抓住問題本質，實現多題通解

沈英

波利亞在《數學的發現》中認為，中學數學教學的首要任務就在于加強解題訓練.數學離不開解題，解題的靈魂是數學思想，而數學模型是數學思想的載體.在平時的教學過程中，教師要善于引導學生將所學內容整理歸納出類型和方法，經過加工提煉，得出有指導價值、有典型結構的數學模型.“鉛垂高”模型在各地中考試卷上屢屢出現，雖在考查形式上不斷創新，但解決問題的途徑是相同的.本文主要對這類問題及其變式進行探究歸納，以幫助學生形成常規的解題思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.

1利用“鉛垂高”解決圖形面積問題

解析 因為拋物線的解析式確定，直線CD的解析式確定，從而可以確定C、D兩點之間的水平寬，第（2）小問要求△PCD面積的最大值，我們將“鉛垂高”PN的長度表示出來，就可以表示出△PCD的面積，再進一步求出面積的最大值.

解析 此題第（2）小問求平行四邊形CDEF的面積，可利用“平行四邊形是中心對稱圖形”性質，其對角線將平行四邊形分成了面積相等的兩部分，求平行四邊形CDEF的面積，其實就是求△DCF的面積的2倍，用“鉛垂高”模型即可求出△DCF的面積.我們只要找到了問題的本質，利用模型，就能快速地求解此題，這也是模型學習的優勢所在.

解析 本題第（2）小問求面積比的最值問題，因為△CDE和△BCE有相同的底邊CE，所以面積之比就轉化為高之比，由于高DF求解比較復雜，利用“鉛垂高”模型，我們將DF“化斜為直”轉化為求DH的長，問題將迎刃而解.

解析 四邊形DGFE是四個頂點都在變化的圖形，由于DG∥EF∥y軸，所以它是一個梯形，梯形的面積就是表示出上下底和高，由于DE=√5，直線CB的解析式可求，又線段DE在線段CB上運動，所以DG與EF之間的距離確定且為2，那么上下兩底的長就可以利用“鉛垂高”來解決.

2利用“鉛垂高”解決點到直線的距離問題

3利用“鉛垂高”解決三角形的周長問題

解析 △PMN的周長等于PN+PM+MN，其中PM的可用“鉛垂高”來表示，而PN表示點P到直線AD的距離，PN， MN的長度不容易直接求出.從圖11中可以發現△PMN∽△DCE，而△DCE是確定的，由△DCE三邊之比從而求得出△PMN三邊關系，進一步表示出△PMN的周長ι.

運用模型解題能夠加深學生的思維深度，抓住問題的本質及共性，找出問題間內在的聯系，讓學習事半功倍.所以在數學教學過程中，要有效地進行數學模型思想的滲透，讓學生充分體會到利用數學模型的思想解決問題的實用性.

哈爾莫斯說：“數學是一種別具匠心的藝術.”如果說數學教師是這門藝術的創造者，那么數學思想方法就是這門藝術的靈魂，學生的創作就是它的血和肉.作為數學教師不但要在課堂教學中經常性地滲透數學模型思想，更重要的是用這種模型思想的方法去拓展學生的解題思維，發展學生的創新意識和應用意識，提升學生的核心素養.