六自由度機械臂運動學及奇異性仿真分析

袁 媛

(西安航空職業技術學院 航空維修工程學院，陜西 西安 710089)

0 引 言

串聯機械臂作為現代工業中常用的機械臂，具有多自由度、多連桿的特點，被廣泛應用于焊接機器人及汽車、船舶、航天等零部件的焊接及噴涂操作中[1]。

作為控制的基本問題，運動學及奇異性已經被廣泛研究。安梓銘等[2]基于矢量分析方法建立了3-PRP型并聯機構的運動學正逆解模型，并基于雅克比矩陣對其速度和奇異性各向同性配置進行了分析。肖永飛等[3]針對設計的一種上肢外骨骼機構進行了運動學與奇異性分析，針對機械臂在工作空間內的奇異形位提出了一種消除的方法。李瑞霞等[4]建立了六自由度機械臂的運動學坐標系，基于D-H法建立了機械臂的正運動學模型，并進行了工作空間的分析。李憲華等[5]建立了六自由度模塊化機械臂的運動學模型，并對工作空間內的奇異構型進行了分析。劉夢軍等[6]針對三自由度機械臂進行了運動學正逆解的推導。宋晨等[7]針對所設計的調姿機構建立了其運動學模型，并對其末端誤差和誤差靈敏度進行了分析。夏田等[8]研究了下肢康復機械臂的運動學模型，并進行了仿真分析。李麗等[9]分析了6R串聯機械臂的正運動學模型，并進行了奇異位置分析。丁希侖等[10]對機械臂的空間位姿誤差分析方法進行了總結。李志宏等[11]分析了機械臂連桿參數誤差對機械臂末端位姿偏差量和末端位姿可靠性的影響。吳碩等[12]基于D-H法推導了五自由度機械臂的運動學模型。趙磊等[13]建立了平面6桿機械臂的運動學模型，并對系統中存在的幾何誤差對機械臂的控制精度進行了分析。葛為民等[14]通過仿真分析了機器人幾何靜態誤差參數對末端位置誤差的影響，并構建了誤差參數靈敏度系數模型。張永貴等[15]基于示教器顯示的機械臂的位姿建立了運動學參數未知的機械臂的逆運動學模型。王帥等[16]基于D-H法建立了六連桿機械臂的運動學模型，并基于Matlab搭建了仿真模型進行了仿真分析。

本文針對六自由度機械臂的運動分析問題，對機械臂運動學數學模型、末端位置誤差、機械臂奇異形位等方面進行研究。

1 六自由度機械臂的運動學分析

1.1 正運動學分析

六自由度串聯機械臂如圖1所示。

圖1 六自由度串聯機械臂Ji—關節的轉軸；θi—關節轉角；Oi—關節坐標系原點

六自由度機械臂有6個旋轉自由度的串聯型機械臂，末端位置只與前3個驅動關節相關，后3個旋轉關節的存在將提高機械臂的靈活性，使得機械臂的靈巧度更高。

為了建立其運動學模型，首先筆者基于D-H關節坐標系后置的方法建立其運動學坐標系，通過D-H法規定的兩個相鄰坐標系之間的變換規則，得到運動學模型的D-H參數，如表1所示。

表1 焊接機器人的D-H參數

通過相鄰坐標系之間的變換矩陣式可以得到相鄰關節之間的齊次坐標變換矩陣，并通過坐標系之間的變換得到機械臂末端在其自身基礎坐標系下的位置向量與姿態角。相鄰坐標系之間的變換矩陣如下：

i-1Ti=

(1)

將機械臂的D-H參數代入式(1)，即可求得各個關節坐標系之間的坐標轉換矩陣。根據求得的相鄰關節坐標系之間的坐標變換矩陣，機械臂的正向運動學模型可通過相鄰坐標系變換矩陣的乘積求得：

(2)

式中：0Tn—末端坐標系到基坐標系的變換矩陣；i-1Ti—第i關節坐標系到第i-1關節的變換矩陣(i=1..,6)。

其中，各轉角范圍為：

為了驗證建立的運動學正解模型的正確性，首先，本文借助于Matlab的機器人工具箱，搭建六自由度機械臂的機構模型，以此模型的輸出作為真實的輸出結果，給定運動學模型與仿真的結構模型相同的關節轉角，比較得到的兩種模型的輸出的末端位置[px，py，pz]與姿態角[α，β，γ]，以兩種模型之間的誤差大小來衡量所搭建的正運動模型的正確性。其中姿態角的解析方法采用RPY解析法，由于此種方法比較成熟，筆者通過機械臂末端的姿態矩陣元素來解算末端坐標系繞3個軸線方向的旋轉角度(3個姿態角)，此處不贅述。

本研究搭建的正運動模型驗證模塊Simulink程序如圖2所示。

圖2 六自由機械臂的正運動學驗證模型

本研究將各個關節的轉角范圍賦給運動學模塊與機構模塊，設置仿真時間為10 s，仿真步長為0.1 s，運行仿真程序可以得到理論和實際的機械臂末端位姿誤差，如圖3所示。

圖3 機械臂末端位置和姿態誤差曲線

從圖3可以看出，機械臂末端的位置和姿態與真實的相差很小，3個方向位置誤差數量級都在10-13mm，3個姿態角誤差數量級都在(10-14)°，由此可見，本文所搭建的運動學正解模型是正確的。

