反對稱鋪設復合材料圓柱殼雙穩態特性的溫度影響理論模型與數值分析*

張煥青，柴國鐘，張 征，吳化平

(浙江工業大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部/浙江省重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

具有兩種不同穩定狀態特性的復合材料結構稱為雙穩態復合材料結構，其不僅能克服單一材料的性能缺陷，并且在無需持續外載荷的作用下能分別穩定保持在兩種穩態。根據材料不同的鋪設方式，它又可分為非對稱、對稱與正交雙穩態結構[1-2]。

由于其優異的性能，諸多學者展開了對該特殊結構特性的研究。HYER[3-4]對非對稱鋪設圓柱殼結構展開了討論，通過實驗結果與其提出的理論進行對比驗證，發現兩個穩態的曲率方向是相反的；DATON-LOVETT[5]發現了反對稱圓柱殼結構與非對稱圓柱殼結構特性有所不同，即兩個穩態的曲率方向是一致的；GUEST和PELLEGRINO[6]提出了一個用來描述雙穩態復合材料圓柱殼結構不同穩態的雙參數模型，主要考慮圓柱殼方向角θ和潛在圓柱主曲率C兩個參數。上述研究只考慮了機械載荷作用下的雙穩態結構的穩態轉變，然而這些結構常被應用于服役條件惡劣(如高溫環境)的航天航空領域或其他可變形結構領域中。

在雙穩態復合材料結構中，常采用纖維增強樹脂基底復合材料，該類材料的參數容易受溫度的影響。ODEGARD等人[7]研究了應用于航空航天的Carbon/PMR-15材料的力學性能隨溫度變化的情況，這種材料能夠適用于較高溫度下工作，該材料的彈性模量和剪切模量受溫度變化的影響較小，而熱膨脹系數α11和α22會隨著溫度的增加而變大；HYER[8]通過對T300/5208 Graphite-Epoxy復合材料在不同溫度下的彈性模量、泊松比和熱膨脹系數進行了測量，通過數值擬合得到了材料參數隨溫度變化的非線性關系；ZHANG等人[9-11]對Carbon/Epoxy雙穩態非對稱鋪設圓柱殼展開了其受熱載荷影響的分析，通過對結構施加熱載荷以驅動結構穩態轉變，得出了受熱影響的材料性能對結構雙穩態行為的改變。

本文將使用經典層合板理論與最小勢能原理，建立雙穩態反對稱鋪設圓柱殼的理論模型，并使用有限元軟件ABAQUS分別對恒溫場、均勻溫度場和溫度梯度場作用下的Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T500/3028 Graphite-Epoxy制成的雙穩態反對稱鋪設圓柱殼的雙穩態特性進行研究，建立合理的數值分析模型。

1 理論分析

1.1 溫度場下的雙穩態圓柱殼理論模型

由于溫度對反對稱鋪設圓柱殼結構的影響，筆者考慮溫度影響情況下的本構方程包括機械載荷與溫度載荷兩部分產生的應變和曲率，其表達式為[12]：

(1)

式中：N—層合板的總內力；M—層合板的總彎矩；NM—由機械載荷產生的力；MM—由機械載荷產生的彎矩；NT—溫度場產生的力；MT—溫度場產生的熱力矩；ε—中性面總的應變；k—中性面總的曲率；εM—由機械載荷引起的中性面應變；kM—由機械載荷引起的中性面曲率；εT—由熱載荷引起的應變；kT—由熱載荷引起的曲率。

剛度矩陣為：

式中：Zk—垂直于厚度方向平面到中性面的距離；k—劃分層數；n—材料總層數。

由于反對稱鋪設圓柱殼結構具有兩個穩態，可以從能量角度出發求解出兩個穩態解，即總勢能的兩個極小值?；谝陨瞎?，得出總勢能包括彎曲應變能ub和拉伸應變能us，分別為：

(2)

(3)

單位面積的總勢能表達式為：

U=ub+us=

(4)

當到達第二穩態時ky2≈0，利用最小勢能法可得第二穩態主曲率kx2和扭曲率kxy2：

(5)

(6)

1.2 3種材料屬性的擬合

反對稱雙穩態圓柱殼采用Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy這3種材料屬性與溫度相關的材料。根據CAMPBELL[13]，ECKSTEIN[14]和ZHANG等人[15]對3種材料的材料屬性實驗測試數據，得出以下線性、二階最小二乘法擬合的公式。

