Lee-Carter模型中各隨機(jī)成分的性質(zhì)分析及應(yīng)用

吳曉坤，李 鑫，蘇 雯

（華北電力大學(xué) 數(shù)理系，河北 保定 071003）

0 引言

隨機(jī)死亡率預(yù)測模型不但可以預(yù)測死亡率發(fā)展的趨勢，同時(shí)也可以度量預(yù)測結(jié)果的不確定性，即區(qū)間預(yù)測，廣泛應(yīng)用于人口、保險(xiǎn)、管理等領(lǐng)域。Lee和Carter(1992)[1]提出的Lee-Carter模型是隨機(jī)死亡率預(yù)測模型的經(jīng)典，后經(jīng)不斷改進(jìn)[2-5]，形成了Lee-Carter類模型，被廣泛用于世界各國的人口預(yù)測。這些研究的貢獻(xiàn)在于形成了Lee-Carter模型的泊松極大似然估計(jì)和隨機(jī)預(yù)測中與Bootstrap方法的結(jié)合。我國的很多研究者也使用Lee-Carter模型研究、預(yù)測我國人口的死亡率，但不限于這些研究[6-9]。Lee-Carter模型雖然看似形式簡潔，但其本質(zhì)不同于通常的線性回歸模型，對模型不恰當(dāng)?shù)睦斫猓赡軙?huì)導(dǎo)致模型運(yùn)用的不當(dāng)、不適，尤其是運(yùn)用模型進(jìn)行隨機(jī)預(yù)測（區(qū)間估計(jì)，區(qū)間預(yù)測）時(shí)。Lee-Carter模型在我國人口的研究中已經(jīng)有了很多的研究與應(yīng)用，本文主要討論模型中隨機(jī)成分的來源、性質(zhì)與作用。側(cè)重點(diǎn)在于定性分析，而不是具體詳實(shí)的應(yīng)用。

1 Lee-Carter模型中各隨機(jī)成分的來源、性質(zhì)與作用分析

1.1 隨機(jī)性的來源

Lee和Carter（1992）[1]構(gòu)造了一個(gè)形式簡潔、適用廣泛的死亡率模型，其形式為：

這里，μx(t)為t時(shí)期x歲的死亡力，建模時(shí)用中心死亡率mx(t)代替，mx(t)=dxt/erxt，dxt為死亡人數(shù)，erxt為平均年中人口數(shù)；αx是x歲的總死亡率因子；βx是x歲的死亡率變化因子；κt為時(shí)間因子；εxt是模型的隨機(jī)項(xiàng)，在建立的估計(jì)模型中體現(xiàn)為模型殘差，這是模型中最為明顯的隨機(jī)成分，可以度量估計(jì)模型與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差異程度。

αx、βx、κt均是未知參數(shù)，需要通過參數(shù)估計(jì)方法，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，得到它們的估計(jì)值。參數(shù)估計(jì)通常可以采用矩陣奇異值分解法，（加權(quán)）最小二乘法和極大似然法等。得到參數(shù)估計(jì)值后，對估計(jì)值κt進(jìn)行時(shí)間序列建模并進(jìn)行預(yù)測，再帶入Lee-Carter模型就可以得到死亡率的預(yù)測。κt的隨機(jī)預(yù)測過程中會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)項(xiàng)，見式（5）和式（6）的最后一項(xiàng)，這是Lee-Carter模型應(yīng)用中另外一個(gè)明顯的隨機(jī)性成分。是涉及時(shí)間因子κt的最主要的隨機(jī)性成分，其本質(zhì)是時(shí)間因子預(yù)測過程產(chǎn)生的隨機(jī)性。已經(jīng)指出的這兩種隨機(jī)成分都很明顯，一個(gè)來源于模型中的隨機(jī)項(xiàng)，一個(gè)來源于時(shí)間因子κt的預(yù)測。

