高中數學函數問題的巧解

胡鑠陽 湖北省武漢市建港中學

1 函數基本概念和特點

函數的題目形式總是千變萬化，若要想順利的解答函數問題，首先要做的是掌握最基本的技巧和方式。在對函數知識進行學習時，我們要先對函數的基本概念進行了解，同時還要對函數最基本的三個要素進行掌握。概念可以說是數學學習基礎，在很多歷年高考題中都有對基本概念的考查，函數概念貫徹了小學、初中、高中，其中包括了數、式、方程、不等式及其函數等等。除了對函數的基本概念了解之外，還需要對函數的三個要素進行了解。函數的三個要素包括：定義域、值域及其對應法則。究其本質，函數實際是一個研究變量和定量的過程中。學好函數能在更高的角度上處理各個方程、不等式和函數的關系。函數的三個要素是解所有函數題的基礎觀點。而函數觀點，其實際上是把問題放在動態之上，然后再對問題進行考慮。函數問題是考試中經常遇到的問題，我們要想提升自己的考試成績，就必須要掌握一定的解題技巧，這樣才能正確解答題目。通過題目的解析不但能夠積累自己的解題經驗，同時還能夠提升自己的解題能力。

2 高中數學函數問題的解題方式

函數問題的解題方式有很多，在對這些函數問題進行解答時，我們要先觀察題目的具體類型，然后根據實際提出的問題進行解答。

2.1 對函數最值問題的巧解

最值一直是函數問題中最常見的一種。對最值問題進行解答的方式也有很多，其中包括了換元法、數形結合法、導數法以及配湊法等。以下就以配湊法為例子進行詳細的敘述：

配湊法比較適用于分式中，比如分子分布多項式的最高次冪不同；分子分布最高次冪相同，但是分子中包含c 的多項式和分母中包含x的多項式成比例。前一種情況只需要把高次冪多項式化解成與低次冪多項式相同的形式，然后再約分，再使用不等式或者是函數單調性進行判斷。第二種可以直接簡化成多項式和分式結構，然后再進行判斷。

2.2 對函數證明題進行巧解

很多函數試題總是使用抽象函數來考查函數性質，這些抽象函數一般是由具體函數轉變而來的。在對這種類型的問題進行解答時，可以使用特殊函數代替抽象函數，然后再對具體函數性質進行研究，最后再反追到抽象函數中。例如以下這道例題：函數f（x）符合以下這些條件：其一是x∈R，其二是對于任意實數有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y）；其三是存在一個正式 a，并且）=0.請問f（x）是都是周期函數？若是請證明并且指出其中的一個周期，若不是請說明。

解析：這道函數問題的主要核心是判斷f（x）是否是周期函數，也就是是否存在一個非零常數T。在x∈R的時候，滿足f（x+T）=f（x）。而f（x）是一個抽象函數，若是沒有任何依據去猜測其是否是周期函數，并且指出其中的一個周期，這個過程是非常困難和復雜的。因此，我們在解答的時候要首先觀察函數f（x）滿足的另一個條件：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y），在這個條件的基礎上就很容易想到三角函數差積公式能夠符合條件，也就是 cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，并且cosx也能夠滿足題目中的第一與第三個條件，也就是定義域是全部實數，并且也存在一個正數π，滿足cos（）=0.所以我們在解題是可以將f（x）化解成為cosx，這樣就能夠看出cosx是周期函數，并且周期是2π。通過這種方式就能夠正確的做好這道證明題。

2.3 巧解函數解析式

函數解析式的解答方式有很多，其中常用的就是定義法。定義法是給出函數解析式，經過配方和湊項的方式使其變形，轉換成有關自變量的表達式，然后將x代替自變量，以此獲取函數解析式。例題：

經過觀察和分析之后，我們可以把右端式子轉為“x+1”表達式子，這樣的解答方式需要有一定的觀察能力。

3 結束語

函數是高中數學中最重要的構成知識，我們在對函數問題進行解答時，必須要先對函數相關的概念和要素進行了解。在對這些基礎知識進行掌握之后，就可以依據實際問題的具體情況進行解答，使用定義法或者是配湊法的方式對相關函數問題進行正確解析。

[1]代歡.高中數學函數最值問題的幾種求解方法[J].理科考試研究:高中版,2017, 24(1):8-11.

[2]楊南.高中數學求函數解析式的幾種基本方法[J].數理化解題研究, 2012(9):13-13.