Carbon/Epoxy材料屬性與溫度的關系式如下：

E1=(-0.065 4(T0+ΔT+Tzz)+128.03)×109Pa

E2=(-0.063 8(T0+ΔT+Tzz)+10.665)×109Pa

G12=(-0.033 9(T0+ΔT+Tzz)+5.387 7)×109Pa

ν12=0.410 2

α1=(0.000 3(T0+ΔT+Tzz)2-0.035 5(T0+ΔT+Tzz)+2.0897)×10-6

α2=(0.004 1(T0+ΔT+Tzz)2-0.225 4(T0+ΔT+Tzz)+32.23)×10-6

α3=(0.003 7(T0+ΔT+Tzz)2-0.149 6(T0+ΔT+Tzz)+32.78)×10-6

Carbon/PMR15材料屬性與溫度的關系式如下：

E1=(-0.052 5(T0+ΔT+Tzz)+139.67)×109Pa

E2=(-0.010 8(T0+ΔT+Tzz)+9.138 9)×109Pa

G12=(5×(T0+ΔT+Tzz)2×10-5-0.033 5(T0+ΔT+Tzz)+7.177 1)×109Pa

υ12=0.45

α1=(-4(T0+ΔT+Tzz)2×10-6+0.002 2(T0+ΔT+Tzz)-0.246 1)×10-6

α2=(-0.000 2(T0+ΔT+Tzz)2+0.022 9(T0+ΔT+Tzz)+28.341)×10-6

T300/5028 Graphite-Epoxy材料屬性與溫度的關系式如下：

E1=5×105(T0+ΔT+Tzz-21)2+1.99×108(T0+ΔT+Tzz-21)+1.65 Pa

E2=1.2×106(T0+ΔT+Tzz-21)2+2.56×108(T0+ΔT+Tzz-21)+2.20×1010Pa

G12=-3×104(T0+ΔT+Tzz-21)2-1.8×107(T0+ΔT+Tzz-21)+4.84×109Pa

ν12=-0.000 5(T0+ΔT+Tzz)+0.435 2

α1=10-11(T0+ΔT+Tzz-21)3+6×10-9(T0+ΔT+Tzz-21)2+10-6(T0+ΔT+Tzz-21)+5×10-5

α2=2.65×10-5

2 理論計算

反對稱鋪設雙穩態復合材料圓柱殼結構常被應用在航天航空領域(如可變形機翼等)，常在高溫環境下服役。因此，為了研究在熱環境下性能較好的雙穩態圓柱殼，筆者展開了溫度場的變化對Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱鋪設雙穩態圓柱殼的應變能U，扭曲率kxy與第二穩態主曲率kx2影響的研究。以下均使用鋪設方式為[45°/-45°/45°/-45°]，長度L為100 mm，初始半徑R為25 mm，單層材料厚度為0.12 mm且初始圓心角β為180°的試件參數進行計算。其中，圓柱殼試件形狀與尺寸如圖1所示。

圖1 反對稱鋪設雙穩態圓柱殼試件示意圖

2.1 恒溫場與均勻溫度場下的雙穩態特性

在20 ℃、70 ℃和120 ℃恒溫場下，Carbon/Epoxy、Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy雙穩態反對稱圓柱殼的應變能U與第二穩態主曲率kx2的關系如圖2所示。

圖2 在不同恒溫場下3種材料雙穩態反對稱圓柱殼的應變能U與第二穩態主曲率kx2的關系(ky=0)

圖2中，3種材料的總勢能都存在一個極小值，這個極小值則對應著各試件的第二穩態。Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15的雙穩態殼都是溫度越高對應的U越低，然而T300/5028 Graphite-Epoxy這種材料在到達kx2最小值之前溫度越高對應的U越低，而后溫度越高對應的U越高。

3種材料制備的圓柱殼在均勻溫度場下溫度增量與扭曲率變化的關系(ΔT-kxy曲線)如圖3所示。

圖3 在均勻溫度場下3種材料反對稱雙穩態圓柱殼的溫度變化量ΔT與扭曲率kxy的關系

由圖3可知：隨溫度變化量的增加，Carbon/PMR15圓柱殼的扭曲率穩定增長，然而Carbon/Epoxy圓柱殼的扭曲率在ΔT<100 ℃之前都穩定增長，超過100 ℃后增長速率減緩。無論溫度升高或降低，兩者第二穩態扭曲率均比初始狀態要大，即kxy1

均勻溫度場對3種材料反對稱鋪設圓柱殼的第二穩態主曲率kx2的影響情況如圖4所示。

圖4 在均勻溫度場作用下3種材料反對稱雙穩態圓柱殼的溫度變化ΔT與第二穩態主曲率kx2的關系

在圖4中，當溫度保持在室溫時，Carbon/Epoxy的kx2數值在29.5 m-1附近，Carbon/PMR15的kx2數值在28 m-1附近，而T300/5028 Graphite-Epoxy的kx2數值在32 m-1附近。隨著溫度的增加kx2不斷增加，圓柱殼會變得更加卷攏，且Carbon/PMR15與T300/5028 Graphite-Epoxy曲線增長速率相近，而Carbon/Epoxy曲線增長速率較大。

