對焦散線與波前傳播理論的研究

王金芝

摘要：主要研究網狀拉格朗日映射與勒讓德映射的一般性.目的是給出焦散線與波前的一般分類。焦散的描述是從拓撲空間到結構空間拉格朗日子流形的臨界值集合。拉格朗日和勒讓德奇點在微分幾何許多問題當中都可以找到，其中最成功的應用之一是對焦散線與波前奇異性的研究。

關鍵詞：焦散線 波前 穩定性 臨界值 拉格朗日與勒讓德奇點

中圖分類號：O346 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2018）18-0253-03

奇點理論仍處于快速發展的狀態，奇點理論最成功的應用之一是研究焦散線與波前傳播的奇點及分岔。拉格朗日和勒讓德奇點在微分幾何許多問題當中都可以找到，其中最成功的應用之一是對焦散線與波前奇異性的研究。例如：在黎曼流形中由余切叢的某點定義拉格朗日子流形。在1-射流點定義勒讓德子流形，由超曲面生成的焦散被稱為拉格朗日限制。因此，對光滑超曲面產生的焦散線和波前的研究歸結為拉格朗日和勒讓德奇點的研究。研究了當超曲面有邊界，角或r-角的一般情況。在這些情況下，從超曲面任意邊界進入的粒子在余切叢點上給出辛正則的r-立方結構。這是拉格朗日子流形概念的推廣。本文通過研究網狀拉格朗日的穩定性，研究具有r-角的超曲面芽產生的焦散線和波前的穩定性，概括了勒讓德概念。

討論r-角超曲面生成的焦散線和波前的一般性。為了實現這個目的，將研究網狀拉格朗日、勒讓德映射的一般性。在這些過程當中，需要證明網狀拉格朗日，勒讓德映射的穩定性和橫向穩定性的等價性。

本文由兩部分組成，在第一部分中，給出網狀拉格朗日和勒讓德映射理論。在第二部分中，研究網狀拉格朗日和勒讓德映射的一般性。將研究網狀拉格朗日和勒讓德映射的有限決定性。

一、網狀拉格朗日奇點

在簡單地描述了拉格朗日奇點理論的基本概念之后，定義拉格朗日子流形芽之間的一個自然等價關系。設i和i'是拉格朗日子流形芽。如果存在一個微分同胚芽和一個辛微分同胚芽，則稱i和i'具有拉格朗日等價關系。如果是一個微分同胚芽則稱之為辛微分同胚芽。也可以稱i和i'具有焦散等價關系。由定義，如果i和i'具有拉格朗日等價關系則i和i'具有焦散等價關系。一般來說，反之不成立。這就是為什么到目前為止還沒有對拉格朗日等式進行幾何解釋的原因。這是拉格朗日子流形芽的拉格朗日穩定性的概念。這里，我們不需要確切的定義及省略了定義。

如果對于 ，則稱（T* Rn，0）上的辛微分同胚φ是網狀微分同胚。如果存在網狀微分同胚φ和π的拉格朗日等價性Θ。

由于在[1]的定義中，不存在網狀微分同胚是辛微分同胚的條件。但在[1]中定義的網狀微分同胚含兩個辛微分同胚的組成。L限制和拉格朗日等價。從而定義等價于[1]中的定義。

如

參考文獻：

[1]T. Tsukada， Reticular Lagrangian Singularities， Asian[J].Math，1997（1）：572-622.

[2]T. Tsukada， Reticular Legendrian Singularities， Asian [J].Math，2001（5）：1109-127.

[3]V.I. Arnold， S.M. Gusuein-Zade， and A.N. Varchenko， Singularities of Differentiable Maps I， Birkhauser[J].Math，1985.

[4]G. Ishikawa， Transversalities for Lagrange singularities of isotropic mapping of corank one，Banach Center Publ[J].Math，1996（33）：93-104.

[5]G. Ishikawa， Infinitesimal deformations and stability of singular Legendre submanifolds， Asian[J].Math，2005（9）：1，133-166.

[6]I. Scherback， Boundary Fronts and Caustics and their Metamorphoses[M].Singularities： Lille，1991：363.

[7]S. Janeczko， Generalized Luneburg canonical varieties and vector fields on quasicaustics[J].Journal of Mathematical Physics，1990（31）：997-1009.

[8]V. M. Zakalyukin， Lagrangian and Legendrian singularities[M].Funct. Anal. Appl，1976：23-31.

[9]V. I. Arnold， Singularities of caustics and wave fronts[M].Kluwer：Dordrecht，1990.

[10]V. I. Arnold， Singularities of Caustics and Wave Fronts[J].Kluer Academic Publishers，Dordrecht，1990.

[11]G. Ishikawa， Determinacy， transversality and Lagrange stability， Banach Center Publ[J].1999（50）：123-135.

責任編輯：楊國棟