原始數據上看對比實驗室I4和I6，在綜合管理指標上提供的是相同的信息，而在人力財力指標上通過D數集結計算得到實驗室I6的I（D）大于實驗室I4的I（D），說明實驗室I6優于實驗室I4，此結論與文獻[4]是一致的。

與文獻[4]方法比較，本文排序結果只在實驗室I5和I6上有所不同，對比實驗室I5和I6的原始數據，在綜合管理指標上I5明顯弱于I6，而在人力財力指標上通過D數集結計算得到實驗室I5的I（D）略大于實驗室I6的I（D），從綜合的I（D）看實驗室I6優于實驗室I5。這與文獻[12]的結論一致。

3 結論

本文將D數理論與DEA交叉評價效率相結合，提出了一種新的混合型多屬性決策方法。該方法通過將定量指標和定性指標進行模糊等級轉換，采用D數理論對評價指標信息進行集結，從而克服了現有研究成果中存在的缺陷。最后通過與文獻[11]、文獻[12]和文獻[4]比較分析看出，本文方法是可行的且得出的優劣順序更為合理，而且計算過程更為簡便，為含有投入產出指標的混合型多屬性決策問題提供了新的視角。