數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思

蔡甜甜，劉國祥，寧連華

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數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思

蔡甜甜1，劉國祥2，寧連華2

（1．南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097；2．南京師范大學 數學科學學院，江蘇 南京 210097）

數學課堂留白藝術，以“等待時間”理論、參與者知識觀等為基礎，為學生發現和提出、分析和解決問題創造了條件，能有效提高學生的課堂參與度，實現深度學習，促進學生核心素養的培養．當下中小學數學課堂教學實踐中存在著留白藝術運用偏少，教師話語過多；時機不當，生成性留白少；流于形式，缺少思維含量；等等問題，值得關注與改進．

數學課堂留白；內涵；理論基礎；教學價值；實踐反思

蘇霍姆林斯基認為：“有經驗的教師往往只是微微打開一扇通往一望無際的知識原野的窗子．”誠然，在課堂教學中，教師如果講授得太多，就會消減學生自我咀嚼的機會，反而可能削弱重點，易使學生因持久聽講而產生疲勞，感到枯燥乏味；設置課堂留白，給學生提供思考的“空白時間帶”，則可以調動學生思維的主動性與積極性，讓學生基于自己的理解構建認知結構．“留白”并不意味著什么都不做，而是要以此為契機啟迪學生思維，產生“言有盡而意無窮”的效果．

結合數學學科特點，旨在探析數學課堂留白的內涵、理論基礎與教學價值，并對當下數學教學實踐中存在的問題進行反思，以期提升數學課堂教學的效能，促進學生核心素養的發展．

1 課堂留白的緣起

“留白”一詞最初源于中國傳統國畫藝術，是許多藝術種類的重要表現手法之一．詩人稱“空白”為“含蓄”，書法家稱其為“飛白”，畫家稱其為“留白”或“布白”，音樂家叫它為“煞聲”[1]．留白藝術即指創作者在作品中有意預留空白之處，為觀者、讀者或聆聽者留下自主想象的空間．留白藝術的運用使得觀者欣賞作品時能融入自身的思考與理解，不僅僅是被動地接受創作者的意圖，而是有主動再創作的機會．

雖然對于留白藝術的研究在國內興起較早，但是將留白藝術應用于教育領域，對課堂教學留白進行研究在國內則起步較晚．國外對于留白藝術教學的研究，主要集中在理論基礎方面．近年來，隨著課程改革的推進，留白藝術在課堂教學中的運用在國內也得到高度重視，進行了積極的實踐探索．

2 數學課堂留白的要義分析

2.1 數學課堂留白的內涵

在當下數學課堂教學中，“滿堂灌、一言堂”的教學方式顯然已經不再適用，越來越多的數學教育研究者及一線教師開始關注數學課堂教學中留白藝術的運用．伏爾泰曾說：“令人討厭的藝術是把什么都說出來了．”這也印證了課堂教學需要留白．就數學教育而言，課堂留白意味著：在某個課程主題的教學過程中，不將相關內容完全呈現給學生，有意識地留下一個“理解缺口”，讓學生通過思考去填入自己的理解性結果；不以確定的學習內容填滿整個教學時段，有意識地給學生留下一段時間思考屬于自己的數學[2]．數學教學中的留白給學生留下思考和想象的空間，使得留白變成一種真正的智慧，更使師生間的思維空間得到契合[3]．

數學課堂留白，指數學教師在課堂教學的某些環節中，有意留出一定的時間和空間讓學生自主思考、感悟，為學生構建屬于自己的數學認知結構，從事數學探究活動，表達對數學的理解提供機會．數學課堂留白藝術的運用，為師生思維火花的碰撞提供契機，有助于提高數學課堂教學的效能．

2.2 數學課堂留白的理論基礎

中國傳統道家思想強調無為而治，為數學課堂留白藝術提供了哲學基礎，留白時看似無為卻有所為．美學中常追求以虛襯實、虛實相生的境界，則為數學課堂留白藝術提供了美學基礎．除此之外，“等待時間”理論和參與者知識觀也為數學課堂留白藝術提供了豐富的理論基礎．

