深海油田電潛泵長(zhǎng)距離變頻驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階建模及起動(dòng)電壓降分析

夏鵬程，梁志珊，左信

中國(guó)石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院，北京 102249

0 引言

在深海油田開(kāi)發(fā)中，電潛泵等水下采油設(shè)備的供電電源和變頻器通常放置于海上采油平臺(tái)，變頻器和電機(jī)之間存在幾十公里的距離，需要用長(zhǎng)電纜連接(圖1)。這樣，就由變頻器—長(zhǎng)電纜—電潛泵構(gòu)成了深海油田IEESP系統(tǒng)(Inverter-Electric cable-Electric submersible pump，簡(jiǎn)稱(chēng)IEESP)。

目前，實(shí)現(xiàn)了從海上平臺(tái)變頻器到電潛泵長(zhǎng)距離供電的有北海北部的Otter油田，其電纜長(zhǎng)度達(dá)到21 k m[1]。BP石油公司在墨西哥灣最長(zhǎng)供電距離為29 k m的變頻器系統(tǒng)[2]。西門(mén)子公司的ESP 30 km長(zhǎng)距離供電案例是最新的最長(zhǎng)記錄。國(guó)內(nèi)流花油田變頻器與電潛泵距離長(zhǎng)達(dá)15.5 km[3]。隨著海底油田的進(jìn)一步開(kāi)發(fā)與生產(chǎn)，實(shí)際工程要求使用比已有IEESP更長(zhǎng)的海底電纜。

IEESP系統(tǒng)整數(shù)階模型研究發(fā)現(xiàn)，采取變頻器長(zhǎng)電纜驅(qū)動(dòng)技術(shù)，雖然帶來(lái)了諧波污染和PWM脈沖波電壓等問(wèn)題[4-7]，但是實(shí)現(xiàn)了軟啟動(dòng)，消除了大啟動(dòng)電流對(duì)電泵機(jī)組的機(jī)械和電力沖擊[8]。然而，由于電纜距離過(guò)長(zhǎng)以及定子電阻電壓損耗嚴(yán)重，電機(jī)磁通經(jīng)常出現(xiàn)嚴(yán)重衰減，導(dǎo)致無(wú)法正常起動(dòng)。所以，通常需要采取對(duì)長(zhǎng)電纜以及定子電阻的壓降進(jìn)行補(bǔ)償，保證電動(dòng)機(jī)正常起動(dòng)[9]。當(dāng)前，某海洋油田工程面臨電潛泵經(jīng)40 km長(zhǎng)電纜變頻驅(qū)動(dòng)是否可行的難題，包括：長(zhǎng)電纜電壓降的變化規(guī)律，變頻器輸出起動(dòng)電壓頻率和升壓變壓器補(bǔ)償電壓設(shè)計(jì)等問(wèn)題。對(duì)于這些實(shí)際工程問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有相應(yīng)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范，需要進(jìn)行研究和探索。

圖1 深海油田電潛泵長(zhǎng)距離變頻驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)Fig. 1 Long distance electric submersible pump frequency drive system in deep sea oil fi eld

分?jǐn)?shù)階微積分(Fractional Calculus，簡(jiǎn)稱(chēng)FC)提供了一個(gè)更精確的物理系統(tǒng)模型，能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在的耗散過(guò)程，特別是在電路中，分?jǐn)?shù)階模型已經(jīng)廣泛用于模擬電路和元件(電阻、電感、電容、多米諾梯子，樹(shù)形結(jié)構(gòu)，憶阻器等等)。常用FC定義有Riemann-Liouville (簡(jiǎn)稱(chēng)RL)、Liouville-Caputo (簡(jiǎn)稱(chēng)LC)[10]。電容、電感和電阻存在不同時(shí)間尺度上的波動(dòng)或分形特征。電氣元件異質(zhì)性的存在，會(huì)造成不可逆的耗散效應(yīng)。由于導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)和介質(zhì)的松弛現(xiàn)象，在描述電壓電流波傳播過(guò)程時(shí)，電纜和傳輸線分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更有優(yōu)勢(shì)[11-12]。已有研究表明，實(shí)際系統(tǒng)在理論上都應(yīng)該是分?jǐn)?shù)階次的[13-16]，只是由于分?jǐn)?shù)階理論的滯后而使得所使用的數(shù)學(xué)模型都是整數(shù)階次。分?jǐn)?shù)階模型對(duì)于更長(zhǎng)距離的IEESP系統(tǒng)有多大影響？這是IEESP系統(tǒng)設(shè)計(jì)和運(yùn)行非常關(guān)注的問(wèn)題。