Lee-Carter模型中，另外一種隨機(jī)成分來源于模型的參數(shù)估計(jì)。模型的三個(gè)未知參數(shù)，αx、βx、κt，都需要估計(jì)得到，估計(jì)參數(shù)自然具有隨機(jī)性。這是模型參數(shù)的隨機(jī)性，這里參數(shù)的隨機(jī)性僅指參數(shù)估計(jì)過程中產(chǎn)生的隨機(jī)性（不確定性），不包括時(shí)間因子κt預(yù)測過程中產(chǎn)生的隨機(jī)性。這部分隨機(jī)性的來源一是數(shù)據(jù)本身來源于抽樣調(diào)查（僅部分為普查數(shù)據(jù)，即使是普查數(shù)據(jù)也會(huì)有調(diào)查方式、方法，和記錄等多種因素帶來的隨機(jī)性），所以具有隨機(jī)性；另一來源是不同的估計(jì)方法可能會(huì)得到不同的參數(shù)估計(jì)，下文的數(shù)據(jù)建模中均是選擇泊松極大似然估計(jì)，略去了方法選擇帶來的隨機(jī)性。所以根據(jù)數(shù)據(jù)建立的估計(jì)模型，即使不用其進(jìn)行預(yù)測，模型參數(shù)也會(huì)帶有隨機(jī)性。

1.2 Lee-Carter模型的殘差分析

1.2.1 不同于普通線性模型

模型殘差是數(shù)據(jù)與估計(jì)模型之間的差異，一個(gè)主要用途就是判斷模型與數(shù)據(jù)是否相符。建立死亡率模型，其目的是用較少的參數(shù)來估計(jì)（擬合）和預(yù)測死亡率。建立估計(jì)模型后，在預(yù)測之前，一般要對模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，首先應(yīng)該看模型死亡率是否能夠很好的擬合歷史數(shù)據(jù)。模型殘差通常不能具有系統(tǒng)性偏差，如果模型具有系統(tǒng)性偏差，模型死亡率就會(huì)明顯的大于或者小于大多數(shù)的歷史觀察數(shù)據(jù)。因此，模型評(píng)價(jià)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是模型不能存在明顯的系統(tǒng)性偏差。

普通線性回歸模型通常要求隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)并滿足方差齊次性。然而，Lee-Carter模型雖然看起來與線性模型有些相似，然而它不屬于線性模型（模型中含有參數(shù)乘積的形式），建模方法也不同于普通線性模型，所以線性模型中隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)和方差齊次性的要求，在Lee-Carter模型評(píng)價(jià)中要謹(jǐn)慎使用。因?yàn)樗劳雎蕰?huì)隨著年齡而呈現(xiàn)出有規(guī)律的變化，死亡率高的年齡，死亡率的波動(dòng)情況一般會(huì)比較大。因此，估計(jì)模型中的殘差項(xiàng)（對應(yīng)理論模型中的隨機(jī)項(xiàng)）一般也會(huì)呈現(xiàn)與年齡之間很強(qiáng)的相關(guān)性和異方差，通常會(huì)出現(xiàn)低齡的殘差小而高齡的殘差大，從而違背隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)和方差齊次性的要求。殘差項(xiàng)的性質(zhì)也可以從時(shí)間這一維度來考察。我國人口數(shù)據(jù)，一般每隔十年是普查數(shù)據(jù)，逢五年份是1%抽樣，其余年份是大約為1‰的抽樣，由于抽樣比例的不同，數(shù)據(jù)在不同年份間的波動(dòng)性也呈現(xiàn)出不同，因此模型的殘差項(xiàng)也會(huì)在不同年份間呈現(xiàn)出不同，即模型殘差會(huì)跟年份相關(guān)，抽樣比例越小殘差越大，從而不滿足方差齊次性的要求。因此，普通線性模型中殘差不相關(guān)和方差齊次性的要求，在我國人口死亡率Lee-Carter模型中一般不會(huì)直接適用。

