度量單位的本質及小學數學教學

娜仁格日樂，史寧中

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度量單位的本質及小學數學教學

娜仁格日樂，史寧中

（東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春 130024）

度量是數學的本質，是人創造出來的認識數學、進而認識現實世界的工具，度量可以是因人而異的．度量單位就是把不同個體的度量方法標準化，并且能夠得到人們的廣泛共識．度量的本質在于表現事物某些指標的順序．人之所以可以進行度量，并且能夠對度量單位取得廣泛的共識，是基于人的兩個先天本能，這就是對數量多少的感知和對距離遠近的感知．人還具有兩個特殊的能力，這就是抽象能力和想象能力，因此對于人而言，能夠基于兩個特殊的能力，把兩個先天本能延伸到對事物的某些指標進行量化和對量化順序的感知．度量主要包括兩類，一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果．因此，在小學數學相關內容的教學中，應當利用與發展學生的先天本能和特殊能力，分清兩類度量的本質特征，構建合適的教學方法，包括設計合適的教學情境和提出合適的數學問題，使得學生在掌握知識技能的同時，感悟度量單位所蘊含的數學思想，培養學生的符號意識和數感，形成數學抽象和直觀想象的數學素養．

度量單位；小學數學；數學教學

度量單位是計量事物標準量的名稱[1]．幾乎所有度量單位的產生和發展都經歷了漫長的時間，承載了度量單位由多元到統一，由粗略到精細的發展過程．度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具，正如龐加萊所論述的那樣：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間．”[2]

度量可以是因人而異的，度量單位就是把不同個體的度量方法標準化，是為了對度量的結果進行傳播和交流的需要．因此，度量單位的制定必須能夠表達度量的本質，方法科學、表達準確、相對穩定，能夠得到人們的廣泛共識．

度量的本質在于表示事物某些指標的順序．這里特別想強調的是，人之所以能夠進行度量，并且能夠對度量單位得到廣泛共識，是基于人的兩個先天本能，這就是對數量多少的感知和對距離遠近的感知①，這兩個先天本能是人能夠理解和研究數學的思維基礎，這兩個先天本能應當作為數學教育的出發點，也應當成為數學認識論和數學哲學的前提．非常遺憾的是，似乎還沒有文獻從認識論的角度討論過這個問題，即便可以認為這個問題是認識論的根基．過去的哲學過分關注形而上，或者說過分關注那些觀念上的東西，而不關注“人為什么可以”這樣的更為現實的問題．

在兩個先天本能的基礎上，人又具有兩種特殊的能力[3]，這就是抽象能力和想象能力．因此，對于人而言，就可以借助兩個特殊的能力把兩個先天本能延伸到對事物的某些指標進行量化，以及對量化順序的感知，這就觸及到了度量的本質．

無論度量單位的稱謂如何②，人們都是用1來表示一個度量單位，這是數學研究最為基本的概念．雖然度量單位都是人規定，但就度量單位的形成過程而言，大體可以分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果．形成過程的不同必然蘊含著思維形式的不同，因此，對于數學教育、特別是對小學數學教育而言，這樣劃分是必要的．這里分別討論這兩類度量單位的形成過程以及其中蘊含的思維形式，然后再討論相應的小學數學教學．

1 通過抽象得到的度量單位

從遠古時代開始，為了日常生活和生產實踐的需要，人們創造出一些語言用來表達事物量的多少，比如，狩獵收獲的多少，祭祀犧牲的多少，等等．

在古代中國，這樣的表達可以追溯到商代的甲骨文③．雖然在這樣的表達中出現了數字，但這些數字都依附于具體的現實背景，因為在數字的后面都綴有特殊的量詞，可以把這樣的量詞看作度量單位的稱謂．在現代漢語中，一些后綴量詞被根深蒂固地保留下來，比如，“一粒米、兩條魚、三只雞、四個蛋、五匹馬、六頭牛、七張紙、八頂帽子、九件衣服、十條褲子”，等等．