2.2.1 “等待時間”理論

20世紀70年代，美國心理學家羅伊針對課堂教學提出“等待時間”的觀點，并將其細化為兩類，即“第一等待時間”和“第二等待時間”．“第一等待時間”是指教師提出一個問題之后和請學生回答問題之前的間隔時間．“第二等待時間”是指學生回答問題之后和教師對學生的回答做出評論之前的間隔時間[4]．“第一等待時間”給學生機會從自身認知結構中搜索有效信息并加以整理，以便清晰而有邏輯地表述自己的觀點．“第二等待時間”要求學生給出答案之后，教師適當停頓，而不是立即給出評價或反饋，這樣可以給學生時間重新思考、修正并擴充答案，有利于學生完整地給出回答．研究表明，如果教師在提問之后，能把兩種不同的等待時間分別延長至3秒或3秒以上，學生的邏輯思維、教師對學生的態度和期待都會發生顯著的積極變化[4]．

課堂教學中的合理留白，是“等待時間”理論的一種重要運用．“留白”與“等待”看似是在放慢速度，其實是為了追求更高的效率．在此過程中，學生的思維處于活躍狀態，還可能會引申出與此相關的其它問題，課堂由此成為學生生成問題并解決問題的主要陣地[5]，有助于實現深度學習，促進學生全面可持續發展．

2.2.2 參與者知識觀

數學知識不是純粹傳遞與接收的結論性產品，而是個人參與構建、探究的生產性過程．數學學習者不必旁觀所謂“權威的知識”，接受既定的知識，而是要在參與意義創生的過程中，親歷、體悟、生成知識，這就是數學知識獲得的“參與者知識觀”[6]．根據建構主義理論，教學過程不是傳遞已有知識，而是幫助學生在個人經驗基礎上建構和深化理解．數學課堂教學中的留白，為學生融入個人的體驗、感悟與理解提供了機會，學生不再是被動接受數學知識的旁觀者，而是數學理解、數學觀建構的參與者，有助于學生逐步形成正確的價值觀念，發展關鍵能力，促進其數學學科核心素養的達成．并非所有數學知識都能由教師用顯性的方式直接教給學生，通過留白參與知識的建構，也有利于學生數學緘默知識的獲得．

3 數學課堂留白的教學價值

A·A·斯托利亞爾認為，“數學教學是數學思維活動的教學”，其關鍵就在于教學生學會思考．在數學課堂中合理運用留白藝術，為學生提供發現問題、自主思考、深度學習的空間，有助于讓學生成為數學活動的參與者和數學知識的建構者，將有效提升學生的思維品質．

3.1 為學生發現和提出問題及分析和解決問題創造條件

“問題是數學的心臟”，有效數學教學離不開高質量的好問題．《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確提出“提高從數學角度發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”的課程目標[7]．在數學課堂中合理運用留白藝術，可以給學生充分的時間、空間去思考，將發現和提出問題的主動權還給學生，鼓勵學生自主分析和解決問題，有助于培養學生的數學學科核心素養，發揮學生學習的主體性．意大利教育家蒙臺梭利曾說過：“我看到了，我忘記了；我聽到了，我記住了；我做過了，我理解了．”這對數學教育具有重要的啟發意義，很多內容僅僅聽老師講、看老師演示是不夠的，學生只有自己經歷分析與解決問題的過程才能形成對數學知識的深入理解，留白藝術的運用為其創造了條件．

