基于SV形態學方法的圖像分解問題的研究

段 汕，謝長江，毛振幗

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074)

最初的數學形態學方法主要采用固定結構元建立相關的形態學理論，但人們很快發現單一的固定結構元在實際應用中存在許多缺陷，由此結構元的自適應性研究成為改進這一問題的一個方向. 以Serra為代表的學者們[1-3]早在形態學建立初期就提出了結構函數的思想，將結構元視為空間位置變化的函數，Charif-Chefchaouni M和Schonfeld D等人在文獻[4,5]中將其命名為空間變化(Spatially-Variant，簡寫為SV)的結構元(簡稱SV結構元)，并將固定結構元的形態學方法推廣到SV結構元的情形[6]，對具有SV結構元的形態學(簡稱SV形態學，即Spatially-Variant Morphology)方法進行了一系列的研究，使得基于固定結構元的形態學理論得以推廣.

圖像分解與重構方法的研究是圖像分析中的一個熱點問題，有大量成熟的研究結果[7-9]. Xu J對基于骨架的圖像分解及重構問題有一系列的研究成果[10,11]，其主要采用經典的數學形態學方法進行內、外骨架的提取，利用固定結構元的形態變換建立相關的圖像分解及重構公式. Xu J在文獻[12]中，將基于固定結構元的內、外骨架變換交替運用于圖像的分解，得出了更為一般的分解算法，其優勢在于它能夠通過較少的骨架點構造出質量較高的近似圖像. SV形態學方法的建立，使得對結構元的選取更具自適應性，結構元也從具體的形態變為更為抽象的空間變化的形式，這使得SV形態變換無論在理論上還是在實際應用中都更具優勢，SV結構元的適當選取能更有效地實現對目標對象的相關處理. 鑒于SV形態學方法的這一特點，本文在Xu J關于骨架變換研究的基礎上，將SV形態學方法應用于建立更具一般性的SV骨架變換，應用SV結構元及SV形態變換實現對目標對象基于骨架的分解和重構，最終獲得的結果推廣了已有文獻的相關結論.

1 基礎知識

關于SV形態變換，Bouaynaya N和Schonfeld D有較為系統的研究[5,6]，其中最為重要的內容之一，是將SV形態學中的SV結構元定義為一個由點到集合的映射θ：E→P(E)，其中P(E)為冪集，且SV結構元映射θ依繼承序θ1≤θ2?θ1(z)?θ2(z)構成偏序集.SV結構元θ的轉置結構元定義為：θ′(y)={z∈E:y∈θ(z),y∈E}.對于任意的X∈P(E)，4個最基本的SV形態腐蝕、膨脹、開、閉變換分別定義為：

(1)

(2)

γθ(X)=σθ(εθ(X))=∪{(θ(y)|θ(y)?X;

y∈E},

(3)

φθ(X)=εθ(σθ(X))={z∈E|θ(y)∩X≠?,

?θ(y)|z∈θ(y)}.

(4)

在以上定義的基礎上，首先給出4個引理，作為后續工作開展的基礎.

引理1 對于A,B∈P(E)，有σθ(A∪B)=σθ(A)∪σθ(B).

引理2 對于A,B∈P(E)，有εθ(AB)=εθ(A)σθ′(B).

引理3 對于SV結構元θ1和θ2，有σθ2(σθ1)=σσθ2(θ1)，即σθ2(σθ1)(X)=σσθ2(θ1)(X).

引理4 對于SV結構元θ1和θ2，有εθ2(εθ1)=εσθ1(θ2)，即εθ2(εθ1)(X)=εσθ1(θ2)(X).

2 SV的內骨架變換

利用SV開運算的非擴展性[5]，即γθ(X)?X，對X實施一次開運算γθ(X)，得：

X=γθ(X)∪S0=σθ(εθ(X))∪S0=

σθ(X1)∪S0,

(5)

其中X1=εθ(X)，S0=Xγθ(X).對X1作開運算γθ(X1)，將X1表示成如下形式：

X1=γθ(X1)∪S1=σθ(εθ(X1))∪S1=

σθ(X2)∪S1,

(6)

其中X2=εθ(X1)=εθ(εθ(X))=εθ2(X)，S1=X1γθ(X1)，將(6)式代入到(5)式，并利用引理1可得：

X=σθ(X1)∪S0=σθ(σθ(X2)∪S1)∪S0=

σθ2(X2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ2(εθ2(X))∪σθ(S1)∪S0=

γθ2(X)∪σθ(S1)∪S0.

(7)

再對X2進行一次開運算γθ(X2)，將X2表示成如下形式：

X2=γθ(X2)∪S2=σθ(εθ(X2))∪S2=

σθ(X3)∪S2,

(8)

其中X3=εθ(X2)=εθ(εθ(εθ(X)))=εθ3(X)，S2=X2γθ(X2)，將(8)式代入(7)式，并利用引理1可得：

X=σθ2(σθ(X3)∪S2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ3(X3)∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0=

σθ3(εθ3(X))∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0=

γθ3(X)∪σθ2(S2)∪σθ(S1)∪S0.

(9)

重復以上過程，最后可以得到如下公式：

X=σθn(Xn)∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0=σθn(εθn(X))∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0=γθn(X)∪σθn-1(Sn-1)∪σθn-2(Sn-2)∪…∪σθ(S1)∪S0,

(10)

3 SV的外骨架變換

關于外骨架，文獻[12]中有明確的闡述，外骨架作為一種不同于內骨架的圖像特征，在實際應用中有其特有的作用.

