混合潤滑狀態下粗糙界面法向接觸剛度計算模型與特性研究

肖會芳， 孫韻韻， 徐金梧， 邵毅敏

(1. 北京科技大學 機械工程學院，北京 100083； 2. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031；3. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

機械設備中廣泛存在著相互接觸的各類界面，例如齒輪的輪齒嚙合界面、軸承的滾動體-滾道界面、機床螺栓連接界面、軋制過程的軋輥與帶鋼形成的軋制界面、高速列車的車輪-軌道形成的輪軌界面等[1-4]。各種類型復雜多樣的接觸界面的共性特征是相互接觸的表面具有粗糙形貌，同時界面工作在混合潤滑狀態。對混合潤滑粗糙界面而言，界面的法向載荷由潤滑油膜和粗糙體共同承擔。

接觸剛度是描述界面特性最重要的參數之一，其變化直接影響界面以及機械裝備系統的靜態特性和動力學特性，包括接觸壓力分布、振動噪聲響應特性、疲勞與磨損特性以及工作穩定性等[5-7]。因此，混合潤滑狀態下粗糙界面法向接觸剛度的準確計算對機械結構與系統的性能分析與預測至關重要。

目前，關于粗糙接觸界面剛度特性的研究獲得了廣泛的關注，研究人員基于粗糙表面形貌的統計學模型描述和分形模型描述[8-10]，并考慮界面的彈性、彈塑性或塑性變形特征，提出了不同的接觸模型分析界面的法向固體接觸剛度特性[11-16]。但是，這些模型均假設界面無潤滑介質，沒有考慮界面的混合潤滑狀態，獲得的粗糙界面法向接觸剛度模型尚不能用于混合潤滑狀態下粗糙界面法向接觸剛度的分析與計算。

在潤滑混合潤滑狀態界面接觸剛度研究方面，田紅亮等[17]考慮機床固定結合界面的表面形貌和介質層，提出各向同性虛擬材料假設的機床固定結合部動力學建模方法，將固定結合部接觸面的微觀接觸部分假設為一種虛擬的各向同性材料，虛擬材料與固定結合部兩側的零件皆為固定連接，并通過實驗驗證了虛擬材料建模方法的有效性。李小彭等[18]以組合梁為研究對象，考慮界面摩擦因數，將梁結構及其結合面重構為固體-廣義間隙-固體系統，將結合面等效為廣義間隙，利用結合面接觸剛度的分形模型與材料應變能等效的方法，獲得了結合面廣義間隙的材料常數，并驗證結合面接觸剛度分形模型的正確性。Gonzalez-Valadez等[19]采用超聲反射回波測試方法，并基于界面的超聲反射系數與接觸剛度之間的關系，實驗測試獲得了混合潤滑界面的接觸剛度。Shi等[20]采用接觸共振實驗方法，測量了輕載情況下，無潤滑Hertzian球接觸界面和粗糙界面的接觸剛度和阻尼。結果顯示，粗糙界面的接觸剛度遠小于理論計算獲得的光滑界面的剛度值。其采用實驗測試的方法，進一步研究了界面存在潤滑液和磨損磨粒情況下，接觸界面的剛度特性。Mulvihill等[21]同時采用超聲技術和數字圖像相關技術(Digital Image Correlation, DIC)，測量了固體粗糙接觸界面的剛度值，并對測試結果進行了對比。

上述研究通過接觸界面等效建模、實驗測試等方法，研究了潤滑狀態下粗糙接觸界面的接觸特性和剛度特性。但是，尚缺乏完整的混合潤滑狀態下界面接觸剛度模型，用以表征實驗測試結果。同時虛擬材料和廣義間隙等效建模方法，未能實現界面固體接觸剛度和液體接觸剛度的分離與表征，無法獲得界面的固體-液體剛度分配特性，以及界面屬性參數對剛度分配特性的影響規律。