案例1：三次函數性質的研究

教師對學生的回答進行總結，列出了一些想要研究的內容：

問題1 單調性（曲線的形狀）；

問題2 函數的極值；

問題3 函數的零點個數；

問題4 曲線的對稱性——中心對稱；

…………

這一案例中，教師沒有直接告訴學生這節課將要學習的內容，而是在給出研究對象后，留出時間讓學生自己思考想要研究三次函數的哪些性質，這樣的留白很好地促進了學生的思維，學生對于自己提出的問題更感興趣，研究的積極性也更高．在提出問題后，教師給了學生充分的時間自主探究并表達自己的想法，而不是直接講解．在這樣的數學課堂中，學生不用花很多精力去理解并跟隨教師的“指令”，而可以更深刻地思考數學的本質．事實上，相較于三次函數具體性質的識記，更重要的是引導學生類比之前的研究過程，學會選擇恰當的方法研究新的數學對象，這里留白藝術的運用起到了很好的效果．

3.2 有效提高學生課堂參與度

人的大腦不是被動地接受知識，它是永恒活動著的，能對外部的刺激做出最精密的反應[8]．在數學教學中運用留白藝術，能提高學生的課堂參與度，促進學生的思維活動，他們不再是機械地記憶老師傳遞的“知識”，而是可以及時對所獲得的信息做出反應，融入自己的理解，積極建構自己的數學認知結構．數學課堂留白的過程是學生主動進行思維活動的過程，有助于學生形成自己的認知策略，培養其創新能力，對學生核心素養的達成具有重要意義．

例如，數學模型是溝通數學與外部世界的重要橋梁，數學建模素養作為六大核心素養之一，值得充分關注．然而，僅通過教師的講授難以切實提升學生的數學建模素養，教師在課堂教學中，可以考慮留出時間，讓學生參與數學建模的過程，在做中學，積累數學實踐的經驗．這樣的留白能有效提高學生的課堂參與度，也有助于學生提升用數學語言表達世界的能力．

課堂教學的容量并不是越大越好，過度填塞知識反而不利于“消化吸收”．一整節數學課如果都是教師在講授，學生很容易覺得枯燥乏味，注意力不容易集中．適當留白，包括安排小組合作、探究性學習活動等，則可以調節教學的節奏，避免緊張、沉悶的課堂氣氛，使教學節奏松弛有度，提高學生數學學習的積極性與參與度．

3.3 有助于學生深度學習實現“少教多學”

近年來隨著核心素養的提出與發展，深度學習逐漸成為教育領域關注的熱點，數學深度學習的研究也已取得了一定的成果．數學深度學習是指在教師的引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，全身心積極參與、獲得發展的有意義的學習過程；它與淺層學習相區別，不是簡單的知識記憶，而是對學習內容有整體認知[9]．數學課堂留白藝術的運用為學生深度學習提供了空間，有助于學生調動已有的活動經驗解決問題，梳理數學知識間的聯系，構建知識結構體系，提升學生的數學學科核心素養．

著名教育家夸美紐斯在其教育著作《大教學論》中指出：應尋求并找出一種教學的方法，使教員因此可以少教，但學生可以多學．“少教多學”的理念在數學教育領域的運用也已取得了較為豐碩的實踐成果．數學課堂上，如果教師一直在講授，學生缺少思考的時間，是不利于其掌握數學知識、提升思維品質的，即“多教”并不一定能“多學”．鑒于此，適當減少數學教師課堂上的講授，合理運用課堂留白，為學生的自主學習與反思創造了條件，有助于收到“少教多學”的效果．

4 數學課堂留白藝術的實踐反思

基于已有相關研究及對數學課堂教學的觀察發現：目前中小學數學課堂留白藝術的運用仍存在一些有待商榷之處，值得數學教育工作者在教學實踐與未來研究中進一步探索．

4.1 課堂留白運用偏少而教師話語過多

受到課時緊張、考試壓力等諸多因素的影響，不少數學教師還是習慣于采用講授法作為主要的教學方法，數學課堂中留給學生自主思考、表達想法的時間總體上還是偏少．講授法固然是一種重要且高效的教學方式，但不能給學生留下數學就是枯燥的講授、乏味的練習這樣冰冷的印象．教師話語過多，反而會剝奪學生的思考空間，削弱學生思考問題、理解知識的質量與效力．鑒于此，教師應當有意識地在數學課堂中運用留白藝術，多給學生思考、探究、表達的機會，不可“操之過急”，避免在學生還未充分思考時就給予不必要的提示．