由SV閉運算的擴展性[5]，即X?φθ′(X)，對X進行一次閉運算φθ′(X)，有：

X=φθ′(X)T0=εθ′(σθ′(X))T0=εθ′(X1)T0,

(11)

其中X1=σθ′(X)，T0=φθ′(X)X，對X1作類似的操作得：

X1=φθ′(X1)T1=εθ′(σθ′(X1))T1=εθ′(X2)T1,

(12)

(13)

再對X2進行一次閉運算φθ′(X2)，并將X2表示成為：

X2=φθ′(X2)T2=εθ′(σθ′(X2))T2=εθ′(X3)T2,

(14)

(15)

重復相同步驟，最后可以得到：

(16)

4 內、外骨架統一的圖像重構公式

以上分別利用內、外骨架給出圖像的分解及重構公式，但單一運用內骨架或是外骨架進行分解往往產生大量的冗余，且骨架級數相對較高.文獻[12]通過實例說明綜合運用內、外骨架能重構出高質量的近似圖像，且用于重構的內、外骨架成分相對較少.為此，以下將利用SV形態學方法，對文獻[12]中的相關工作作進一步地推廣.

4.1 近似公式的推導

在已建立的SV內、外骨架變換的基礎上，利用得到的公式及結論，通過交替實施開、閉運算，建立基于內、外骨架的圖像分解及重構公式.

首先對X進行一次開運算γθ(X)，將其表示為：

X=γθ(X)∪S0=X′∪S0,

(17)

其中X′=γθ(X)，S0=Xγθ(X).對X′進行一次閉運算φθ′(X′)，可得：

X′=φθ′(X′)T0=X1T0,

(18)

其中X1=φθ′(X′)，T0=φθ′(X′)X′.將(18)式代入到(17)式可得：

X=X1T0∪S0.

(19)

運用(7)式可以將X1近似地表示為：

(20)

(21)

(22)

X≈X2σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(23)

最終可得X的兩個近似表示式：

X≈Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(24)

及

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(25)

X≈σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(26)

4.2 近似公式的證明

可以證明，以上所得到的關于X的所有近似表示式均為等式.下面在4.1節相關公式推證的基礎上展開證明.

對第一個近似公式(21)式，由X′?φθ′(X′)=X1，開運算的增性[5]和(20)式知：

又X′=γθ(X)，根據開運算的等冪性[5]可得：

由X′=φθ′(X′)T0=X1T0知，X′不含有T0中任何點，故有

兩邊同時并上S0，利用(19)式，得：

(27)

這說明第一個近似公式(21)式的右邊包含X作為子集.

對于第二個近似公式(23)式，根據(22)式及閉運算的擴展性[5]可知：

(28)

將(28)式帶入到(27)式中，可得：

X?X2σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(29)

這說明第二個近似公式(23)式的右邊包含X作為子集.

(30)

將(30)式代入到(27)式，可得：

(31)

這說明當n=2時，(25)式的右邊包含X作為子集.

重復類似的推證，一般地可以得出(24)式及(25)式亦滿足：

X?Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(32)

…σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(33)

X?σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0.

(34)

由此證明了以上關于X的所有近似表示式的右邊均包含X作為其子集.

為證明以上近似公式中的反包含關系亦成立，運用集合的補運算及開、閉運算的對偶性[5]進行相關推證.關于XC可以得出：

XC=(X1)C∪T0S0,

(35)

關于XC的一般形式的近似公式如下：

(X)C≈(Xn)C∪σθn-1(Tn-1)σθn-1(Sn-1)∪…∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(36)

(37)

因而，在(37)式中，當n=1時，由閉運算的擴展性[5]可知：

結合(35)式也即：

(38)

這說明當n=1時，(37)式的右邊包含XC作為其子集.對于(36)式，當n=2時，有：

(39)

將(39)式代入到(35)式中可得：XC?(X2)C∪σθ(T1)∪T0S0,(38)式表明XC不含有σθ(S1)中的點，故：

XC?(X2)C∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(40)

這說明當n=2時，(36)式的右邊包含XC作為其子集.對于(37)式，當n=2時，根據閉運算的擴展性[5]可知：

(41)

將(41)式代入到(40)式便可得：

(42)

這說明當n=2時，(37)式的右邊包含XC作為其子集.

重復類似的推證，一般地可以得出(36)及(37)式亦滿足：

XC?(Xn)C∪σθn-1(Tn-1)σθn-1(Sn-1)∪…∪

σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(43)

…∪σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0.

(44)

XC?σθn-1(Tn-1)σθn(Sn)σθn-1(Sn-1)∪…∪

σθ(T1)σθ(S1)∪T0S0,

(45)

由此證明了X的近似等式的右邊均是X的子集.綜合以上的推證結果可知，4.1節中所有關于X的近似式均為等式，即一般地有：

X=Xnσθn-1(Tn-1)∪σθn-1(Sn-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(46)

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(47)

X=σθN(SN)σθN-1(TN-1)∪σθN-1(SN-1)…

σθ(T1)∪σθ(S1)T0∪S0,

(48)

(48)式給出了內、外骨架的SV形態骨架變換的推廣形式.

5 結束語

本文將SV形態學方法應用于基于內、外骨架的圖像分解及重構問題的研究，用SV結構元替代固定結構元，建立了SV形態學內、外骨架變換，將骨架變換推廣到更為一般的形式，彌補了固定結構元對圖像重構方法的局限性. 此外，本文還研究了將內、外骨架同時作為分解成分時的圖像分解和重構問題，得到了SV內骨架變換和SV外骨架變換的一個統一形式，并給出了一系列相關的推算和證明. 本文就SV形態學方法在圖像分解問題中所涉及的相關算法的理論框架進行了研究，后續工作將對所建立的各類圖像分解算法進行實驗分析，以完善我們的研究工作.