數學教育與傳統文化

陸睿

一、中國古代數學與儒家思想

孔子作為儒家思想的創立者，他的思想體系既囊括倫理道德與治世的主張，也包含深刻的教育認知。孔子主張教育的內容包含“禮樂射御書數”，其中“數”就是我們今天所說的“數學”。在儒家思想中，數學是十分重要的，這不僅體現在孔子將其納入教學內容，還體現在數學與儒家思想的共生上。

作為儒家經典中溝通天人的《周易》，解經者多從數理的角度來闡發。《周易》言：

大衍之數五十，其用四十有九……乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當期之日。①

漢末易學大師荀爽在注解這段時曰：

陽爻之策三十有六，乾六爻皆陽，三六一百八十，六六三十六，合二百一十有六也。陽爻九，合四時，四九三十六，是其義也。

陰爻之策二十有四，坤六爻皆陰，二六一百二十，四六二十四，合一百四十有四也。陰爻六，合二十四氣，四六二百四十也。②

我們不難看到，面對經典給出的象數，漢代經師荀爽所做的工作就是對象數進行拆分，利用數學的運算，使其符合象數。

古人的音律與數學的關系更為密切，對于“宮商角徵羽”的定音，漢代經學大師鄭玄就以數學之數來準確的區分：

宮數八十一，黃鐘長九寸，九九八十一也。三分宮去一生徵，徵數五十四，林鐘長六寸，六九五十四也……三分羽益一生角，角數六十四，姑洗長七寸九分寸之一，七九六十三又九分寸之一，為六十四也。③

《后漢書》說鄭玄“通《京氏易》、《公羊春秋》、《三統歷》、《九章算術》④”，可見鄭玄是精通數學的，這在他注釋經典中可以得到佐證。從鄭玄定音來看，他運用了分數和除法的運算，在這里宮商角徵羽都是符合數學比例的。從以上的事例，我們不難發現，作為儒家思想及其經典闡釋的方法，與古代數學知識關系密切，數學是儒家思想闡釋的工具。

二、古代數學與諸子的思想世界

作為中國“軸心時代”的思想家莊子，其思想奇絕，我們從《莊子》一書可以看到許多具有抽象數學思維的觀念。《莊子》內篇的《天下篇》中說道：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。⑤”數學中我們知道一個數除以2，永遠趨近于零卻不等于零，這是數學中的極限思想。莊子還用湯與棘的對話表達了自己對宇宙無限的認定：

湯問棘曰：“上下四方有極乎？”棘曰：“無極之外，復無極也。”

湯問天地這個空間是否有極限與邊界，棘說宇宙無極限，沒有極限之外還是沒有極限。這些思想可以說與數學中的無窮與極限知識契合，是先秦時期中國士人思想的杰出代表。

《管子》中涉及大量的數學知識，為了方便說明，舉兩個例子。《地員》篇云：

三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復于其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角。⑥

管子已經有分數的計量方式，而且涉及一系列分數乘法運算。《地員》還進一步涉及到了乘方，其中說：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九。⑦”即3的4次方等于81。

《墨子》一書也蘊含著很多數學的思維與方法，最為精彩的是他“無限分割論”：“前則中無為半，猶端也;前后取，取端中也。⑧”也就是說將一個線段一分為二，在前半段取，每次取二分之一，取到最后那個不可分割的點在端。墨子意識到分割是一個無限的過程，通過無限逼近的方法，一定可以達到極限位置。

三、數學教育的傳統文化路徑

中國古代數學的專著還有一個頗有意思的現象，那就是以詩歌來表達問題。程大位《算法統宗》就是如此。

我們以為中國古代數學史的教育是不可或缺的，從以上的論述我們不難看到古代數學與中國傳統文化之間存在的緊密聯系。將數學教育與傳統文化教育結合存在兩方面的意義：

首先，通過生動的古代數學個案的講讀，可以使學生對我國古代數學史甚至科技史產生興趣，讓他們了解中國古代數學的特點與輝煌的成就。通過古人提出數學問題與解決數學問題的方法，我們可以勾連古代思想史，看到古人思想在邏輯思維上的共性。

其次，在西方教育中通識教育是目前的主流方式，我們可以看到這一教育存在的優點。通識教育的一個核心就是文理兼擅，以數學史的教授為楔子，介入到傳統文化中，增強學生的人文素養，可謂一舉兩得。

因此我們在數學教學中適當穿插數學史以關聯傳統文化的方式不僅是必要的，而且是可能的。這樣不僅可以增強學生的人文素養，同時對未來的應試也有助益。

【注釋】

① 李鼎祚. 《周易集解》卷十四[M]. 北京：中華書局，2016：418-424.

② 李鼎祚. 《周易集解》卷十四[M]. 北京：中華書局，2016：423.

③ 范曄. 《后漢書·律歷志》第一：3001.

④ 范曄. 《后漢書·鄭玄傳》卷三十五：1207.

⑤ 陳鼓應. 莊子今注今譯[M]. 北京：中華書局，1983：896.

⑥ 管子 著;戴望 校正. 管子校正[M]. 世界書局，1935：312.

⑦ 管子 著;戴望 校正. 管子校正[M]. 世界書局，1935：311.

⑧ 朱越利 校點. 墨子[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，1997：98.