常用的RL和LC分?jǐn)?shù)階定義的缺點(diǎn)是他們的內(nèi)核具有奇異性，這個(gè)內(nèi)核包括記憶效應(yīng)，因此，這兩種定義都不能準(zhǔn)確描述記憶的全部影響。在傳統(tǒng)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義中，分?jǐn)?shù)階電容參數(shù)的物理單位[17-18]是F/s1-n，分?jǐn)?shù)階電感參數(shù)的物理單位[19]是VsαA-1。在電容參數(shù)和電感參數(shù)的物理單位中含有分?jǐn)?shù)階階次n和α，這意味著它們的物理單位是隨分?jǐn)?shù)階階次變化的。而整數(shù)階電容的物理單位是F(法拉)，整數(shù)階電感的物理單位是H(亨利)。很顯然，分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階定義下基本物理量的單位不一樣，使得分?jǐn)?shù)階電容和分?jǐn)?shù)階電感的物理含義有所不同。由于分?jǐn)?shù)階階次是隨元件結(jié)構(gòu)空間變化的，意味著含分?jǐn)?shù)階階次的單位也是隨空間變化的。分?jǐn)?shù)階憶阻器與電容電感串聯(lián)電路[20]、分?jǐn)?shù)階LC串并聯(lián)電路[21-22]、LCL型電路[23]、濾波電路[24-25]和分?jǐn)?shù)階模擬電容和模擬電感電路[26]等已有的系統(tǒng)理論研究均忽略了電容電感的物理單位問(wèn)題。作者認(rèn)為分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階微積分作為一種數(shù)學(xué)分析計(jì)算工具，在使用過(guò)程中對(duì)于電感元件和電容元件物理現(xiàn)象與元件參數(shù)應(yīng)該是一一對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的。

Caputo和Fabrizio提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，即Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階(簡(jiǎn)稱(chēng)CF)[27]，無(wú)奇異的內(nèi)核，這個(gè)定義可以描述與損傷、疲勞以及材料其他非均質(zhì)性相關(guān)的力學(xué)性能。這個(gè)定義的新穎之處在于，它們具有規(guī)則的核心，不含奇異核，可以視為一個(gè)濾波調(diào)節(jié)器[28]。Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階定義具有廣泛的應(yīng)用[29-30]。

本文針對(duì)深海油田40 km長(zhǎng)電纜變頻驅(qū)動(dòng)電潛泵，分?jǐn)?shù)階的電感和電容物理單位與整數(shù)階不統(tǒng)一等問(wèn)題，用Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義建立了物理單位統(tǒng)一的IEESP系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階模型，研究了IEESP系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)起動(dòng)電壓降的變化規(guī)律。通過(guò)分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型的對(duì)比分析，改進(jìn)了升壓補(bǔ)償措施，抵消了起動(dòng)電壓降的影響。

1 長(zhǎng)電纜分?jǐn)?shù)階模型

模型采用均勻傳輸線模型來(lái)分析變頻器輸出電壓波的傳輸過(guò)程。均勻傳輸線由一系列集總元件電阻、電感、電容和電導(dǎo)構(gòu)成，即假設(shè)它是由許多無(wú)窮小的長(zhǎng)度dx組成的，每個(gè)長(zhǎng)度元dx具有電阻R0dx和電感L0dx，而兩導(dǎo)線間具有電容C0dx和電導(dǎo)G0dx(圖2)。

圖2中，R0為長(zhǎng)線電纜每單位長(zhǎng)度具有的電阻，其單位為Ω/km；L0為長(zhǎng)線電纜每單位長(zhǎng)度具有的電感，其單位為mH/km；C0為每單位長(zhǎng)度長(zhǎng)線電纜兩線之間的電容，其單位為uF/km；G0為每單位長(zhǎng)度長(zhǎng)線電纜兩線之間的電導(dǎo)，其單位為S/km。

