基于目標的線性規劃膳食平衡策略

張智芳，裴雪，聶小鳳（.福建省疾病預防控制中心，福建福州5000；.長安大學信息工程學院，陜西西安70064；.福建衛生職業技術學院，福建閩侯500）

近年來，我國城鄉居民膳食狀況明顯改善，但由于對健康飲食認識不夠，部分人群膳食結構不合理、運動較少，導致糖尿病、高血脂等營養相關性疾病患病率依然較高[1-2]。因此，需要更多地關注飲食營養對身體健康的重要性，建立健康的膳食模式。另一方面，《中國居民膳食指南》自公布以來，被營養學界高度重視，但在實際操作中，不同食物間的配比及量化關系很難掌握。營養經濟學采用經濟學、計算機科學等多學科知識，探析人類營養行為、營養配置及營養改善，通過分析成本—效益、成本—效果的相關性，制定營養干預措施，從而達到最低投入、最大產出的目的。已有學者根據中國人群飲食習慣，綜合考慮膳食平衡與最低經濟投入，建立了線性規劃模型，但影響膳食營養的因素具有非線性特點[3]。因此，本研究采用非線性規劃的算法，通過合理的假設與逼近構建規劃模型，得到了平衡膳食的各種原料成分及比例圖，能夠為制定科學的膳食均衡策略提供一定的依據。利用線性規劃來求解具體的問題，并應用于膳食指導，尚未見報道，本文從《中國居民膳食指南》入手，充分考慮國人的經濟水平及對營養的需要，在營養經濟學的基礎上，建立膳食指導的線性規劃模型，更加準確地為使用者和膳食指導者提供判斷和選擇的依據，在實際的膳食指導過程中發揮重要的作用。

1 材料與方法

1.1 膳食平衡模型建模原則 膳食平衡是人體的生理需要與營養供給之間的動態平衡。因此，建立模型時需要遵循以下原則。（1）三餐合理分配：在一日的膳食量中，早餐占30%，午餐占40%，晚餐占30%。（2）能量來源平衡分配：在膳食中，碳水化合物占55%～65%，蛋白質占 10%～25%，脂肪占 20%～25%。（3）營養素的平衡：根據中國營養學會推薦的標準確定營養素攝入量[4]。（4）食物種類與攝入量：根據《中國居民膳食指南》，確定每日食物種類與攝入量如下[5]。谷類、薯類及雜豆類250～400 g，蔬菜類 300～500 g，水果類 200～350 g，畜禽肉類 40～75 g，魚蝦類 40～75 g，大豆及堅果類 25～35 g，奶及奶制品類300 g。每天攝入12種以上食物。成人每天食鹽不超過6 g，每天攝入烹調油25～30 g。對蛋類的需求通常為40～50 g，因此每天1個雞蛋基本可以滿足要求。水果類200～350 g也基本可以滿足要求。奶及奶制品類300 g以1袋牛奶作為推薦量。在確定蛋類與奶及奶制品類攝入量前提下，本研究對谷類、豆類、蔬菜、水果、肉類、油脂類食物攝入量進行研究。

1.2 建模方法概述 非線性規劃模型是以非線性函數作為目標函數，以非線性約束作為約束條件，再用經典的近似算法，對非線性函數作合理的假設與逼近，得到其近似的線性函數，從而把非線性規劃問題轉化為線性規劃問題。采用單純形法與Matlab軟件的科學計算模塊，編程構建模型，求得最優解，即滿足營養需求的前提下最經濟合理的膳食方式[6]。

