初中數學反比例函數PCK內涵解析

樊榮花

摘 要：為了推進基礎數學課程改革，課堂教學著眼于學科教學知識（PCK）提升的改革，以促進學生對數學的理解和數學價值的認識，對數學概念的PCK研究是有意義的。

關鍵詞：變量；反比例函數；數學模型；抽象思維

函數在當今社會中應用廣泛，在數學、計算機科學、IT等領域發揮著舉足輕重的作用。義務教育第三學段在“數與代數”這部分對一次函數、正比例函數、反比例函數、二次函數進行了系統的學習?！癙CK（Pedagogical Content Knowledge）”是學科知識在教學應用中的轉換，是學科知識、教學法知識和情境知識間的整合和

轉換。

一、反比例函數的內涵及教育價值

1.學科價值

北師大版九年級上冊第六章第一節“反比例函數”，通過豐富的現實情境，借助表格、公式、數量關系抽象出反比例函數模型，通過分析每個問題中變量之間的關系建立函數模型，歸納出反比例函數的概念。一般地，如果兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y= （k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數。反比例函數的自變量不能為零。概念的形成需要學生再舉出類似的例子，并將關系式寫成y= 的形式，這樣才能在學生的頭腦中初步形成一個新的函數模型，而且也能體會定義中非零常數k及變量x，y允許取任意非零數值。這些豐富的現實原型就成為概念的某種直觀解釋或實際意義，通過舉例、說理、討論等活動進一步體驗如何用數學的眼光來審視某些實際現象，思考其數學的意義。

2.教育價值

用函數模型分析問題和解決問題是初中學生應當具備的數學學科素養之一。反比例函數的學習有利于發展學生的符號意識，發展抽象思維，有助于數學函數模型的進一步完善。

（1）有利于發展學生的符號意識，發展抽象思維

設置的問題盡量貼近生活，讓學生感受到親切、自然，激發學生的學習興趣，提高學生思考問題的積極主動性和解決問題的能力。這些生活背景便于學生發現問題，可以根據數量關系用符號表示，體會將實際問題抽象為數學函數模型，由此體會到：生活處處皆數學，生活處處有函數。

（2）有助于數學模型的進一步完善

在觀察、思考、列式、比較中應用不同于一次函數的新函數模型表示兩個變量之間的關系，并認識和發現反比例函數與一次函數的密切聯系和不同之處，這樣有助于學生函數模型的完善和數學思維的發展。

二、數學課程標準中反比例函數要求

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對反比例函數的要求是：（1）探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義?！疤剿鳌本褪仟毩⒒蚺c他人合作參與特定的數學活動，尋求解決問題的思路，發現對象的特征及其與相關的區別和聯系。

（2）結合實例，了解函數的概念和三種表示法，能舉出函數的實例。“了解”就是初步認識反比例函數，知道這種函數與一次函數、正比例函數的區別。（3）能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系。（4）結合具體情景體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式。

三、反比例函數與其他數學內容的聯系

1.橫向聯系

七年級學習了“變量之間的關系”，知道了自變量和因變量，能從表格、表達式、圖象中分析兩個變量之間的關系。八年級學了“平面直角坐標系”“一次函數”和一次函數的特殊形式——“正比例函數”。九年級下冊還要學習“二次函數”。

2.縱向聯系

小學時知道按比例分配的含義，并能簡單應用。認識成正比例的量和反比例的量。能找出生活中成正比例和反比例關系量的實例。初中是“數與代數”第三部分的中間內容，上承一次函數，下接二次函數。高中階段學習指數函數、對數函數、三角函數等較復雜的函數，并對函數的定義域、值域、對應法則、單調性進行系統的學習。

四、學生學習反比例函數概念的經驗基礎和困難預測

1.學生的經驗基礎

對函數、正比例函數、一次函數的概念、圖象與性質以及應用有所掌握，會用數學符號表示實際問題中的關系。具備了用函數模型表示兩個變量之間的關系的意識和思路。

2.學生學習的困難預測

困難1：面對新的函數時，還可能存在一些思維障礙，如：學生不能準確地找出變量之間的自變量和因變量。特別是有關物理中的公式U=IR，當U一定時，I與R哪個是自變量，哪個是因變量。

困難2：反比例函數和正比例函數的區別。在表格中有兩個變量，當兩個變量的積一定時，成反比例函數關系；當兩個變量的商一定時，成正比例函數關系。而學生認為因變量隨自變量的增大而增大就是正比例函數關系，因變量隨自變量的增大而減小就是反比例函數關系。

五、幫助學生學習反比例函數概念的教學策略

策略1：類比分析，認識反比例函數。將實際問題抽象出函數模型后用符號表示的五個表達式，y=20x，y=100-20x，y= ，t= ，a= ，觀察比較它們的異同，分分類，仿照一次函數的表達式用符號表示出新函數——反比例函數。

策略2：舉例說明，加深對反比例函數的關系式y= 的形式的掌握。在學生通過對比一次函數的表達式，歸納出反比例函數的表達式后，讓學生同桌之間再舉幾例，提問另一個同學，互問互答幾輪后再判斷一些表達式哪個是反比例函數。

參考文獻：

[1]譚軍，陳君瑜.數學教師學科教學知識建構初探[N].宿州學院學報，2006（3）.

[2]王夕予.新數學教師學科教學知識之探討[J].科教文匯（上旬刊），2011（9）.

[3]楊小麗.我國學者關于數學學科的PCK研究綜述及對教師培訓的啟示[N].北京教育學院學報（自然科學版），2010（2）.

編輯 趙飛飛