本文基于粗糙表面形貌的Greenwood-Williamson統計模型描述與界面油膜共振模型和彈簧模型，推導了界面固體接觸剛度和液態介質剛度，并實現粗糙微凸體固體接觸剛度與液態介質剛度的耦合，提出了一種混合潤滑狀態下粗糙界面法向接觸剛度的計算模型，分析了接觸界面形貌參數、潤滑介質和接觸基體材料屬性對接觸剛度的影響規律。由于實際機械結構的接觸界面通常承受周期性載荷的加載-卸載作用，界面粗糙微凸體的塑性變形被初始的加載-卸載作用消除，穩定工況時，界面工作在彈性接觸狀態。例如，Gozalez-Valadez等對鋼-鋼接觸界面的實驗顯示11次的加載-卸載過程可以消除界面的塑性變形。因而，本文的粗糙界面法向接觸剛度計算模型，僅考慮了粗糙界面的彈性變形和彈性接觸剛度。

1 混合潤滑界面接觸模型

圖1 混合潤滑狀態，粗糙界面的接觸模型示意圖Fig.1 Schematic of rough surface in mixed lubrication

根據混合潤滑界面的載荷分配思想[22]，界面的外部法向載荷Ft由液體潤滑介質壓力FH和粗糙峰微凸體接觸力FC共同承擔，即Ft=FH+FC。 因此，界面的總剛度Kt等于固體微凸體接觸剛度和液體潤滑介質接觸剛度之和，如圖1(c)所示，即

Kt=Ka+Kl

(1)

式中:Ka為固體微凸體接觸剛度；Kl為液體潤滑介質接觸剛度。當粗糙表面之間的距離h減小時，進入接觸的固體微凸體增加，固體接觸剛度在總接觸剛度中的占比增加；當粗糙表面之間的距離h不斷增大時，液體潤滑介質厚度不斷增大，界面總剛度主要由液態潤滑介質剛度組成。當液體潤滑介質厚度大于表面粗糙峰的峰值，接觸界面完全被潤滑液充滿而無固體表面接觸時，界面處于液壓潤滑狀態，界面剛度完全由液體潤滑介質剛度組成。

2 固體接觸剛度

粗糙表面-剛性平面接觸采用Greenwood-Williamson統計模型(GW模型)進行描述，如圖2所示。表面粗糙體的形狀為球體且各粗糙體的曲率半徑均為β，粗糙微凸體的高度符合高斯分布，其高度的標準偏差為σs， 微凸體的密度為η， 各粗糙體與剛性平面的接觸符合Hertzian彈性接觸理論且粗糙體之間無相互作用。 單個微凸體的高度z定義為微凸體頂點與微凸體高度均線間的距離。 微凸體均線與粗糙面均線之間的距離為dd，dd=1.15σs[23]。

圖2 粗糙表面與剛性平面的統計接觸模型Fig.2 Statistical micro-contact model of the rough surface

2.1 單個微凸體接觸剛度

單個微凸體與剛性平面的接觸示意圖，如圖3所示。

圖3 單個微凸體與剛性平面接觸示意圖Fig.3 Geometry of the single asperity contact

根據Hertzian彈性接觸理論，其彈性接觸力可以表示為[24]

(2)

式中:E為接觸界面的等效彈性模量；w為彈性變形量，可以表示為

w=z+dd-h

(3)

接觸面積可以表示為

ae(w)=πβw

(4)

單個微凸體的法向接觸剛度ke定義為

(5)

即法向接觸剛度可以表示為

ke(w)=2Eβ1/2w1/2

(6)

式(6)顯示，單個微凸體的法向接觸剛度與變形量呈非線性變化關系。

2.2 粗糙界面總剛度

采用GW統計學模型計算粗糙界面上接觸微凸體的個數，并將單個微凸體接觸剛度對微凸體個數進行積分，獲得粗糙界面固體接觸的總剛度。引入如下的無量綱參量

具有粗糙形貌的表面與剛性平面接觸，當微凸體高度zn大于粗糙面均線與剛性平面之間的距離hn-dn時，微凸體與剛性平面接觸，其接觸概率為

(7)

粗糙表面與剛性平面接觸的微凸體的個數為微凸體總個數與接觸概率的乘積，可以表示為

(8)