普通線性模型通常還假定隨機(jī)誤差具有正態(tài)性。這一點(diǎn)在Lee-Carter模型上一般也是不成立的。現(xiàn)在廣為采用的建立Lee-Carter模型方法是在廣義線性模型的理論框架下估計(jì)未知參數(shù)和模型評(píng)價(jià)。但從嚴(yán)格意義上講Lee-Carter模型也不是廣義線性模型，因?yàn)長ee-Carter模型中根本不存在設(shè)計(jì)陣，不存在自變量，只存在因變量。在一定的參數(shù)唯一性的約束條件下，這將不影響廣義線性模型參數(shù)估計(jì)方法在Lee-Carter模型上的應(yīng)用，比如泊松極大似然法。在Brouhns等[2-4]的研究后，泊松極大似然法現(xiàn)在已經(jīng)成為Lee-Carter模型參數(shù)估計(jì)方法中廣為采納的方法。并且，在根據(jù)泊松極大似然法估計(jì)參數(shù)，建立模型后，模型的殘差也可以根據(jù)廣義線性模型理論，利用泊松標(biāo)準(zhǔn)化殘差來對估計(jì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。這種標(biāo)準(zhǔn)化的殘差，可以消除數(shù)據(jù)在年齡與年份間的不一致性而帶來的殘差的相關(guān)性和異方差。

1.2.2 不用于隨機(jī)預(yù)測

在普通線性模型的隨機(jī)預(yù)測中，模型殘差起著重要作用，相同置信水平下，隨機(jī)預(yù)測的區(qū)間的長度取決于隨機(jī)誤差項(xiàng)的分布，而在實(shí)際應(yīng)用中隨機(jī)誤差項(xiàng)體現(xiàn)為模型殘差。然而在Lee-Carter模型的隨機(jī)預(yù)測中，已有的研究者中幾乎都沒有考慮模型殘差這一隨機(jī)成分。通過對Lee-Carter模型隨機(jī)預(yù)測表達(dá)式進(jìn)行分析，容易發(fā)現(xiàn)無需考慮模型殘差。

死亡率的隨機(jī)預(yù)測式如下（可參考Pitacco等（2009）[10]）

在隨機(jī)預(yù)測表達(dá)式（2）中和表達(dá)式（3），包含隨機(jī)誤差項(xiàng)εxt，但在預(yù)測式（4），本來含有隨機(jī)誤差項(xiàng)的那一部分已經(jīng)轉(zhuǎn)變成了預(yù)測起點(diǎn)的死亡率mx(t)。預(yù)測起點(diǎn)的死亡率是死亡率的觀察值，已經(jīng)沒有隨機(jī)性了。隨機(jī)預(yù)測式中剩下的隨機(jī)成分ξ是時(shí)間因子預(yù)測中產(chǎn)生的。如果認(rèn)為觀察值是一個(gè)隨機(jī)樣本也具有隨機(jī)性，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，它的隨機(jī)就會(huì)變得越來越小。本文選擇合適的預(yù)測起點(diǎn)，比如普查年或1%抽樣年，由于我國人口絕對數(shù)量達(dá)到10億以上，抽樣產(chǎn)生的隨機(jī)性就會(huì)變得非常小。在死亡率的長期預(yù)測中，可以選擇數(shù)據(jù)質(zhì)量好的年份作為預(yù)測起點(diǎn)，而無需考慮模型的殘差項(xiàng)。而如果在隨機(jī)預(yù)測中考慮隨機(jī)誤差項(xiàng)（殘差項(xiàng)），由于殘差在年份與年齡上差異很大，處理不當(dāng)反而會(huì)影響預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1.3 時(shí)間因子κt的隨機(jī)性分析