以數學課堂的小結環節為例，課堂小結并不一定需要由教師來完成，完全可以考慮讓學生自主回顧該節課的收獲，這也是留白藝術運用的一種方式．在數學學習中，需要學習者相對獨立地在原有知識結構的基礎上進行新的建構，并且這種建構對于不同的學習者來說并非完全一致[10]．鑒于此，即使是上同一節課，不同學生也會有不同的收獲，這更反映出在課堂小結處留白的意義．數學教師應給學生機會自主梳理，在學生小結基礎上適當補充即可，這樣才能真正發揮課堂小結應有的價值．

在數學解題教學中，如果教師只是一味講解，往往難以取得良好的效果，學生很可能出現諸如此類現象：教師講時都懂，但自己做就不會了；教師課上講過的題目會做，但稍有變化就不會了．究其原因，往往就在于“留白”不夠，學生總是在高強度地接收著教師傳遞的信息，而缺少自己反思、消化的時間，教師所講述的解題思路與要領并未內化到學生自身的認知結構之中，因而當學生獨自面對相似的問題情境時便又手足無措．鑒于此，數學教師在講解完一道題或者一類題之后，應當適當留白，給學生回顧整合的機會，從而實現舉一反三、事半功倍的效果，而不是“就題講題”、追求數量．

4.2 課堂留白時機不當而生成性留白少

有些數學教師也想在課堂上留出時間給學生思考，但對留白時機的把握還有所欠缺．對于簡單的問題，學生可能一下子就可以得到正確答案，留白時間過長不僅影響了課堂進度，還會讓學生失去興趣；另一方面，對于難度過大的問題，教師不加點撥，便留了大量時間讓學生獨立作答，這對學生思維發展也是沒有益處的，甚至會打擊學生學習數學的信心[11]．課堂時間是有限的，并不是每個問題都需要過多地思考，同時為了避免影響教學的連貫性及教學進度，課堂留白應當注重時機，在與教學重難點緊密聯系的“主問題”上可以多花時間，而一些不需要太多思考的細枝末節處則無需過多留白．

課前的教學設計對課堂教學效果的好壞有重要影響，為了更從容地在課堂教學中運用留白藝術，教師需要在備課時就應根據課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設．然而除了預設性留白，教學中生成性留白也很重要，當下數學課堂教學中存在著生成性留白偏少的現象．“生成”是教學活動的基本特征，教學的目的、內容、過程等都應是在預設的基礎上不斷生成、發展與創造的．教師在教學中除了考慮預設性教學目標外，還應關注在教學活動中生發出來的生成性教學目標，“目標應是一般性的、生成性的，從而鼓勵創造性的、互動的轉變”[12]．課堂教學是師生互動的過程，常會出現“超出預期”的狀況，其中亦不乏有思考價值的生成性問題．教師不應拘泥于預設，而應遵循數學課堂的動態生成性與“自組織性”，根據學生思維狀態靈活調整教學決策．數學教師應充分利用課堂生成性資源，根據實際教學情況及時調整教學進度，敢于在恰當的時機進行生成性留白．

案例2：函數的四則運算求導法則

在這一教學片斷中，教師對預設性留白處理得較好，給了學生時間思考函數積的求導法則，但是卻沒有對學生思考的結果進行即時反饋，仍按預設計劃完成了教學，沒能進行有效的生成性留白，這是值得商榷之處．雖然教材中對求導法則的證明不作要求，但是學生已經想到了“用定義來湊”，教師其實可以給學生更多機會表達自己的想法，引導其從定義出發嘗試推導兩個函數積的求導法則，或者也可以將用定義證明留作探究題讓學生回去思考，而不是回避．