1.2 逆運動學模型驗證

基于運動學正解模型，通過等式兩側同時乘以矩陣逆陣及對應元素相等可以求得所對應的運動學逆解，即在給定末端位姿的條件下可以得到對應的關節轉角。本研究以關節1為例，首先給定機械臂的末端位姿矩陣如下：

(3)

根據運動學正解模型可以建立等式如下：

(4)

因等號兩側矩陣對應元素相等，可以求得關節1轉角θ1的解析式如下:

θ1=atan(py/px)

(5)

求得的其余關節轉角為：

其中：

與運動學正解類似，本研究搭建機構仿真模型作為實際輸出，通過給定機械臂仿真結構的轉角，然后測量機械臂仿真模型末端的位置向量與姿態矩陣，并將位置向量和姿態矩陣組合成為機械臂末端的齊次矩陣作為運動學逆解模型的輸入，最終通過比較仿真機構的輸入角度與運動學逆解得到的關節轉角，以驗證運行學逆解模型的正確性。搭建的運動學逆解的仿真驗證程序如圖4所示。

本研究設置仿真時間為10 s，仿真步長為0.1 s，運行仿真程序可以得到仿真機構模型的輸入角度和運動學逆解得到的關節轉角誤差，如圖5所示。

圖4 六自由機械臂的逆運動學驗證模型

圖5 機械臂運動學逆解轉角誤差

從圖5中可以看出：兩種模型的轉角相差很小，關節轉角誤差數量級都在(10-11)°，由此可見，本文所搭建的運動學逆解模型是正確的。

2 實驗及結果分析

2.1 機械臂末端位置誤差分析

位置誤差敏感方向分布圖如圖6所示。

首先本研究在機械臂初始位置狀態下，給每個關節轉角賦加[-0.5,0.5]°的轉角誤差范圍，仿真分析此時的機械臂末端位置誤差。從圖6中可以看出，此時的末端誤差在x和z方向的變化區間為[-5,5] mm，在y方向的變化區間為[-2,2] mm。從結果中可以看出，關節的轉角誤差對機械臂末端x和z方向的位置誤差影響比較接近，而且誤差要明顯大于y軸方向。

為了分析末端位置誤差對各個關節轉角誤差的敏感方向，筆者依次在各關節轉角的基礎上加0.5°的誤差。由于機械臂末端的位置只與前3個關節相關，本研究分析機械臂的末端誤差時只考慮前3個關節的轉角誤差。從圖6中可以看出，對于θ1的誤差影響來說，在x軸方向零位附近時，x方向為θ1誤差敏感方向，在y軸附近時y方向為誤差敏感方向，全域空間內在三軸方向上的最大誤差為e1=[4.36,4.36,0] mm，θ1對機械臂末端的z方向位置無影響；對于θ2的誤差影響來說，在全域空間內z方向為θ2誤差敏感方向全域空間內在三軸方向上的最大誤差為e2=[-4.36,4.36,4.36] mm；對于θ3的誤差來說，在x軸方向零位附近時，y方向為θ3誤差敏感方向，在y軸方向零位附近時，x方向為θ3誤差敏感方向，在全域空間內的其他位置，3個方向上的誤差比較接近全域空間內在三軸方向上的最大誤差為e3=[1.75,1.75,1.75] mm。

圖6 位置誤差敏感方向分布圖

2.2 多自由度機械臂奇異性分析

機械臂的奇異性是機械臂工作時一個潛在的不安因素。根據之前推導的正確的機械臂正運動學模型，由于機械臂六個關節全為旋轉關節，本研究利用旋轉關節雅可比矩陣求取方法可求得機械臂末端運動與單個關節之間的映射矩陣如下：

Ji=[(p×n)z(p×o)z(p×a)znzozaz]

(7)

式中：P—第i個關節坐標系到機械臂末端坐標系之間的位置向量；n—第i個關節坐標系到機械臂末端坐標系之間的姿態矩陣第一列向量；o—第i個關節坐標系到機械臂末端坐標系之間的姿態矩陣第二列向量；a—第i個關節坐標系到機械臂末端坐標系之間的姿態矩陣第一列向量。

末端的雅可比矩陣如下:

J=[J1J2J3J4J5J6]

(8)

在推導的雅可比矩陣的基礎上，本研究通過編寫M文件計算全域空間內的奇異點，即雅可比矩陣行列式的值為零的位姿點。首先將關節轉角空間離散成多組散點，其次計算每組轉角情況下對應的雅可比行列式的值，最后判斷在該組關節轉角情況下的行列式值是否為零，若為零則該組轉角對應的位姿點即為奇異點，若非零則該組轉角即為非奇異點。

通過運行M文件可以得到機械臂的奇異點主要集中在兩個位置：(1)θ3=π/2，其余關節轉角不管處于何值，此時機械臂都是奇異形位，此時機械臂處于關節轉角的極限位置奇異；(2)θ4=θ5=θ6=0，末端的3個旋轉自由度處于初始位置，此時不管前3個控制機械臂末端位置的關節角度為何值，機械臂都處于奇異形位，這種情況也屬于極限位置奇異。在這兩個位置時不管其余關節轉角為何值，此時機械臂都處于極限位置奇異。

3 結束語

通過對六自由度機械臂的結構分析，本研究基于D-H法建立了機械臂的正運動學模型與逆運動學模型，搭建了機構的仿真模型，仿真結果顯示，所建立的運動學模型是正確的。

基于運動學模型，推導了機械臂運動學雅可比矩陣，通過仿真分析了工作空間內機械臂的奇異形位，結果顯示，機械臂存在兩個位置的奇異形位，并且都屬于極限位置奇異。