電力電纜系統(tǒng)的傳輸線方程，在頻域中表示如下：

圖2 均勻長(zhǎng)線電纜模型Fig. 2 Model of uniform long line cable

其中，為傳輸線上任意一點(diǎn)電壓，V；為傳輸線上任意一點(diǎn)電流，A；Z為傳輸線單位長(zhǎng)度的阻抗矩陣，Ω/km；Y為傳輸線單位長(zhǎng)度的導(dǎo)納，S/km。Z=R+jωL，R為傳輸線單位長(zhǎng)度的電阻，Ω/km；L為傳輸線單位長(zhǎng)度的電感，H/km。一般情況下，由于導(dǎo)體與大地的集膚效應(yīng)，Z的參數(shù)都會(huì)隨頻率變化。Y=G+jωC，G為傳輸線單位長(zhǎng)度的電導(dǎo)，S/km；C為傳輸線單位長(zhǎng)度的電容，F(xiàn)/km，Y一般看做是非頻變的。

1.1 建模理論

傳統(tǒng)的電感元件和電容元件建模使用時(shí)間函數(shù)f(t)的Liouville-Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(LC)，定義如下

本文引入Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(CF)，定義如下是關(guān)于t的LC導(dǎo)數(shù)，nN

CF分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)式(4)的拉普拉斯變換定義如下

對(duì)于這種在時(shí)域上的方程，可以使用Laplace變換

用分?jǐn)?shù)算子代替整數(shù)算子

其中n為整數(shù)，且α的物理單位是秒的分?jǐn)?shù)維。這樣就抵消了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)作用于時(shí)間t產(chǎn)生的物理單位秒的分?jǐn)?shù)維。傳統(tǒng)常用的RL和LC分?jǐn)?shù)階定義是把電容電感的物理單位乘上一個(gè)秒的分?jǐn)?shù)維來(lái)平衡單位統(tǒng)一的問(wèn)題，但那樣做使得分?jǐn)?shù)階電容量和電感量與整數(shù)階的數(shù)值不一樣了，單位也不同，無(wú)法確定分?jǐn)?shù)階電容量和電感量與整數(shù)階是否存在一對(duì)一等效關(guān)系。而本文的CF分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義就解決了這樣問(wèn)題，統(tǒng)一了分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的基本物理量單位，使得分?jǐn)?shù)階電容量和電感量與整數(shù)階的一樣，奠定了對(duì)比分析的統(tǒng)一參考平臺(tái)。當(dāng)γ=1時(shí)，式(8)和(9)成為一個(gè)普通的導(dǎo)數(shù)。

1.2 建模方法

我們將這種方法應(yīng)用于電纜模型RLCG電路中。假設(shè)將電纜平均分成n段，如圖1所示，考慮在某一個(gè)RLCG單元中，由基爾霍夫定律可得

其中，k∈[1,n]，首端uC,0(t) =vin為變頻器輸出電壓

其中，k∈[1,n]，末端iL,n+1(t) =is為電機(jī)定子電流。

把式(11)代入式(10)得到

根據(jù)(8)和(9)的變換，由(12)可得分?jǐn)?shù)階的表達(dá)式為

設(shè)分?jǐn)?shù)階角頻率ωγ，分?jǐn)?shù)階時(shí)間常數(shù)τγ

則式(13)可簡(jiǎn)化為

建立電纜分布參數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程組來(lái)描述傳輸線的電壓電流波

因此，當(dāng)電潛泵起動(dòng)時(shí)長(zhǎng)電纜電壓降與起動(dòng)電壓頻率、電纜長(zhǎng)度、電纜阻抗特性、電機(jī)負(fù)載阻抗特性以及分?jǐn)?shù)階階次等有關(guān)。

2 IEESP系統(tǒng)仿真與分析

2.1 系統(tǒng)仿真

基于改進(jìn)的Oustaloup濾波器分?jǐn)?shù)階微積分算法和式(17)構(gòu)建Matlab/Simulink數(shù)學(xué)模型[8]。在IEESP分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中，電潛泵起動(dòng)電壓降受到起動(dòng)電壓頻率、電纜長(zhǎng)度、電纜分布電阻、電纜分布電感、電纜分布電容參數(shù)、負(fù)載特性阻抗和分?jǐn)?shù)階階次等7個(gè)參數(shù)的影響。