4.3 課堂留白流于形式而缺少思維含量

隨著課堂留白研究的日益深入，越來越多的數學教師在教學實踐中積極進行探索，然而高質量的數學課堂留白卻仍不多．如果教師只是一味地留給學生足夠的思考時間，而不進行實質意義的研究，是沒有任何學習效果的[13]．換言之，“留白”并不是完全的“空白”，教師應當基于對教學內容的深刻理解以及對學生學習特點的把握，合理安排教學進度，通過恰當的留白啟發學生思考．在數學課堂中，留白藝術的運用是為了促進數學教學，切忌為了留白而留白，流于形式、缺少思維含量的課堂留白并不能“教學生學會思考”．張奠宙先生指出，數學課堂教學的優劣，自然應該以學生是否能學好“數學”為依歸，教育手段必須為教學內容服務[14]．數學課堂有著不同于其它學科教學的自身特點，這就要求教師理解數學內容的本質，關注數學學科核心素養的培養，有的放矢地進行課堂留白[16-23]．

案例3：正弦定理

一位教師試圖通過如下的教學活動引導學生發現三角形的正弦定理：讓學生隨便畫三角形，量、、∠、∠，用計算器計算相關比值；然后分組測量，匯報結果，猜想結論．對此，張奠宙先生認為這樣做不是數學思考，正弦定理絕對不是量出來的．數學不能靠大家意見相同就得到結論，必須證明，況且正弦定理的證明也很簡單．花費大量時間計算，乃是敗筆[15]．

在這一案例中，教師設計了看似“豐富”的教學活動，學生也確實都“動”起來了，但卻缺少思維含量，這樣的課堂留白不利于促進學生思考，反而會影響學生對正弦定理的理解，甚至造成數學觀的扭曲，無疑是不恰當的．與其追求形式上的熱鬧，不如將寶貴的教學時間用于正弦定理的推導與證明，引導學生感悟其中所蘊含的化歸等數學思想方法，理解正弦定理的本質，真正發揮課堂留白的作用．

5 結語

新一輪的課程改革承載著核心素養培養的旨趣，對數學課堂教學提出了新的要求，課堂留白藝術的運用就是頗具魅力的一個重要方面．研究者基于對數學課堂留白藝術的理論探析，對教學實踐中存在的問題進行了反思．其中一些思考還是初步和概要的，許多問題尚未完全厘清，后續可根據數學課堂教學案例進行深入分析，結合具體問題提出更有針對性的教學策略與建議，并在實踐中積極檢驗、修正．

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Theoretical Research and Practical Reflection of the Art of Blank Keeping in Mathematics Class

CAI Tian-tian1, LIU Guo-xiang2, NING Lian-hua2

(1. School of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China;2. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Based on “wait time” theory and participant theory of knowledge, the art of blank keeping in mathematics class provided conditions for students to recognize, pose, analysis and solve problems. It could enhance students’ participation in class and help realize deep learning, which was good for the development of students’ key competence. Teaching practice of mathematics teachers showed problems as follow which needed attention and improvement: teachers tend to say too much with little blank keeping behavior; opportunity for blank keeping may not be proper while generative blank keeping was too little; some blank keeping behavior lacks thinking content.

blank keeping in mathematics class; connotation; theoretical basis; teaching value; practical reflection

G420

A

1004–9894（2018）06–0029–04

蔡甜甜，劉國祥，寧連華．數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思[J]．數學教育學報，2018，27（6）：29-32．

2018–08–12

江蘇省社會科學基金項目——義務教育均衡發展視域下江蘇薄弱學校教師的TPACK狀況及其提升路徑研究（14JYB001）

蔡甜甜（1995—），女，江蘇南京人，碩士研究生，主要從事數學教學實踐研究．劉國祥為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、陳漢君]