均勻溫度場對3種材料反對稱鋪設圓柱殼的應變能U的影響情況如圖5所示。

圖5 在均勻溫度場作用下3種材料反對稱雙穩態圓柱殼的溫度變化量ΔT與應變能U的關系

從圖5可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15兩種材料制備的圓柱殼隨著溫度的增加U會減小。Carbon/Epoxy圓柱殼的初始值為0.95 J左右，而Carbon/PMR15圓柱殼的初始值為1.15 J左右，并且曲線減小的速率Carbon/Epoxy要比Carbon/PMR15快。T300/5028 Graphite-Epoxy這種材料的圓柱殼隨溫度的增加，U先呈現緩慢遞增的趨勢，當ΔT>70 ℃之后就快速增長，并且U的數值要比前面兩種材料大兩個數量級。

2.2 溫度梯度場下的雙穩態特性

當沿厚度方向有溫度梯度Tz變化時，在溫度T中需增加一項Tzz，整個反對稱鋪設圓柱殼結構受到的溫度為T=T0+ΔT+Tzz?？紤]到材料的使用環境溫度區間，避免施加溫度梯度導致材料失效，所以筆者設置材料的初始溫度T0為50 ℃(即圓柱殼中心面溫度)，溫度梯度范圍為-200 ℃mm-1～200 ℃mm-1之間。溫度梯度Tz的變化對3種材料反對稱圓柱殼扭曲率kxy與第二穩態主曲率kx2的影響分別如圖6所示。

(a)溫度梯度Tz的變化對Carbon/Epoxy反對稱圓柱殼扭曲率kxy的影響

(b)溫度梯度Tz對Carbon/PMR15反對稱圓柱殼扭曲率kxy的影響

(c)溫度梯度Tz對T300/5028 Graphite-Epoxy圓柱殼扭曲率kxy的影響

(d)溫度梯度Tz對Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反對稱圓柱殼第二穩態主曲率kx2的影響

(e)溫度梯度Tz的變化對T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱圓柱殼第二穩態主曲率kx2的影響

根據圖6可以發現：(1)Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圓柱殼的kxy1和kxy2的數值相近且均為負數，而T300/5028 Graphite-Epoxy的扭曲率卻遠大于前兩種材料的圓柱殼，但三者結果都關于x=0 ℃mm-1呈軸對稱；(2)在Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15中|kxy1|<|kxy2|，而在T300/5028 Graphite-Epoxy中|kxy1|>|kxy2|；(3)3種材料雙穩態殼的第二穩態主曲率kxy2都隨著TZ的增長而增長，Carbon/Epoxy的初始值在29.5 m-1左右，而Carbon/PMR15的初始值在27.5 m-1左右，兩個增長率相近，但是Carbon/Epoxy的增長率較大。T300/5028 Graphite-Epoxy的初始值在2.5 m-1左右，增長率要遠大于前兩種材料的雙穩態殼。

3 模擬與結果分析

3條突變荷載-位移曲線如圖7所示(分別對應溫度從室溫20 ℃增加到40 ℃和60 ℃，施加機械載荷使雙穩態圓柱殼發生穩態轉變的過程)。

圖7 3種材料反對稱雙穩態圓柱殼在不同溫度作用下穩態轉變的位移載荷關系

圖7結果表明：Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy雙穩態殼曲線有相同的趨勢，即隨著施加載荷增加結構位移明顯增加，且當載荷達到峰值后位移量迅速下降到零。這種現象表明圓柱殼由第一穩態轉變為第二穩態。

Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱雙穩態殼穩態在不同室溫下穩態轉變的突變載荷如表1所示。

表1 Carbon/Epoxy，Carbon/PMR15和T300/5028 Graphite-Epoxy反對稱雙穩態圓柱殼不同溫度下的突變載荷

由表1可知：Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15反對稱圓柱殼的突變載荷將隨溫度的升高而降低，且在不同室溫下Carbon/PMR15的突變載荷都大于Carbon/Epoxy，然而T300/5028 Graphite-Epoxy的趨勢卻與前兩者不同，隨著溫度的上升突變載荷先上升后下降，但都遠大于前兩種材料的圓柱殼。

4 結束語

本文通過理論和有限元分析，研究了恒溫場、均勻溫度場和溫度梯度場對3種材料反對稱鋪設圓柱殼的雙穩態行為的影響，結果均表明上述溫度場對第二穩態主曲率kx2有明顯的影響，而扭曲率kxy受均勻溫度場的影響最為明顯。此外，Carbon/Epoxy和Carbon/PMR15圓柱殼的扭曲率kxy和溫度變化之間的關系是相似的，kxy始終為整數且兩者數值差值小于5 m-1，但T300/5028 Graphite-Epoxy圓柱殼的趨勢與前兩者相反且為負數。同時，T300/5028 Graphite-Epoxy的第二穩態主曲率kx2且穩態轉變所需的突變載荷F在這3種材料非對稱鋪設圓柱殼種最大。

該研究結果可對雙穩態反對稱圓柱殼選材提供指導。