1.3 模型的建立與求解

1.3.1 基本假設 （1）忽略含量小的微量營養素；（2）不考慮各種營養素之間的互相影響；（3）不同地區、不同性別人群對營養的需求大體相同。

1.3.2 符號說明 （1）pi：表示第i種原料的價格，單位為元/千克，i取值 1、2、3、4、5、6；分別為谷類、豆類、蔬菜、水果、肉類、油脂類。（2）xij：表示第 i種原料在第 j種人群中的日用量，單位為克。i取值同上。j取值 1、2、3、4、5、6，分別為嬰幼兒、兒童、青少年、青年、中年和老年。要求xij不低于最低需求量，最高限量則由目標的可實現性來控制。（3）aij：表示第j種人群對第i種原料的日均需求量。（4）yik表示第i種原料中第k種營養元素的單位含量，單位為百分比。k 取值 1、2、3、4、5，分別為能量、蛋白質、鈣、維生素 A、維生素 C。（5）aik：表示第 i種原料中第k種營養元素因烹飪所產生的損耗率。（6）bik：表示人體對第i種原料所制作的食物中第k種營養元素的吸收率。（7）mjk：表示第j種人群對第k種營養元素的日均需求量。

1.4 靈敏度分析 模型中所設置的每個參數的變化，都會影響最終膳食模型中各食物含量和食物總成本。因此，采用靈敏度分析驗證模型結構中某參數變化帶來的影響，即通過靈敏度分析得到膳食結構中某種參數的合理變化范圍，以及對總體目標的影響。

2 結 果

2.1 線性優化模型的建立 設定mjk為固定值，不同人群對不同原料的日均需求量為 aij，其中 i=1，2，…，6，j=1，2，…，6。以經濟最省且與中國營養學會膳食營養成分推薦攝入量差距最小為制定均衡膳食方案的目標，計算函數為：

xmij為示性函數，當研究第j種人群的第i種原料時，xmij=1；否則其值為零。總成本最小，需要求得minfj，因此該問題的目標函數為：

烹飪可導致營養元素損耗，人體對不同營養元素的吸收率不同，又要求達到營養學會的推薦量。因此，綜合考慮上述因素，建立函數：

由以上分析可知，求總成本最小值時，決策變量為xij，所以最終問題歸結為在約束條件下，求目標函數的最小值。考慮到人體對食物吸收的復雜性，假設吸收率bik為 100%，食物損耗率 aik為 0。因此，模型可以簡化為：

由于目標函數Zj對xij是線性的，因此該模型為線性規劃模型。

2.2 模型的求解 因地域及個人飲食習慣不同，飲食需求多樣化，在制定一日食譜過程中，如考慮所有的食品種類，則有可能因引入太多參數而無法建模。因此，在此僅以比較具有代表性的食物為例，在實際應用時則采用“食物交換份”的方法，通過同類食物之間的互換達到膳食平衡。本研究以青年（18～35歲）中等體力活動男性（j=4）午餐食用芹菜炒肉和西紅柿炒蛋為例，根據營養元素的總需求量，參考每種食物的價格，以滿足營養要求、經濟實用為目標，計算最優食物配餐比例。《中國居民膳食營養參考攝入量（2013版）》分類總表見表1。肉食與蔬菜所含營養成分見表2～3。

表1 中國居民膳食營養參考攝入量（2013版）分類總表

表2 芹菜炒肉原料及其所含營養成分

表3 西紅柿炒蛋原料及其所含營養成分

根據上表，將食物營養成分帶入規劃模型，則為：

在模型中，只考慮5種主要指標。應用多目標規劃的目標系數加權法計算Zj=αfj+βgj；加權系數分別為α、β（α+β=1），其中α表示營養在總體目標中所占比例，β表示價格在總體目標中所占比例。用Matlab優化計算模塊計算可得：

（1）α=0.1，β=0.9

x14=125.000 0，x34=90.998 1，x54=75.000 0，x64=10.000 0

（2）α=0.4，β=0.6

x14=125.000 0，x34=90.194 6，x54=75.000 0，x64=10.000 0

（3）α=0.5，β=0.5

x14=125.000 0，x34=80.051 1，x54=75.000 0，x64=10.000 0

（4）α=0.9，β=0.1

x14=124.975 7，x34=91.105 1，x54=75.003 7，x64=10.168 5

由上述結果可知，當α=0.4，β=0.6時，yik可取得最優解，結果見表4及圖1～2。根據模型設定規則與目標權重，適當調整各原料的含量比例，可計算獲得基本滿足推薦的營養元素需求量且經濟水平可接受的實施配方為：芹菜炒肉200 g，1.85元，西紅柿炒蛋200 g，0.87元，總成本3.72元。