時(shí)間因子κt主要用于預(yù)測。由上文的分析可以看到隨機(jī)預(yù)測式（3）、式（4）中的隨機(jī)性成分就剩下了它是時(shí)間因子預(yù)測過程中產(chǎn)生的，其在死亡率隨機(jī)預(yù)測中起著重要作用。雖然有研究者采用了復(fù)雜的模型來對時(shí)間因子κt進(jìn)行預(yù)測，但帶漂移的隨機(jī)游走更適合實(shí)際應(yīng)用，這一點(diǎn)Lee和Carter（1992）[1]以及Pitacco等（2009）[10]都曾指出，韓猛和王曉軍（2010）[7]又重新進(jìn)行了復(fù)述。所以，本文對時(shí)間因子κt的預(yù)測直接采用了帶有漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走的方法。時(shí)間因子κt所滿足的隨機(jī)游走及預(yù)測式如下：

其中，d是漂移項(xiàng)，度量死亡率變換水平，ξt是均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布隨機(jī)項(xiàng)，體現(xiàn)死亡率（時(shí)間因子）預(yù)測的隨機(jī)性。d和σ2均需估計(jì)得到，估計(jì)方法可以在上文的多數(shù)文獻(xiàn)中找到。時(shí)間因子預(yù)測中的隨機(jī)性是隨機(jī)預(yù)測中應(yīng)考慮的主要的隨機(jī)性成分，在研究和應(yīng)用領(lǐng)域有廣泛的共識(shí)，不再贅述。

1.4 模型參數(shù)的隨機(jī)性分析

運(yùn)用Lee-Carter模型對死亡率進(jìn)行隨機(jī)預(yù)測時(shí)，可以考慮的另一類隨機(jī)成分是模型參數(shù)。因?yàn)轭A(yù)測模型中的參數(shù)均來自于估計(jì)，參數(shù)的估計(jì)值起決于數(shù)據(jù)和估計(jì)方法。估計(jì)方法選定的情況下數(shù)據(jù)的隨機(jī)性決定了參數(shù)的隨機(jī)性。這里討論的模型參數(shù)的隨機(jī)性指參數(shù)αx、βx、κt估計(jì)階段的不確定性，不包括時(shí)間因子κt預(yù)測過程中的隨機(jī)性。前文在討論模型殘差時(shí)說數(shù)據(jù)的隨機(jī)性很小，這種說法是選定了某一年，比如普查年或者1%抽樣年，而建立預(yù)測模型使用的是所有年份的數(shù)據(jù)，當(dāng)然包含1‰的抽樣數(shù)據(jù)。另外，在達(dá)到一定年齡后的高齡人口的生存人數(shù)會(huì)逐漸減少，死亡（率）出現(xiàn)較大波動(dòng)的幾率增大。由此可以導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)隨機(jī)性的增大。

研究參數(shù)估計(jì)的隨機(jī)性（也經(jīng)常稱不確定性），通常采用Bootstrap方法[2-4]，也有國內(nèi)的研究者使用Bootstrap方法對我國死亡率的隨機(jī)預(yù)測進(jìn)行研究[9]。研究參數(shù)估計(jì)的不確定性，通常不是研究的最終目的，而往往是為了研究其傳遞給預(yù)測死亡率及其與之相關(guān)的其他預(yù)測結(jié)果的不確定性，比如，預(yù)期壽命，生存人數(shù)，壽險(xiǎn)、年金產(chǎn)品定價(jià)，風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等。Bootstrap方法不僅可以研究參數(shù)估計(jì)中的不確定性，同時(shí)還可以研究時(shí)間因子κt預(yù)測中的不確定性，如果有必要也可以研究模型殘差的不確定性（比如進(jìn)行模型評(píng)價(jià)或者運(yùn)用基于殘差的Bootstrap），可以全面研究數(shù)據(jù)、模型估計(jì)、模型評(píng)價(jià)和預(yù)測應(yīng)用中所涉及的所有的不確定性。

總的來說，運(yùn)用Lee-Carter模型對死亡率進(jìn)行隨機(jī)預(yù)測，首先要考慮的隨機(jī)成分就是時(shí)間因子κt預(yù)測過程中產(chǎn)生的隨機(jī)性，如果要全面度量預(yù)測結(jié)果的不確定性，就要運(yùn)用Bootstrap方法同時(shí)考慮參數(shù)估計(jì)與時(shí)間因子預(yù)測中的隨機(jī)性。而模型的殘差主要用于預(yù)測前的模型評(píng)價(jià)，在預(yù)測中一般不需考慮。

