裂項相消法的解題策略

葉擴會 王景艷

（保山學院數學學院，云南 保山 678000）

0 引言

數列是高中數學中難度跨度大、 求和方法多并且知識綜合性強的重要內容， 在解題的過程中， 需要靈活掌握各種求和方法， 既要掌握解題策略， 更要掌握各種求和方法的實用范圍。 下面我們針對裂項相消法來研究解題策略。

1 裂項相消法解題策略

裂項相消法是數列求和的重要方法之一， 下面我們將研究如下兩個問題。

問題1：如何裂項，需要注意哪些事項？

問題2：如何相消，最后剩下哪些項？

裂項相消法實用范圍：若數列{an}具有特征

an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

求{an}的前n 項和，則選用裂項相消法。

在實際的應用中，所給數列{an}并不具備特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn，經驗告訴我們：一般地，一個數列的通項如果是一個分式， 即分母上含有n 的一個式子，則可用裂項相消法去求該數列的前n 項和。 如：

等等。 這些數列并不直接具備特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn，

這就要求我們進行裂項，那么，如何進行裂項，需要注意哪些事項？

裂項相消法解題策略：（1） 分母為兩項積的形式，如果分母不是，應對分母進行分解因式。 如

（2）認準分母湊分子，分子湊為分母之差，一般地為大減小，如：

分母分別為(2n-1)與(2n+1)兩項，因為(2n+1)-(2n-1)=2，故分子應湊2，如

（3）將an裂為兩項之差。 如（2）中的

這里：

再如

由上式可知bn與bn+2相數差為2， 故前n 項和Sn中前面應該剩兩項被減項b1，b2，后面剩兩項減項bn+2，bn+1，即

2 應用舉例

為了能更好的說明上述思想，我們給出如下例子：

例[2018 四川廣元一模] 已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足：

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）令

又an>0 知Sn=(n2+n)。

當n=1 時，a1=S1=2；當n ≥2 時，an=Sn-Sn-1=2n，綜上所述：an=2n,n ∈N*。

（2）對數列{bn}按照裂項相消法解題策略進行變形得

由于分母(n+2)2-n2=4(n+1)，故

顯然，數列Tn單調遞增，故當n=1 時，Tn取最小值，且

3 結論

本文研究了裂項相消法的解題策略， 從裂項相消法的實用范圍， 到如何裂項， 最后研究了相消后所剩下的項及項數。 使得裂項相消法的解題策略程序化，更加易于掌握。