高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的巧解

胡鑠陽 湖北省武漢市建港中學(xué)

1 函數(shù)基本概念和特點(diǎn)

函數(shù)的題目形式總是千變?nèi)f化，若要想順利的解答函數(shù)問題，首先要做的是掌握最基本的技巧和方式。在對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，我們要先對(duì)函數(shù)的基本概念進(jìn)行了解，同時(shí)還要對(duì)函數(shù)最基本的三個(gè)要素進(jìn)行掌握。概念可以說是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在很多歷年高考題中都有對(duì)基本概念的考查，函數(shù)概念貫徹了小學(xué)、初中、高中，其中包括了數(shù)、式、方程、不等式及其函數(shù)等等。除了對(duì)函數(shù)的基本概念了解之外，還需要對(duì)函數(shù)的三個(gè)要素進(jìn)行了解。函數(shù)的三個(gè)要素包括：定義域、值域及其對(duì)應(yīng)法則。究其本質(zhì)，函數(shù)實(shí)際是一個(gè)研究變量和定量的過程中。學(xué)好函數(shù)能在更高的角度上處理各個(gè)方程、不等式和函數(shù)的關(guān)系。函數(shù)的三個(gè)要素是解所有函數(shù)題的基礎(chǔ)觀點(diǎn)。而函數(shù)觀點(diǎn)，其實(shí)際上是把問題放在動(dòng)態(tài)之上，然后再對(duì)問題進(jìn)行考慮。函數(shù)問題是考試中經(jīng)常遇到的問題，我們要想提升自己的考試成績，就必須要掌握一定的解題技巧，這樣才能正確解答題目。通過題目的解析不但能夠積累自己的解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)還能夠提升自己的解題能力。

2 高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解題方式

函數(shù)問題的解題方式有很多，在對(duì)這些函數(shù)問題進(jìn)行解答時(shí)，我們要先觀察題目的具體類型，然后根據(jù)實(shí)際提出的問題進(jìn)行解答。

2.1 對(duì)函數(shù)最值問題的巧解

最值一直是函數(shù)問題中最常見的一種。對(duì)最值問題進(jìn)行解答的方式也有很多，其中包括了換元法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法以及配湊法等。以下就以配湊法為例子進(jìn)行詳細(xì)的敘述：

配湊法比較適用于分式中，比如分子分布多項(xiàng)式的最高次冪不同；分子分布最高次冪相同，但是分子中包含c 的多項(xiàng)式和分母中包含x的多項(xiàng)式成比例。前一種情況只需要把高次冪多項(xiàng)式化解成與低次冪多項(xiàng)式相同的形式，然后再約分，再使用不等式或者是函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷。第二種可以直接簡化成多項(xiàng)式和分式結(jié)構(gòu)，然后再進(jìn)行判斷。

2.2 對(duì)函數(shù)證明題進(jìn)行巧解

很多函數(shù)試題總是使用抽象函數(shù)來考查函數(shù)性質(zhì)，這些抽象函數(shù)一般是由具體函數(shù)轉(zhuǎn)變而來的。在對(duì)這種類型的問題進(jìn)行解答時(shí)，可以使用特殊函數(shù)代替抽象函數(shù)，然后再對(duì)具體函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，最后再反追到抽象函數(shù)中。例如以下這道例題：函數(shù)f（x）符合以下這些條件：其一是x∈R，其二是對(duì)于任意實(shí)數(shù)有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y）；其三是存在一個(gè)正式 a，并且）=0.請(qǐng)問f（x）是都是周期函數(shù)？若是請(qǐng)證明并且指出其中的一個(gè)周期，若不是請(qǐng)說明。

解析：這道函數(shù)問題的主要核心是判斷f（x）是否是周期函數(shù)，也就是是否存在一個(gè)非零常數(shù)T。在x∈R的時(shí)候，滿足f（x+T）=f（x）。而f（x）是一個(gè)抽象函數(shù)，若是沒有任何依據(jù)去猜測(cè)其是否是周期函數(shù)，并且指出其中的一個(gè)周期，這個(gè)過程是非常困難和復(fù)雜的。因此，我們?cè)诮獯鸬臅r(shí)候要首先觀察函數(shù)f（x）滿足的另一個(gè)條件：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y），在這個(gè)條件的基礎(chǔ)上就很容易想到三角函數(shù)差積公式能夠符合條件，也就是 cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，并且cosx也能夠滿足題目中的第一與第三個(gè)條件，也就是定義域是全部實(shí)數(shù)，并且也存在一個(gè)正數(shù)π，滿足cos（）=0.所以我們?cè)诮忸}是可以將f（x）化解成為cosx，這樣就能夠看出cosx是周期函數(shù)，并且周期是2π。通過這種方式就能夠正確的做好這道證明題。

2.3 巧解函數(shù)解析式

函數(shù)解析式的解答方式有很多，其中常用的就是定義法。定義法是給出函數(shù)解析式，經(jīng)過配方和湊項(xiàng)的方式使其變形，轉(zhuǎn)換成有關(guān)自變量的表達(dá)式，然后將x代替自變量，以此獲取函數(shù)解析式。例題：

經(jīng)過觀察和分析之后，我們可以把右端式子轉(zhuǎn)為“x+1”表達(dá)式子，這樣的解答方式需要有一定的觀察能力。

3 結(jié)束語

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的構(gòu)成知識(shí)，我們?cè)趯?duì)函數(shù)問題進(jìn)行解答時(shí)，必須要先對(duì)函數(shù)相關(guān)的概念和要素進(jìn)行了解。在對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行掌握之后，就可以依據(jù)實(shí)際問題的具體情況進(jìn)行解答，使用定義法或者是配湊法的方式對(duì)相關(guān)函數(shù)問題進(jìn)行正確解析。

[1]代歡.高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的幾種求解方法[J].理科考試研究:高中版,2017, 24(1):8-11.

[2]楊南.高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式的幾種基本方法[J].數(shù)理化解題研究, 2012(9):13-13.