式中:N為粗糙表面微凸體總個數；A0為名義接觸面積。粗糙表面固體接觸的總載荷、接觸面積和接觸剛度可以分別表示為

(9)

(10)

(11)

將式(2)，式(4)，式(6)，式(8)分別代入式(9)～式(11)，則粗糙界面固體接觸的總載荷、接觸面積和接觸剛度可以分別表示為

(12)

(13)

(14)

3 混合潤滑界面接觸剛度

3.1 液體介質接觸剛度

圖1所示的接觸基體-潤滑介質-接觸基體的等效液體剛度模型，如圖4所示。液體潤滑層的厚度h為兩粗糙面均線之間的距離。由于接觸基體與液體潤滑層的聲阻抗之間存在明顯的差異，入射超聲波在固-液界面發生反射與透射，利用超聲波反射系數與液體潤滑層厚度和剛度之間的關系特性，可以確定液體潤滑層的接觸剛度。

圖4 超聲波在接觸基體-潤滑介質-接觸基體模型傳遞示意圖Fig.4 Schematic of the transmission of ultrasonic in the contact body-lubricant-contact body model

根據液體界面油膜共振模型，固-液接觸界面的超聲反射系數可以表示為[25]

(15)

式中:λ0為超聲波在潤滑液體中的波長；Z1和Z2分別為固體和潤滑液體的聲阻抗， 可以表示為Z1=ρ1c1,Z2=ρ2c2，ρ1和c1分別為固體的密度和超聲波的波速，ρ2和c2分別為潤滑液體的密度和超聲波的波速。

根據液體界面的彈簧模型，當液體中的聲波波長λ2遠大于液體油膜層厚度h時，整個液體潤滑層可看作整體的反射體，界面的超聲反射系數可以表示為[26]

(16)

式中:kl為單位面積上的液體潤滑層接觸剛度；f為超聲波的頻率。

聯立式(15)和式(16)，單位面積上的液體潤滑層接觸剛度可以表示為

(17)

由于液體界面的彈簧模型僅適用于聲波波長λ2遠大于流體層厚度h的情況，即λ2?h，則有

(18)

采用泰勒級數將sin(2πh/λ2)沿2πh/λ2=0展開，并考慮界面的名義接觸面積，則液體潤滑介質接觸剛度可以近似表示為

(19)

式(19)顯示液體接觸剛度由潤滑介質厚度、液體屬性、接觸固體屬性和接觸面積共同決定，而與入射超聲波的頻率無關，因此不會受到實驗測量中超聲衰減引起測量能力降低的限制。

3.2 界面法向總剛度

聯立式(1)，式(14)和式(19)，混合潤滑粗糙界面的總剛度可以表示為

(20)

式(20)顯示，混合潤滑粗糙界面的接觸剛度與界面材料屬性、表面粗糙形貌、接觸基體和潤滑介質的聲阻抗等因素相關。同時，界面的固體接觸剛度與液體接觸剛度相互耦合，液體接觸剛度與界面的表面粗糙形貌相關，而固體接觸剛度也與液體潤滑層的厚度相關。

4 模型有效性驗證

4.1 與已有的剛度實驗結果對比

為了驗證本文剛度計算模型的正確性，將模型計算獲得的剛度值和實驗測量獲得的潤滑粗糙界面的剛度值進行對比。Gonzales-Valadez等采用超聲反射系數法測量了鋼-油-鋼、鋼-水-鋼潤滑界面的接觸剛度值。界面的等效材料參數為E=115 GPa,ν=0.3, 名義接觸面積A0=25×10-6m2。測試鋼樣的表面粗糙度值分別為Ra=4.84 μm和Ra=4.94 μm, 對應的微凸體高度標準偏差σs=3.63 μm和σs=3.71 μm。實驗測試所用的不同材料的屬性參數，如表1所示。采用本文固體接觸剛度模型式(14)和液體介質接觸剛度模型式(19)計算獲得的法向接觸剛度-載荷變化關系曲線與實驗測量獲得的數據對比圖，如圖5所示。圖5顯示，模型的計算結果與實驗測試結果基本一致，說明本文的混合潤滑界面接觸剛度的模型是有效的、可靠的。