2 以中國人口死亡率隨機(jī)預(yù)測為例

根據(jù)《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》和《中國人口和就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》提供的數(shù)據(jù)，可以整理出從1994—2015年中國人口分年齡分性別的死亡數(shù)據(jù)。雖然這些數(shù)據(jù)在某些年齡存在缺失，比如某些低齡不存在死亡數(shù)據(jù)，某些年份沒有90歲以上的數(shù)據(jù)，但是經(jīng)過統(tǒng)計(jì)方法的處理，可以順利建立0～100歲分年齡的Lee-Carter死亡率模型。下文依據(jù)這些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，利用加權(quán)泊松極大似然估計(jì)方法建立中國人口死亡率Lee-Carter模型。在涉及模型參數(shù)不確定性的研究中使用Brouhns等(2005)[4]的泊松再抽樣(Bootstrap)方法。

2.1 模型的殘差評(píng)價(jià)

模型殘差是模型與數(shù)據(jù)之間的誤差的一個(gè)度量，是用來評(píng)價(jià)模型擬合效果的一個(gè)常用工具。在運(yùn)用Lee-Carter模型進(jìn)行人口死亡率的研究中，Koissi等(2006)[5]使用泊松標(biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行模型評(píng)價(jià)，這一殘差的理論依據(jù)是廣義線性模型框架下的極小化殘差，其形式如下：

其中，sign()是符號(hào)函數(shù)，dxt為時(shí)期t年齡x歲人的死亡人數(shù)，為dxt的估計(jì)值，D(dxt，)為偏差和。

v是自由度，這里v=k(n-3)-2(n-2)，其中k表示建模數(shù)據(jù)包含的年齡數(shù)，n為數(shù)據(jù)包含的年數(shù)，ωxt為權(quán)數(shù)。這種標(biāo)準(zhǔn)化殘差可以消除不同年齡之間死亡率的差異。為了殘差形式的簡潔，本文使用構(gòu)成泊松標(biāo)準(zhǔn)化殘差，式（7）的核心成分：

做為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐睿M(jìn)行模型評(píng)價(jià)，這樣得到的殘差類似與沒有標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布，而式（7）則相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)。

圖1是根據(jù)1994—2015年的男性人口數(shù)據(jù)建立的Lee-Carter模型的殘差圖。本文后續(xù)內(nèi)容均是對這里所述相同數(shù)據(jù)和相同模型的研究。女性人口數(shù)據(jù)與模型有相似的結(jié)果，鑒于本文的重點(diǎn)是闡述模型各隨機(jī)成分的用途，所以在此沒有一并討論女性人口的死亡率模型。從中可以看到殘差絕大部分都分布在（-3，3）范圍內(nèi)，說明模型對死亡率數(shù)據(jù)總體擬合良好。殘差僅在0歲個(gè)別年份存在少數(shù)異常的殘差，而0歲死亡率的估計(jì)與預(yù)測往往需要單獨(dú)專門的研究。

圖1 模型殘差

2.2 僅考慮時(shí)間因子κt隨機(jī)性的一般隨機(jī)預(yù)測

一般情況下，Lee-Carter模型的隨機(jī)預(yù)測只需考慮時(shí)間因子的隨機(jī)性。用Lee-Carter模型直接預(yù)測死亡率，尤其是長期預(yù)測常常會(huì)出現(xiàn)預(yù)測死亡率的不光滑性現(xiàn)象（作為年齡的函數(shù)）。所以Lee-Carter模型一般不直接用于死亡率的預(yù)測，一個(gè)常見的應(yīng)用是將其應(yīng)用于預(yù)期壽命的預(yù)測。預(yù)期壽命的提高是度量死亡率整體改善水平的一個(gè)重要指標(biāo)，預(yù)期壽命的提高反映出經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療、養(yǎng)老、社保等社會(huì)綜合水平的提高。