表4 午餐芹菜炒肉與西紅柿炒蛋配比最優解數據

圖1 芹菜炒肉配比最優解餅圖

圖2 西紅柿炒蛋配比最優解餅圖

2.3 靈敏度分析結果

2.3.1 數值的處理 考慮到四舍五入帶來的影響，為方便編程計算，特作如下規定：凡靈敏度分析中間值的絕對值小于或等于0.00 001的元素值均設為0.0。用1.0×1035代替+∞，-（1.0×1035）代替-∞。

2.3.2 參數分析 在保持最優解的條件下，求滿足下列不等式的xij取值范圍：

以芹菜炒肉為例，對x54的含量（0%～100%）中畜禽肉類中的豬肉做靈敏度分析，結果見圖3。含量的變化只要在一定范圍內波動，都能達到其最優方案的允許誤差內。

圖3 x54取值（含量）變化對目標函數的影響

3 討 論

采用數理計算方法實現科學的膳食指南，已有相關報道[7-10]。例如應用平衡膳食指數，或者利用基因表達式算法結合演化建模，并參考《中國居民膳食指南》和平衡營養寶塔結構及特殊疾病患者營養標準，設計特殊疾病營養膳食模型，并對相應的配餐結果進行評估，也具有較高的可行性和實用性。在國外，營養配餐已經很普及。HALIFA等[11]在1997年就提出在營養配餐中利用遺傳算法進行優化和求解。

3.1 膳食平衡模型中的假設問題 由于膳食結構及食物之間的相互作用極為復雜，因此本研究在建立模型時，為便于計算，做了幾個假設，包括忽略微量營養素、不考慮各種營養元素之間的互相影響等；不考慮地區、性別、年齡人群間的差異，只按照不同的體力活動水平判斷對營養元素的需求，同時忽略三大產能營養素之間相互轉化等問題。因此，在模型求解過程中有一定的偏差，但通過模型的不斷擬合與逼近，最終得到最符合膳食特點的模型。

3.2 模型的應用 有學者在應用多目標進化算法保證營養需求的同時，開發了基于網絡架構的膳食營養決策支持系統[12]。本研究建立的線性規劃模型，實用性強，算法也簡單，可以根據菜譜、食物原料價格，在考慮經濟因素的同時，定量給出食物準確的配比關系，具有很強的指導意義。而且，本研究是根據不同年齡、不同需求、不同能量消耗人群需求得到的普遍適應模型，可利用性較強。本研究在建模過程中，考慮了食物價格參數，因此在營養經濟學方面也起到一定的補充作用，在降低經濟要求的同時，也能實現膳食平衡，達到營養充足的目的。因此，本研究得到的結論是營養不良與營養過剩同時存在的經濟佐證。因為，不是食物越貴，營養價值越高。本研究求解得到的也是同時實現經濟最省且營養價值最佳的最優解。

3.3 營養經濟學 曾有學者使用線性規劃模型，使用GAMS語言編程，預估18～49歲不同體力活動水平男、女性成年人合理營養所需的最低食物支出[13]。事實上，營養經濟學的量化研究較少，多局限于政府營養干預項目的政績評估，對于營養與食物支出的經濟討論相對較少。然而，在此領域的研究有助于分析經濟發展與人群食物消費之間的關系，從而制定正確的引導政策。

3.4 模型的探討 目前已有幾種營養經濟學研究方法，但該學科本身還不夠完善，研究還處于探索階段。本模型理論性較強，但適應的范圍有一定的限制。本模型考慮了食物價格變化的不穩定性，以及人群需求量的不確定性，提高了模型的準確性，可以更好地提出精準、合理的膳食建議，達到更量化的水平。模型建立后，通過日常生活常見食譜的驗證，結合市場價格，與模型計算獲得的膳食推薦量相比，偏差很小，說明本研究建立的模型是具有普適性的。