圖5 混合潤滑界面接觸剛度的模型計算結果與實驗結果對比Fig.5 Comparison of the interface contact stiffness versus pressure between the model results and experimental results for different lubrication

表1 實驗測試采用的不同材料的屬性參數Tab.1 Parameters of different materials used in experimental tests

4.2 實驗測試

為了進一步驗證本文剛度計算模型的正確性，設計了螺栓連接界面實驗裝置，進行沖擊激勵下的幅頻響應測試，將實驗測試獲得的系統固有頻率和代入本文模型計算剛度值獲得的系統固有頻率進行對比。實驗裝置，如圖6所示。實驗采用自由懸掛錘擊法測試，利用力錘敲擊上表面產生沖擊激勵，在鋼板下表面安裝加速度傳感器PCB 352C33，測量界面無潤滑和界面存在潤滑油時的法向加速度響應。

圖6 實驗裝置Fig.6 Experimental setup

螺栓連接界面由兩塊材料為45#鋼、尺寸為300 mm×50 mm×8 mm的鋼板，通過14個M6螺栓連接形成。每個螺栓的擰緊力矩為8 N·m，即每個螺栓的預緊力為10 kN，界面的平均壓力為p=9.4 MPa，名義接觸面積A0=1.5×10-2m-2。采用激光共聚焦顯微鏡LEXT對相互接觸的兩鋼板表面進行表面形貌測試，采樣間隔為0.625 μm。獲得的鋼板表面形貌，如圖7所示。計算獲得的表面形貌參數分別為Ra=1.4 μm，η=0.63×1011m-2，β=0.64 μm。將表面形貌參數σs,η和β，等效彈性模量E=115.4 GPa代入式(14)，獲得粗糙界面固體接觸剛度Ka=1.082×1011N/m。

首先進行無潤滑螺栓連接界面的實驗測試，獲得界面系統的幅頻特性曲線。其次，在接觸界面加入少量的潤滑油GST PREMIUM 32，潤滑油的屬性參數為ρ=863 kg/m3，c=1 530 m/s，代入界面法向總剛度模型式(20)計算獲得界面的總剛度Kt=1.8×1012N/m，測試混合潤滑界面在沖擊激勵作用下的加速度響應，獲得界面系統幅頻特性曲線。無潤滑界面系統和有潤滑界面系統的幅頻特性曲線，如圖8所示。圖8顯示，與無潤滑粗糙界面相比，潤滑粗糙界面的固有頻率增大，表明界面的剛度值增加。

圖7 實驗樣品表面形貌Fig.7 Surface topograph of test specimen

圖8 螺栓連接界面法向幅頻響應曲線Fig.8 The frequency response in normal direction

采用有限元仿真計算方法對螺栓連接界面系統進行模態分析，獲得系統的固有頻率。螺栓連接界面的有限元分析模型，如圖9所示。鋼板采用SOLID185單元離散，兩鋼板的接觸特性采用自定義剛度單元MATRIX27表征，單元MATRIX27的輸入值為剛度模型獲得的法向剛度Ka=1.082×1011N/m和Kt=1.8×1012N/m，對應于無潤滑界面和有潤滑界面的法向剛度，切向剛度值為法向剛度的0.8倍[27]。實驗測試獲得的前4階固有頻率與有限元計算獲得的固有頻率的對比值，如表2所示。表2顯示，實驗測試獲得的固有頻率與采用本文剛度模型計算獲得的固有頻率相對誤差小于7%，說明本文的界面固體接觸剛度的模型是有效的。

圖9 有限元計算模型Fig.9 The finite element analysis model

表2 實驗固有頻率與仿真計算獲得的固有頻率對比Tab.2 Comparison between the natural frequencies from experimental test and FEA