可以看到，這樣的數字還不完全具有數字符號的功能：因為一粒米與一頭牛是不可同日而語的，雖然都是數字1的具體體現；這樣的表達是無法進行運算的，因為無法理解一粒米加一頭牛得到的是什么．數學研究的對象應當是更為一般的抽象，這就涉及到數量度量的本質，這個本質就是度量數量的多與少，如前所述，這個抽象過程依賴于人對數量多少感知的本能．這個抽象過程最終導致十進制自然數的發明，十進制大概與人有10個手指頭有關．這個抽象的結果，在形式上是舍去了度量單位的稱謂，在實質上是脫離了數量所依賴的具體的現實背景．數學抽象的本質就是舍去事物的現實背景，更確切地，數學抽象就是舍棄事物的一切物理屬性．

表示十進制自然數的關鍵是10個符號和數位，其中的度量單位是1，因此，自然數是一個一個多起來的，皮亞諾就是依據這個原則建立了自然數公理體系．需要特別強調的是，雖然在教科書中是用加法（相反數）或者減法定義負整數，但中國漢代的數學著作《九章算術》表明，負整數與自然數一樣，也是人們對數量抽象的結果，與對應正整數之間的關系是：數量相等，意義相反[4]．

基于度量單位，那么5就是5個1，50就是50個1．因為是十進制，因此自然數的數位依次相差10倍，可以用現代數學語言表示為……104，103，102，101，100，10-1，10-2，10-3，10-4，……在一般的意義上，可以把數位也看作度量單位．比如，人們通常把5?000讀作5千，這是5個103的語言表述；把0.05看作5個0.01，這是對5個10-2的理解．這樣認識度量單位的方法，對于分數度量單位的理解是非常重要的．

雖然分數是數，被稱為有理數，但最初的分數是為了表達兩個自然數之間的關系，主要表達兩種關系，一種關系是整體的等分，另一種關系是兩個線段長度的比．

關于整體等分所表達的分數，分數單位的表達形式可以在古埃及象形文字中找到，是在表達整數的符號上面畫一個橢圓的符號，比如，在表示4的符號上面加上一個橢圓就表示分數單位1/4．特別是在古埃及，幾乎所有的分數都是通過分數單位和的形式進行表達的[5]．之所以說這樣的分數是整體等分的表達，還有一個重要的理由，是因為古埃及人是這樣表述分數的，比如3份，他們稱3/3是分數的第一個數，2/3是分數的第二個數，1/3是分數的第三個數，這顯然是把整體1分成3等份的表述．這樣的理解延續至今，現代英語仍然用第三（third）、第四（fourth）、第五（fifth）等順序用語表達分數單位．與整數的表達一樣，基于分數單位，3/5表示的就是3個1/5．

后來，人們通過四則運算和極限運算把數由自然數擴充到實數，但用以表達數的、抽象出來的度量單位沒有發生實質變化．

2 借助工具得到的度量單位

主要是指基于事物的背景構建的度量單位，這樣的度量單位始終含有表達事物背景指標的稱謂，例如，刻畫事物的重量、長度、能量、體積、溫度、速度，等等．這樣的度量單位不是抽象的結果，而是借助工具制定的．這里用長度單位的演變過程來分析這類度量單位的本質．

度量長度的本質是度量兩點間距離④，如前所述，這樣的度量依賴的是人對距離遠近感知的本能，這樣的度量是需要參照物的．

人們最初度量距離的參照物都是人體自身的器官．在現今的日常生活中，這樣的度量仍然廣泛使用．比如，在中國人們所說的“拃”就是古代中國的“尺”，指的是成年男人大拇指與中指之間的距離，如《孔子家語》中所說：“布手知尺，布指知寸．”還有一個度量單位是“咫”，指的是成年女人大拇指與中指之間的距離，成語“咫尺之間”說的是相差不大．在西方的許多國家仍然把“英尺”作為度量單位，英文單詞是foot是腳的意思，指的是成年男子一只腳的長度，由于腳的長度因人而異，16世紀的德國人采用了一個折中的方法，某禮拜日把從教堂里走出的16個成年男子集中，測量每人左腳的長度、加在一起取平均，定義這個平均數為英尺的單位長度，延續至今．