某深海油田工程提供了海底電纜和井下電纜的典型參數(shù)(表1)。在模型中電纜分布電阻為0.34 Ω/km、電纜分布電感為0.38 mH/km、電纜分布電容為0.29 μF/km、變頻器輸出電壓為6000 V，電潛泵起動(dòng)時(shí)的等效阻抗為1.36 Ω。當(dāng)模型其他參數(shù)變化時(shí)，整數(shù)階模型中的電感電容參數(shù)階次是1，分?jǐn)?shù)階模型中電感電容參數(shù)階次是0.8。

(1)起動(dòng)電壓頻率

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，起動(dòng)電壓頻率越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越小(圖3)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)起動(dòng)電壓正弦波頻率f1～f5從10 Hz遞增到50 Hz時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從 5074 V減小到 4592 V，是變頻器輸出電壓(U0)的84.57%～76.53%。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從5121 V減小到2771 V ，是電源電壓的85.35%～46.18%。隨著起動(dòng)電壓頻率增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0越來(lái)越大，分別是0.78%、10.07%、19.35%、25.93%、30.30%。起動(dòng)電壓頻率越高，分?jǐn)?shù)階模型由于考慮了趨膚效應(yīng)，計(jì)算的電壓波在長(zhǎng)電纜上的傳播損耗更高，而整數(shù)階模型沒(méi)有包含這部分損耗，所以計(jì)算出的長(zhǎng)電纜電壓降比分?jǐn)?shù)階模型的計(jì)算結(jié)果小。說(shuō)明分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型能更準(zhǔn)確地反映IEESP系統(tǒng)電潛泵變頻起動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)電纜電壓降和不可逆的耗散效應(yīng)。

表1 深海電纜典型參數(shù)Table 1 Typical parameters of deep-sea cable

圖3 起動(dòng)電壓頻率對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 3 The effect of starting frequency on voltage drop: (a) fractional order;(b) integer order

(2)電纜長(zhǎng)度

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，電纜越長(zhǎng)，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越大(圖4)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜長(zhǎng)度l1～l5從20 km遞增到60 km時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從4373 V 增大到5354 V，是U0的72.88%～89.23%。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從4251 V 增大到5455 V，是U0的70.85%～90.92%。隨著電纜長(zhǎng)度增加，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0先減小后增大，分別是2.03%、0.30%、0.78%、1.22%、1.68%。

(3)電纜分布電阻

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，電纜分布電阻越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越大(圖5)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜分布電阻R1～R5從0.14 Ω/km遞增到0.54 Ω/km時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅 值Ufo(U1～U5)從 4191 V增 大 到 5385 V， 是U0的69.85%～89.75%。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5) 從3872 V增大到5517 V，是U0的64.53%～91.95%。隨著電纜分布電阻增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0先減小后增大，分別是5.32%、0.88%、0.80%、1.8%、2.20%。

圖4 電纜長(zhǎng)度對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 4 The effect of cable length on voltage drop: (a) fractional order; (b) integer order

(4)電纜分布電感

在電潛泵起動(dòng)的暫態(tài)過(guò)程中，電纜分布電感越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越大(圖6)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜分布電感L1～L5從0.18 mH/km遞增到0.58 mH/km時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從5070 V增大到5077 V，變化幅度不大，是U0的84.5%～84.62%。說(shuō)明長(zhǎng)電纜電壓降對(duì)電纜分布電感參數(shù)不敏感。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從5164 V減小到5069 V，是U0的86.07%～84.48%。電纜分布電感參數(shù)對(duì)電纜電壓降的影響出現(xiàn)反常現(xiàn)象。隨著電纜分布電感的增大，分?jǐn)?shù)階模型的電壓降變化趨勢(shì)是遞增的，整數(shù)階模型的電壓降變化趨勢(shì)是遞減的。隨著電纜分布電感增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0越來(lái)越小，分別是1.57%、0.97%、0.78%、0.50%、0.13%。