5 計算結果與分析

改變界面的接觸特性參數，包括微凸體高度的標準偏差σs、潤滑液類型和接觸體材料屬性，獲得不同界面特性參數時固體接觸剛度、液體接觸剛度和剛度分配比率隨界面間距離的變化關系曲線。計算采用的參數值，如表3所示。

表3 計算參數值Tab.3 Calculation parameters

5.1 接觸剛度-界面距離關系曲線

5.1.1 不同界面粗糙形貌

不同界面粗糙形貌時，界面的固體接觸剛度、液體介質接觸剛度和總剛度隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖10所示。微凸體高度的標準偏差分別為σs=0.05 μm, 0.5 μm, 3 μm，表征光滑界面、中等粗糙界面和粗糙界面。

當界面處于混合潤滑狀態時，界面間無量綱距離的變化范圍通常在hn=[0.5,3][28]。圖10(a)顯示，對光滑界面，固體接觸剛度Ka遠小于液體介質接觸剛度Kl，界面的接觸總剛度幾乎完全來自于液體介質接觸剛度。隨著界面粗糙度增加，固體接觸剛度逐漸增大，同時液體介質接觸剛度逐漸減小。對粗糙界面，如圖10(c)所示，液體介質接觸剛度遠小于固體接觸剛度，界面的總剛度幾乎完全來自于固體接觸剛度。這是由于當界面粗糙度很小時，界面幾乎被潤滑液充滿，粗糙微凸體的接觸很少，因而固體接觸剛度很小，液體介質接觸剛度較大；隨著粗糙度增大，固體微凸體的接觸增多，相應的液體介質接觸減少，因而固體接觸剛度增大，液體介質接觸剛度減小；對粗糙界面，液體介質僅存在于粗糙微凸體之間的空隙，隨著界面距離變化，固體接觸剛度會劇烈增大，而液體介質接觸剛度變化很小。

圖10 不同界面粗糙形貌時的接觸剛度-界面距離關系曲線Fig.10 Plots of contact stiffness versus non-dimensional separation for surfaces with different roughness

圖5所示的實驗結果顯示，液體介質的接觸剛度幾乎不隨載荷變化，這是由于實驗測試樣品的表面粗糙度較大(σs=3.63 μm和σs=3.71 μm)，引起固體接觸剛度隨載荷增大而增大，而液體介質的接觸剛度幾乎不變。圖10同時顯示，界面的固體接觸剛度、液體接觸剛度和總剛度均隨著界面間距離減小呈非線性遞增。

5.1.2 不同潤滑介質

不同界面潤滑介質時，界面的固體接觸剛度、液體介質接觸剛度和總剛度隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖11所示。其中，圖11(a)對應的介質為水，圖11(b)對應的介質為空氣。不同介質的屬性參數，如表4所示。界面的粗糙度值為σs=0.5 μm。圖11顯示，當潤滑介質變化時，界面的液體介質接觸剛度和總剛度發生明顯變化。與圖10(b)的潤滑油介質相比，當介質變為水后，潤滑介質的聲阻抗變大(如表4所示)，因此液體介質接觸剛度減小，而固體接觸剛度幾乎無變化，因而總剛度也相應減小。當介質變為空氣時，界面等效于無液體介質，介質的接觸剛度非常小，界面總剛度等于固體接觸剛度。

表4 不同潤滑介質的屬性參數Tab.4 Property parameters of different lubricants

圖11 不同潤滑介質時，界面的接觸剛度-距離關系曲線Fig.11 Plots of contact stiffness versus non-dimensional separation for different lubricant

5.1.3 不同接觸基體材料

不同接觸基體時，界面的固體接觸剛度、液體介質接觸剛度和總剛度隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖12所示。其中，圖12(a)對應的基體材料為鑄鐵，圖12(b)對應的基體材料為鋁。不同基體的材料與聲學屬性參數，如表5所示。界面間潤滑介質為潤滑油，界面的粗糙度值為σs=0.5 μm。與圖10(b)的鋼基體相比，基體為鑄鐵和鋁時，材料的彈性模量遞減，其接觸總剛度依次遞減，鑄鐵基體次之，鋁基體最小。接觸基體材料不同時，液體接觸剛度差異較小，但是固體接觸剛度差異較大，導致總剛度之間的差異。