由此可見，這樣制定的長度單位是因人因地而異的，是無法進行傳播和交流的，因此長度單位的制定需要從多元走向統一．現在全世界統一使用的長度單位“米”源于法國，1790年，法國科學家特別委員會提出建議，定義“米”為巴黎子午線全長的四千萬分之一．為了使用方便，1889年第一屆國際計量大會決定，把長度單位“米”固化，用一根相當于這個長度的、截面呈X型的鉑銥合金棒為“米”的基準，人們稱之為“米原器”，這是第一次在全世界范圍內確定的長度標準，現在這個“米原器”保存在巴黎國際計量局的地下室中．

隨著科學研究的逐漸深入，人們越來越需要非常精細的距離單位，因此長度單位的制定還需要從粗略走向精細．基于“路程=時間′速度”的公式，可以通過時間和速度定義長度單位．根據愛因斯坦相對論的假設，光的速度是絕對的，因此，當人們能精確測定時間和光速以后，1967年第十三屆國際度量衡大會，利用原子鐘原理對秒給出嚴格定義：銫133輻射9?192?631?770個周期的時間間隔．1983年第十七屆國際計量大會通過定義：米長度為光在真空中1/299?792?458秒所經過的距離．這樣，人們就精細地定義了時間單位和距離單位．通過定義的過程可以看到，無論是古代還是現代，無論是粗略還是精細，這樣的度量單位的制定都是借助工具的，因此，這樣的度量單位的表達都是具有量綱的．比如，刻畫時間的“秒”，刻畫距離的“米”，刻畫重量的“克”，刻畫速度的“米/秒”，等等．

3 相應的小學數學教學

通過上面的論述可以看到，對于度量和度量單位的小學數學教學，應當注意到下面3個基本原則．

（1）把握度量單位的數學功能和本質特征．沒有度量就沒有數學，度量是人們認識數學，進而認識現實世界的基本工具和表達語言，是可以因人而異的．度量單位的確立是為了人們能夠對度量進行統一的表達和無歧義的交流，因此度量單位必須能夠揭示度量的本質，能夠得到人們的共識．度量的本質在于表現事物某些指標的順序，比如：數量的多少以及抽象出來的數的大小；距離的遠近；重量的輕重；速度的快慢．

（2）把握度量單位的形成過程和表達形式．度量單位的形成大體都經歷了從多元到統一，從粗糙到精細的過程，這是為了日常生活的表達和科學研究的需要．雖然度量單位都是人規定的，但就形成過程而言，大體可以分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是借助工具得到的，是人實踐的結果．

（3）把握學生認知度量單位的先天本能和特殊能力．這里特別強調，人之所以能夠進行度量，并且能夠對度量單位得到廣泛共識，是基于人的兩個先天本能，這就是對數量多少的感知和對距離遠近的感知．這兩個先天本能是學生學習數學、度量和度量單位的思維基礎，又因為人具有抽象和想象這兩種特殊能力，因此可以把兩個先天本能延伸到對事物某些指標順序的感知．

對于具體教學方法的設計而言，上述第二條基本原則是首要的，也就是說，首先要分析清楚所要教學的度量和度量單位是通過什么形式得到的，進而可以采取不同的教學策略．在確定了教學策略以后，再合適地融入第一條和第三條基本原則．第一條基本原則是為了明確教學過程的核心思想和基本框架，在教學過程中突出數學的本質．第三條基本原則強調注重學生認知過程，在教學過程中不僅要關注學生知識技能的掌握，還要關注學生數學素養的形成．下面，簡單描述這樣的教學設計過程．

基于第二條基本原則，對所要教學的內容確定度量和度量單位的形式，如前所述，形式主要分為兩類：一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；一類是借助工具得到的，是人實踐的結果．

對于通過抽象得到的度量和度量單位，低年級的教學最好采用對應的方法，這不僅僅是因為十進制就是對應于人的十指，事實上，通過對應認識和理解事物的數量關系是最原始的，也最有效的方法，古埃及和古巴比倫最初的數學表達都是采用對應的方法，可以在一些圖中發現這個事實[8]．正因為如此，在現代數學語言中，對應是一個不加定義的原始概念．