(5)電纜分布電容

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，電纜分布電容越大，長(zhǎng)電纜電壓降幅值瞬態(tài)幅值越小(圖7)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜分布電容C1～C5從 0.09 μF/km遞增到 0.49 μF/km時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從 5073.85 V減小到 5073.72 V，變化幅度不大，是U0的84.564%～84.562%。說(shuō)明長(zhǎng)電纜電壓降對(duì)電纜分布電容參數(shù)不敏感。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從5138 V減小到5105 V，是U0的85.63%～85.08%。隨著電纜分布電感增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0越來(lái)越小，分別是1.07%、0.95%、0.79%、0.67%、0.52%。

圖5 電纜分布電阻對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 5 The effect of cable distribution resistance on voltage drop: (a) fractional order ; (b) integer order

(6)負(fù)載電阻

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，負(fù)載電阻越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越大(圖8)。

分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)負(fù)載電阻Rm1～Rm5從0.36 Ω遞增到2.36 Ω時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從4514 V增大到5171 V，是U0的75.23%～86.18%。整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從4590 V 增大到5216 V，是U0的76.5%～86.93%。隨著負(fù)載電阻增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0越來(lái)越小，分別是1.27%、0.87%、0.80%、0.77%、0.75%。

(7)分?jǐn)?shù)階階次

圖6 電纜分布電感對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 6 The effect of cable distributed inductance on voltage drop: (a) fractional order; (b) integer order

分析負(fù)載電感階次、電纜分布電感階次和電纜分布電容階次對(duì)長(zhǎng)電纜電壓降的影響。

1)負(fù)載電感的分?jǐn)?shù)階次

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，負(fù)載電感的分?jǐn)?shù)階次越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值越小(圖9)。

電纜分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)負(fù)載電感階次m1～m5從0.2遞增到1.0時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)從5605 V減小到5073 V，是U0的93.42%～86.67%。但U4＜U5＜U3，而且電壓降相位發(fā)生了右移，1.0階次時(shí)比0.2階次的電壓降相位滯后7/50π。電纜整數(shù)階模型仿真表明：長(zhǎng)電纜電壓降幅值Uio(U1～U5)從5599V減小到5037 V，是U0的93.32%～85.35%。但U4＜U5＜U3，而且電壓降相位發(fā)生了逐漸右移，階次1.0比0.2的長(zhǎng)電纜電壓降相位滯后4/25π。隨著負(fù)載電感階次增大，整數(shù)階模型與分?jǐn)?shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值|Uio-Ufo|/U0越來(lái)越大，分別是0.10%、0.13%、0.25%、0.60%、1.32%。

2)電纜分布電感的分?jǐn)?shù)階次

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，電纜分布電感的分?jǐn)?shù)階次越大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值先小幅增大后減小(圖10)。分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜分布電感分?jǐn)?shù)階階次α1～ α5從0.5遞增到0.9時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降幅值Ufo(U1～U5)分別是5074 V、5075.8 V、5076.2 V、5073.8 V、5064 V，是U0的84.57%～84.4%。

圖7 電纜分布電容對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 7 The effect of cable distributed capacitance on voltage drop:(a) fractional order; (b) integer order

3)電纜分布電容的分?jǐn)?shù)階次

在電潛泵起動(dòng)的瞬態(tài)過(guò)程中，隨電纜分布電容的分?jǐn)?shù)階次增大，長(zhǎng)電纜電壓降瞬態(tài)幅值先小幅增大后減小(圖11)。分?jǐn)?shù)階模型仿真表明：當(dāng)電纜分布電容分?jǐn)?shù)階階次β1～ β5從0.5遞增到0.9時(shí)，長(zhǎng)電纜電壓降Ufo(U1～U5)幅值分別是5074.05 V、5074.1 V、5074 V、5073.8 V、5073.2 V，是U0的84.57%～ 84.55%。

2.2 關(guān)于分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階模型問(wèn)題的討論

對(duì)比IEESP系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型的仿真結(jié)果可知，電潛泵起動(dòng)電壓降的變化規(guī)律如表2所示。

分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型的計(jì)算偏差來(lái)源于電感、電容元件的階次。在變頻器、長(zhǎng)電纜和電潛泵的模型中，整數(shù)階的電感和電容只在理論上存在而在實(shí)際中并不存在，基于分?jǐn)?shù)階微積分理論建立的電感和電容模型更能反映其實(shí)際系統(tǒng)的電特性，以往用來(lái)描述電感和電容電特性的整數(shù)階模型是不夠準(zhǔn)確的，由此得到的某些結(jié)論甚至可能是錯(cuò)誤的。

