例談用“構(gòu)造法”證明不等式

胡曉東

在證明不等式時，根據(jù)欲證不等式的具體結(jié)構(gòu)特征，通過觀察、聯(lián)想、構(gòu)造出方程、函數(shù)、不等式、圖形、數(shù)列、復(fù)數(shù)、向量等某個數(shù)學(xué)模型，并將所證的不等式轉(zhuǎn)化為研究該數(shù)學(xué)模型的特征，達到簡化證明的目的，這種證明方法叫構(gòu)造法.

下面通過舉例說明應(yīng)用構(gòu)造法解不等式的一些途徑.

1 根據(jù)所給不等式的特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)某醯群瘮?shù)或方程，以此作為映射關(guān)系，然后利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)來證明不等式

命題得證.

小結(jié) 構(gòu)造法解題的思維過程具有靈活性，若引進輔助元素，使不等關(guān)系與求解關(guān)系得到溝通，便于理順等量關(guān)系，就可進行式子變換，使得問題化難為易，體現(xiàn)了避實擊虛的策略.

2 從數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化的角度出發(fā)，構(gòu)造幾何圖形，通過幾何圖形的直觀性獲解

小結(jié) 當(dāng)結(jié)論與條件之間的聯(lián)系曲折隱蔽時，可通過數(shù)形溝通代數(shù)與幾何之間的知識聯(lián)系，或更換角度看問題，把題目改述，形成熟悉易懂的形式，從而使思路明朗起來.

3 從欲證的不等式分析，構(gòu)造數(shù)列解題

小結(jié)當(dāng)結(jié)論出現(xiàn)n個數(shù)時，我們考慮構(gòu)造數(shù)列，一方面利用數(shù)列的增減性，另一方面利用一些著名的不等式來求解，往往可從結(jié)論入手，將它分解成幾個小結(jié)論來處理，使得求解較易一些.

4 利用題設(shè)條件，構(gòu)造相應(yīng)的不等式與有關(guān)性質(zhì)解題

小結(jié) 有些題目提供的條件，應(yīng)用等價性命題（包括定義、定理、充要條件等）把它轉(zhuǎn)化為簡單的問題，便于尋找解題途徑.

小結(jié) 構(gòu)造復(fù)數(shù)，通常考慮到復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)及其幾何意義，并結(jié)合三角不等式，進行適當(dāng)?shù)姆趴s不等式，使得問題解決.

6 觀察欲證不等式，構(gòu)造向量解題

由于構(gòu)造法具有非常規(guī)性，所以構(gòu)造內(nèi)容也變化不定，靈活性強，切不要單純以哪一種思想方法為教學(xué)對象展開教學(xué)，這樣，學(xué)生不僅不能很好領(lǐng)會思想方法的深刻內(nèi)涵，反而使學(xué)生對所論及的數(shù)學(xué)思想方法的理解變得機械、僵化，甚至產(chǎn)生某些偏差，希望通過一兩節(jié)課或幾節(jié)課就達到什么目的是不可能的，學(xué)生在學(xué)習(xí)一般知識的過程中、在教師的啟發(fā)下，對其中蘊涵的構(gòu)造思維方法逐漸產(chǎn)生感性認(rèn)識，經(jīng)過多次反復(fù)，在比較豐富的的感性認(rèn)識基礎(chǔ)上逐漸概括成理性認(rèn)識，然后在應(yīng)用中對形成的思想方法進行驗證和發(fā)展，進一步加深對它的認(rèn)識，但是值得注意的是，如果一味長期、反復(fù)地滲透，而不在適當(dāng)?shù)臅r機加以明確，將會影響學(xué)生從感性到理性的飛躍的認(rèn)識，影響學(xué)生對構(gòu)造思維方法的掌握，所以，適當(dāng)?shù)貪B透后的明確是必要的，

參考文獻

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