比如，可以把3個蘋果、3個橘子對應3個小方塊，把4個蘋果、4個橘子對應4個小方塊，并且讓學生知道這些量的稱謂，能夠分辨4個比3個多．這是從感性具體上升到感性一般的思維過程，是數學抽象的第一步，目的就是逐漸舍去蘋果橘子等事物的物理屬性，僅保留事物的量以及量之間的多少關系．正如第三條基本原則所論述的那樣，對數量多少的感知是人的本能，數學教學應當基于并且發展這種本能．

下面用數字對量的稱謂進行符號表達，比如，用3、4分別對3個小方塊、4個小方塊進行符號表達，同時把量之間的多少關系轉化為數之間的大小關系．可以看到，用符號3表示3個小方塊，比直接表示3個蘋果、3個橘子要便于學生理解數字符號的意義，可以讓學生感知和感悟符號表達是具有一般性的；特別是，通過這樣的數形結合，有利于學生形成直觀想象的能力，這是數學抽象不可缺少的能力．事實上，對于自然數加法的教學，也可以采用這樣的對應的方法[4]．

到了高年級，可以讓學生逐漸感悟抽象度量的本質：自然數是一個一個大起來的，其中的1就是度量單位，進而引申到數位：個、十、百、千、萬等．比如，認識10?000這個數，可以讓學生思考：用“千”可以表示的最大的自然數是9?999，如果又有了一個1，那么如何稱呼和表達這個新的數呢？古代中國發明了“萬”這個單位，可以把這個新的數讀為1萬；西方沒有發明新的單位，可以把這個數直接讀為10千．雖然讀的方法可以不同，但這個數的表示方法是一樣的：10?000．與此同時，可以讓學生自然而然地知道，10?000個比9?999個多1個，10?000比9?999大1．正如第一條基本原則所論述的那樣，度量的本質在于表現事物某些指標的順序．這是從感性一般上升到理性具體的思維過程，實現了更高層次的數學抽象．

這樣的教學活動是整體設計、分步實施的．通過這樣的教學活動，不僅能夠讓學生認識和理解數，知道表達自然數的關鍵是10個符號和數位，還能讓學生感悟符號表達的意義；能讓學生知道數量的本質是多少關系，與此對應，數的本質是大小關系，逐漸感悟度量的數學本質和度量單位的重要性．與此同時，通過合適的教學情境，讓學生經歷從感性具體上升到感性一般，從感性一般上升到理性具體的思維過程⑤，體驗什么是數學抽象和數學抽象的層次性．這樣的教育就是重視過程的教育，經歷過程有利于培養學生的符號意識，形成數學抽象的核心素養．

對于通過工具得到的度量和度量單位，與通過抽象得到的數的最大區別是，這時的度量不僅不能舍去事物的物理背景，還要抓住物理背景的本質，基于物理背景的指標構建用于度量的類，不同的類度量采用不同的度量方法．比如，這些指標可以是長度、重量、容量、速度等．度量方法可以因人而異、多種多樣，但是有一點是共同的，就是必須借助工具．雖然度量方法可以多種多樣，但是為了傳播和交流的需要，必須建立統一的度量語言，這就是度量單位⑥．

無論是什么樣的度量和度量單位，其中的量，最終都必須通過數予以表達，并且都是基于1度量單位進行表達的，不同的是，這時1的后面必須綴有度量單位稱謂．比如，對應于長度、質量、容量、速度等不同的指標，對應的度量單位的稱謂可以是米、克、毫升、米/秒，等等．因此，可以把長度指標的5米理解為5個1米，質量指標5克理解為5個1克．這樣，人們就可以通過數的大小順序表達數量長短、輕重、多少、快慢的順序．這些，就是第一條基本原則所述說的數學本質的體現．

既然現實背景如此豐富多彩，那么，就應當根據教學內容的需要設計合適的教學情境和提出合適的數學問題．在教學活動中，甚至可以讓學生根據情境和問題的需要，自己或小組決定用什么樣的度量工具．在這個過程中讓學生感知，選取度量工具的不同，可能會影響度量的精確性，比如，度量課桌的長度，用鉛筆的長度做度量單位與用橡皮的長度做度量單位，度量的精確性是不一樣的．最終讓學生感悟統一度量單位的必要性．在教學中，應當注意到，對距離遠近的感知是人的本能，要利用和發展這樣的本能，讓學生知道，應當根據事物的背景選用合適的度量單位．比如，測量鉛筆的長度用厘米，測量書桌的長度用分米，測量教室的長度用米，等等．通過這樣的過程的教育，幫助學生建立數感，形成直觀想象的數學核心素養．這些，就體現了第三條基本原則所述說的培養學生思維能力的要求．

