巧用數形結合 提升數學運算能力

曹逸

摘要：數形結合是一種可以使復雜問題簡單化，抽象問題形象化的數學思想方法。在計算教學中巧妙運用數形結合，可以幫助學生親歷探索全過程，明晰算理，形成算法，發現計算規律。在計算練習中合理運用數形結合，可以提升學生理解運算、實施運算和估算的能力，能有效提升學生數學運算的能力水平。

關鍵詞：數形結合;運算能力

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）19-075-2

數形結合是根據數與形之間的對應關系，通過數和形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合可以將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，實現抽象思維和形象思維的有機結合。數形結合不僅是一種教學思想，還是一種很好的教學方法。教學中有不少抽象的、學生難以理解和掌握的內容，通過數形結合的使用可以巧妙地突破重點、化解難點。

一、利用數形結合，親歷發現過程

1.經歷探尋“理”和“法”的過程

算理是計算過程中的道理，是解決“為什么這樣算”的問題，而算法是計算的方法，是解決“怎樣算”的方法。算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉概括。在理解算理的基礎上，算法才能融會貫通，靈活運用。數形結合可以有效地把算理顯性化、直觀化。

教學中，教師應重視指導學生在理解算理的基礎上掌握計算方法。例如，在教學“加法運算律及其簡便計算”課中，教師引導學生思考323+102、426+199可以怎樣簡便計算，讓學生根據經驗提出自己的想法：

323+102=323+100+2

426+199=426+200-1

追問：為什么可以這樣轉化呢？誰能解釋一下這樣算的道理？（學生的思維很活躍。）

生1：假如我去超市買東西，我先付了323元，還要付102元。我先給營業員100元，再加兩個硬幣，所以323+102可以變成323+100+2。第二題我先付了426元，然后又給了阿姨2張100，可是多付了1元，所以要用426+200-1。

生2：我把102拆成100+2，所以323+102可以變成323+100+2。把199拆成200-1，所以426+199等于426+200-1。

生3：因為102包含了1個百和2個1，所以可以先加上1個百，再加2個1。第二題是需要加199個1，但是卻加上了200，多加了1個，所以要減去。

此時，教師應及時出示下列圖示，讓學生借助圖形理解算理，深化對計算方法的認識。

2.親歷發現規律的過程

數學學習本身是一個探索、創造知識的過程。計算教學包含了大量的探索運算規律的內容。利用數與形的聯系進行合理轉化，可以將復雜的數學問題，尤其是規律探索問題變得簡單易懂。

例如教學《積的變化規律》一課，通過自主探究，學生初步發現了“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，得到的積就等于原來的積乘幾”這個規律，此時教師應啟發學生：是不是所有的乘法算式中都存在這樣的規律呢？因此，我們剛才提出的猜想還需要進一步驗證。試舉例，用算式或者畫圖驗證一下。

生1：

生2：我用一個長方形面積表示4×9，長不變，寬乘2，所以面積也乘了2。

學生用圖形表達出了規律，很有創意。

之后，教師再次出示圖形，引導學生繼續探索：如果兩個乘數同時擴大，比如一個乘數乘2，另一個乘數乘3，積會怎樣變化呢？試著畫一畫、算一算，驗證自己的猜想。

生1：

生2：

無論是長方形還是正方形，學生都能有意識地運用圖形表征積的變化規律，這種圖形表征方法直觀形象，利于學生理解和內化抽象的規律。

二、利用數形結合，提升運算能力

計算練習的優化對于學生運算能力的提升起著關鍵作用。教師應根據情況合理選擇數形變換的方式，提升數學運算的能力水平，發展思維能力。

1.數形結合，提升理解運算水平

對運算的理解不能僅僅在新授課中出現，在練習中同樣需要。通過練習回顧，更加利于學生對運算規則、運算步驟表示含義的內化和深化。理解運算的基本能力水平要求是“能在簡單情境中識別運算規則”;高一級能力水平要求“能說明運算過程中特定步驟表示的含義”;更高能力水平的評價標準為“能用適當的方式（如畫圖、描述等）解釋運算規則或結果”。由此可見數形結合對于提升理解運算能力水平的必要性。設計練習，可以讓學生根據算式的意義、運算規則和數學規律描述圖形，或借助圖形刻畫運算規則或結果，提升理解運算能力水平。

例如題1：下面三幅圖中，分別表述哪一個運算定律。

再如題2：a+a=2a，a×a=a2，有沒有什么方法可以區分？可以寫一寫，可以畫一畫。

生1：

生2：

2.數形結合，提升實施運算水平

數學運算的關鍵能力之二是實施運算。能力水平從低到高的標準依次為“能根據運算規則正確地進行四則運算”“能在理解算理的基礎上，根據運算規則正確進行驗算;能正確計算兩步整數四則混合運算試題”“能靈活運用規則，尋求合理簡潔的途徑進行運算”。評價實施運算的高層次水平的重要標準是看運算是否合理、簡潔、優化。在計算練習中，數與形的合理轉化恰可將復雜的數學問題簡單化，尤其是具有一定規律性的問題變得簡潔易懂。在尋求最優運算方法的過程中，促進學生運算能力的提升。

例如：計算1+3+5+7+…+19=？這是一個公差為2的等差數列計算，在課堂中學生并沒有學習相關的內容。但是如果轉化成圖形來計算，則可以化繁為簡。

師：我們試著用不同的顏色的小正方形擺一擺，逐步表示出這個算式。

在教師的引導下，擺一擺并板書算式

學生發現，要求這些數的和，就是求小正方形的個數。觀察圖形和對應的算式，你發現怎樣算更簡便？通過觀察思考，學生感悟到可以把加法算式轉化成相應的平方數，從而輕松得出1+3+5+7+…+19=10×10=100。這一教學過程，教師不必向學生介紹等差數列這一抽象性較高的知識，而是借助圖形發現數量之間的規律和聯系。

3.數形結合，提升估算水平

數學運算的關鍵能力之三是“估算”。除了“能根據解決問題的需要選擇估算”、“能按照一定標準進行估算或估計”的標準外，其高水平的評價標準為“能運用估算解決一些實際問題”。由于實際問題的情境比較復雜，需要學生綜合運用知識，開展深度思維。在這個過程中，數形的巧妙轉化可成為學生思考的腳手架，幫助學生梳理復雜的數量關系。

例如“工地有一堆黃沙需要運送。大貨車每輛運2噸，小貨車每2輛運1噸。大、小貨車一次把9噸黃沙全部運完。可能有幾輛大貨車？幾輛小貨車？（可以列式計算，也可以畫一畫）”。

生1：

生2：

學生在解題過程中，巧妙運用畫圖策略，非常清晰地展示了思維過程，并且尋求了多種解題方法。

總之，正如華羅庚先生所說，“數形結合百般好，隔離分家萬事非”。在小學數學計算教學中，教師應滲透和培養數形結合思想，努力挖掘“數”和“形”的本質聯系，引導學生加強數形結合意識，為學生數學核心素養的逐步提高和數學能力的逐步提升打下堅實的基礎。