采用Lee和Carter(1992)[1]的方法，式（5），式（6），對κt進(jìn)行預(yù)測，并將其帶入死亡率預(yù)測式（3）、式（4），得到死亡率的隨機(jī)預(yù)測，相應(yīng)地可以得到預(yù)期壽命的隨機(jī)預(yù)測。比如，根據(jù)以上方法，預(yù)測得到2025年男性預(yù)期壽命的95%置信區(qū)間為（76.80，85.42）。這里僅僅討論了一個(gè)簡單的預(yù)測結(jié)果，并沒有進(jìn)行長期或者隊(duì)列預(yù)測，是因?yàn)楸疚挠懻摰闹攸c(diǎn)在于Lee-Carter模型中各隨機(jī)成分性質(zhì)與作用的定性分析，而不是具體詳實(shí)的應(yīng)用。

2.3 Bootstrap方法下的隨機(jī)預(yù)測

如果要全面度量預(yù)測結(jié)果的不確定性，僅僅考慮預(yù)測過程中產(chǎn)生的隨機(jī)性就不夠了，就不能忽略模型參數(shù)估計(jì)過程中產(chǎn)生的隨機(jī)性了。本文使用布魯斯Brouhns等(2005)[4]的bootstrap方法全面考查模型參數(shù)估計(jì)與預(yù)測中的隨機(jī)性。全面隨機(jī)因素下，預(yù)測得到2025年男性預(yù)期壽命的95%置信區(qū)間為（76.63，85.49）。可見，全面考慮隨機(jī)因素的bootstrap方法下的區(qū)間預(yù)測完全包含了僅僅考慮預(yù)測過程中隨機(jī)性的預(yù)測結(jié)果。雖然，區(qū)間長度差異不是很大，0.1歲左右，但是這僅僅是10年期95%置信水平的一個(gè)預(yù)測，如果改變預(yù)測年限或置信水平，它們之間的差異會(huì)隨之改變。關(guān)于bootstrap方法下中國人口死亡率的隨機(jī)預(yù)測，更多的研究內(nèi)容和結(jié)論可以參考[9]。

3 總結(jié)

本文討論了Lee-Carter模型來自于模型殘差、時(shí)間因子、模型參數(shù)這三部分的隨機(jī)性的性質(zhì)與應(yīng)用。總的來講，模型殘差主要用于模型評(píng)估，一般不直接應(yīng)用于預(yù)測，在模型隨機(jī)預(yù)測中可以通過預(yù)測起始年份的選擇來規(guī)避模型殘差的相關(guān)性與異方差性給預(yù)測結(jié)果帶來的不利因素；時(shí)間因子主要用于預(yù)測，時(shí)間因子預(yù)測中產(chǎn)生的隨機(jī)性是導(dǎo)致最終預(yù)測結(jié)果不確定性的最主要的隨機(jī)成分；模型參數(shù)來自于估計(jì)，自然具有隨機(jī)性，如果要全面度量預(yù)測結(jié)果的不確定性就需要同時(shí)考慮時(shí)間因子預(yù)測中和模型參數(shù)估計(jì)中的隨機(jī)性。

最后基于中國人口數(shù)據(jù)建立分年齡的中國男性人口死亡率Lee-Carter模型，并進(jìn)行了簡單的預(yù)測應(yīng)用，包括模型的殘差評(píng)價(jià)、僅考慮時(shí)間因子的隨機(jī)預(yù)測和bootstrap方法下全面考慮隨機(jī)因素的隨機(jī)預(yù)測。鑒于本文主要是討論模型各隨機(jī)性成分的性質(zhì)與用途，著重點(diǎn)在于定性分析而不是具體詳實(shí)的應(yīng)用，所以未做更深入的預(yù)測應(yīng)用，預(yù)測結(jié)果與分析論證相一致。