無論是采用什么樣的教學策略，設計什樣的教學過程，最終的教學目標都是培養學生：會用數學的眼睛看，會用數學的思維想，會用數學的語言說．么

[1] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室．現代漢語詞典[M]．北京：商務印書館，2004：245．

[2] 昂利·彭加勒．科學與方法[M]．李醒民，譯．北京：商務印書館，2006：74．

[3] 史寧中．試論教育的本原[J]．教育研究，2009，30（8）：3-10．

[4] 史寧中．基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013：5-6．

[5] 梁宗巨．世界數學通史（上）[M]．沈陽：遼寧教育出版社，2001：168．

[6] 史寧中，娜仁格日樂．小學數學教科書中的比及其教學[J]．數學教育學報，2017，26（2）：2-5．

[7] 科士青．幾何學基礎[M]．蘇步青，譯．北京：商務印書館，1954：20．

[8] 李文林．數學史概論[M]．北京：高等教育出版社，2002：11-13．

①人的先天本能就是能在動物，特別是哺乳動物那里普遍找到原型的那些東西．

②有時不需要具體的稱謂，但需要保持理念．例如，在數軸上設置合適的單位長度，這就保持了度量單位的理念．

③主要是指殷墟甲骨文，其中大量記載祭祀的事情，涉及到數量，這或許是與上天或者祖先的一種對話形式．殷墟在現今河南安陽小屯村一帶，商王盤庚于公元前14世紀左右遷都于此，至紂亡國，歷8代12王273年．

④在《義務教育數學課程標準》中，把“兩點間直線段最短”作為一個基本事實，因此，兩點間距離等價于兩點間直線段長度．

⑤在這個意義上，用字母表示數就是從理性具體上升到理性一般．

⑥可以講述合適的數學文化，比如，秦始皇統一中國之后做的第一件事情就是統一文字和度量衡，統一度量衡的實質就是統一度量單位．

The Essence of the Measurement Units and the Primary School Mathematics Teaching

Na ren ge ri le, SHI Ning-zhong

(Northeast Normal University, School of Mathematics and Statistics, Jilin Changchun 130024, China)

Measurement was the essence of mathematics, which was a tool created by human beings to understand mathematics and then to learn about the present world, varying from person to person. The unit of measurement was the standardization of measurement methods of different individuals, and it could be got a broad consensus. The essence of measurement was the order in which some indicators of things were represented. The reason why people could measure and gain broad consensus on measurement units was based on two innate instincts, namely, the perception of quantity and the sense of distance. What’s more, people had two special abilities, abstract and imagination. Thus, for human beings, it could extend to some indicators of things based on two special abilities and two innate instincts to quantify and quantify the order. Measurement mainly included two kinds, one was obtained by abstract, which was the result of human thinking; the other was obtained by means of tools, which was the result of human practice. Therefore, in the process of teaching primary school mathematics related content, what we should do was to utilize and develop the student’s innate instinct and special abilities, distinguish the nature of the two kinds of measurement, and build appropriate teaching methods including designing appropriate teaching situation and putting forward appropriate mathematical problems. Moreover, we enable students to understand the mathematical ideas contained in measurement units while developing students’ knowledge and skills, and cultivate their symbols consciousness and number sense, and finally form the mathematical literacy of mathematical abstraction and visual imagination.

measurement units; primary school mathematics; mathematics teaching

G622

A

1004–9894（2018）06–0013–04

娜仁格日樂，史寧中．度量單位的本質及小學數學教學[J]．數學教育學報，2018，27（6）：13-16．

2018–06–22

中國基礎教育質量檢測協同創新中心自主課題——國家義務教育質量檢測等值方案研究（2016-03-004-BZK01）

娜仁格日樂（1981—），女，蒙古族，內蒙古赤峰人，博士生，主要從事數學教育研究．

[責任編校：周學智、陳雋]