表5 不同接觸基體的材料與聲學屬性參數Tab.5 Material and sound parameters of different contact bodies

圖12 不同基體界面的接觸剛度-距離關系曲線Fig.12 Plots of contact stiffness versus non-dimensional separation for surfaces with different materials

5.2 剛度分配特性

不同界面粗糙形貌時，界面的固體剛度分配比率和液體剛度分配比率隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖13所示。圖13顯示，對光滑界面，固體接觸剛度占總剛度比值的最大值僅為0.07。隨著表面粗糙度增加，固體接觸剛度占總剛度的比率不斷增加，而液體接觸剛度占總剛度的比率不斷減小。對粗糙界面，固體接觸剛度占總剛度比值的最大值達到0.97。當界面間距離hn>3時，即hn大于標準高斯概率密度函數的最大微凸體高度時，界面的總剛度等于液體接觸剛度，界面處于液壓潤滑狀態。

不同潤滑介質時，界面的固體剛度分配比率和液體剛度分配比率隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖14所示。圖14顯示，與潤滑介質為油時相比，潤滑介質為水時的固體接觸剛度所占比率增加，對應的液體接觸剛度所占比率減小。當潤滑介質為空氣時，固體接觸剛度占總剛度的比率為1，接觸總剛度完全來自于固體接觸剛度。

圖14 不同潤滑介質時，界面的接觸剛度分配比率Fig.14 Plots of contact stiffness ratio for interface with different lubricants

不同的接觸基體材料時，界面的固體剛度分配比率和液體剛度分配比率隨界面間距離hn的變化關系曲線，如圖15所示。圖15顯示，接觸基體為鋁時，固體接觸剛度占總剛度的比值最小，其最大的固體剛度比率為0.425；接觸基體為鋼時，固體接觸剛度占總剛度的比值最大，其最大固體剛度比率為0.681。液體接觸剛度的比率與固體接觸剛度比率的變化趨勢相反，鋁基體最大，而鋼基體最小。

圖13，圖14和圖15同時顯示，表面形貌對界面接觸剛度的分配影響最大，接觸基體材料次之，影響較小的是液體潤滑介質。對不同的表面粗糙度界面、不同潤滑介質界面、不同接觸基體界面，固體接觸剛度占總剛度的比值隨界面間距離均呈先增大后減小的變化趨勢，存在最大值，且最大值對應的無量綱界面間距離hn=1，相應的液體接觸剛度的比率最小，即界面間距離等于粗糙界面微凸體高度標準偏差時，固體接觸剛度占總剛度的比值最大。

圖15 不同基體材料時，界面的接觸剛度分配比率Fig.15 Plots of contact stiffness ratio for surfaces with different material

6 結 論

(1) 本文提出了一種混合潤滑狀態下粗糙界面法向接觸剛度的計算方法，并通過與實驗測試結果對比驗證了計算模型的正確性。

(2) 接觸基體材料的表面形貌和彈性模量是影響固體接觸剛度的主要因素。隨著界面粗糙度增加，固體接觸剛度逐漸增大，同時液體接觸剛度逐漸減小；彈性模量增加時，界面固體接觸剛度增大，但液體接觸剛度差異較小，導致總剛度之間的差異。

(3) 潤滑介質的聲阻抗是影響液體接觸剛度的主要因素，聲阻抗增大時，液體接觸剛度減小，但固體接觸剛度變化很小，導致總剛度也相應減小。

(4) 隨著表面粗糙度增加、接觸基體彈性模量增加、潤滑介質聲阻抗減小，固體接觸剛度占總剛度的比率增加，而液體接觸剛度占總剛度的比率減小；當界面間無量綱距離hn>3時，界面的總剛度等于液體接觸剛度，界面處于液壓潤滑狀態。

(5) 表面形貌對界面接觸剛度的分配比率影響最大，接觸基體材料次之，影響較小的是液體潤滑介質。