一類非線性分數階微分方程無窮積分邊值問題的正解

李耀紅，張海燕

宿州學院數學與統計學院,宿州，234000

本文考慮一類分數階無窮積分邊值問題(FBVP)：

(1)

1 預備知識

為了后文敘述方便，給出如下假設：

(H1)f∈C([0,+)×[0,+),[0,+))，在[0,+)×[0,+)上不恒等于0，且在[0,+)上當u有界時f(t,(1+tα-1)u)有界；

(H2)g∈C([0,+),[0,+))，在[0,+)上不恒等于0，且g(t)(1+tα-1)dt<+；

(H3)h(t)∈L[0,+),t∈[0,+)，且Δ1=h(t)tα-1dt<Γ(α)，Δ2=h(t)dt<+。

為簡潔，本文略去一些常用的分數階微分計算的標準定義和定理，其在分數階相關研究文獻中均可閱覽，詳細內容也可參閱文獻[4]。為方便讀者，下面給出一些必要的引理作為預備知識。

引理1.1[1]若函數y∈C[0,+)，則方程

(2)

有唯一解

這里G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s),且

(3)

引理1.2[1，5]當k>1時，G(t,s)滿足

(4)

定義算子A:P→E

引理1.3若(H1)-(H3)成立，則A:P→P是全連續的。

證明首先對?u∈P，有

=μ(k)||Au||

(5)

因此，可知算子A:P→P。接著利用與文[1]相同方法，可證算子A在錐P的有界集內一致有界，等度連續，同時由勒貝格控制收斂定理和函數f的連續性知，算子A是連續的。綜上所述可知：A:P→P是全連續的。

(i) ‖Au‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω1；

‖Au‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω2；

(ii) ‖Au‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω1；

‖Au‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω2，

2 主要結果

為了方便，引入如下記號：

定理2.1若(H1)-(H3)成立，且f=0，f0=+,則FBVP(1)在P中至少有一個正解.

證明由引理1.1知A:P→P是全連續的，因此只需證明算子A在P中至少有一個不動點即可。由f=0，則存在充分大的μ1>0以及一個任意小的ε1>0，使得

f(t,u)≤(f+ε1)u,?t∈[0,+),u≥μ1

(6)

其中Δ(f+ε1)g(s)(1+sα-1)ds≤1。令Ω1={u∈P,‖u‖<μ1},對?u∈?Ω1∩P,利用(3)式和(6)式，可知：

≤Δ(f+ε1)g(s)uds

≤Δ(f

≤Δ(f+ε1)g(s)(1+sα-1)ds‖u‖

≤‖u‖

即

‖Tu‖≤‖u‖，?u∈?Ω1∩P

(7)

另一方面，由f0=+，則存在0<μ2<μ1以及一個任意小的ε2>0，使得

f(t,u)≥(f0-ε2)u,?t∈[0,+),0

(8)

‖Tu‖≥‖u‖,?u∈?Ω2∩P

(9)

定理2.2若(H1)-(H3)成立，且f0=0，f=+,則FBVP(1)在P中至少有一個正解。

證明證明方法與定理2.1類似,此處省略。

例2.1一類分數階無窮積分邊值問題(FBVP)