由表2可以看出：(1)當(dāng)電纜分布電感變化時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型的長(zhǎng)電纜電壓降的變化趨勢(shì)與整數(shù)階模型相反。(2)當(dāng)電纜長(zhǎng)度和電纜分布電阻參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型的長(zhǎng)電纜電壓降與整數(shù)階模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值呈現(xiàn)V形分段，先減小后增大。(3)電潛泵起動(dòng)電壓降的變化規(guī)律可以為升壓變壓器補(bǔ)償電壓設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。從模型最大相對(duì)偏差推出，補(bǔ)償電壓應(yīng)比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的高三分之一。

研究結(jié)果表明，基于Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階微積分建立的IEESP系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階模型不含奇異核，統(tǒng)一了分?jǐn)?shù)階電容電感參數(shù)與整數(shù)階的物理量綱，厘定了分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型計(jì)算對(duì)比平臺(tái)，比傳統(tǒng)模型能更加準(zhǔn)確地描述深海長(zhǎng)電纜電力傳輸特性。因此，采用Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義建立的長(zhǎng)電纜分?jǐn)?shù)階模型是合理的。

由表3可以看出，電纜長(zhǎng)度l在20 km～60 km的范圍內(nèi)，分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算出的電潛泵起動(dòng)電壓降Ufo逐漸增大，但是起動(dòng)電壓降的增幅ΔUfo越來(lái)越小，分別為446 V、225 V、165 V、115 V；增幅與變頻器輸出電壓的比值ΔUfo/U0也越來(lái)越小，分別是7.43%、4.25%、2.75%、1.92%。整數(shù)階模型計(jì)算出的電潛泵起動(dòng)電壓降Uio逐漸增大，但是起動(dòng)電壓降的增幅ΔUio越來(lái)越小，分別是550 V、320 V、191 V、143 V ；增幅與變頻器輸出電壓的比值ΔUio/U0也越來(lái)越小，分別是9.17%、5.33%、3.18%、2.38%。兩種模型對(duì)比發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型計(jì)算的電潛泵起動(dòng)電壓降更小，起動(dòng)電壓降的增幅更小，增幅比也更小。根據(jù)分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算結(jié)果，電纜長(zhǎng)度超過(guò)40 k m后，電潛泵起動(dòng)電壓降的增量越來(lái)越小，升壓變壓器補(bǔ)償電壓的負(fù)擔(dān)也越來(lái)越小，補(bǔ)償電壓設(shè)計(jì)方案比較容易實(shí)現(xiàn)。

圖8 負(fù)載電阻對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 8 The effect of load resistance on voltage drop:(a) fractional order; (b) integer order

圖9 負(fù)載電感分?jǐn)?shù)階次對(duì)電壓降的影響(a)分?jǐn)?shù)階(b)整數(shù)階Fig. 9 The effect of load inductor fractional order on voltage drop:(a) fractional order ; (b) integer order

圖10 電纜分布電感分?jǐn)?shù)階次對(duì)電壓降的影響Fig. 10 The effect of load cable distribution inductance fractional order on voltage drop

圖11 長(zhǎng)電纜電壓降與電纜分布電容分?jǐn)?shù)階階次的關(guān)系Fig. 11 The relationship between the voltage drop of long cable and the order order of the distributed capacitance of the cable

表2 電潛泵起動(dòng)電壓降的變化規(guī)律Table 2 Change rule of electric submersible pump starting voltage drop

表3 電潛泵起動(dòng)電壓降與電纜長(zhǎng)度的關(guān)系Table 3 Relationship between starting voltage drop of ESP and cable length

3 結(jié)論

(1)基于Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階微積分建立了變頻器—長(zhǎng)電纜—電潛泵系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階模型，厘定了分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階量化比較標(biāo)準(zhǔn)平臺(tái)，比傳統(tǒng)模型能更加準(zhǔn)確地描述深海長(zhǎng)電纜電力傳輸特性。

(2)研究了起動(dòng)電壓頻率、電纜長(zhǎng)度、電纜分布電阻、電纜分布電感、電纜分布電容參數(shù)、負(fù)載特性阻抗和分?jǐn)?shù)階階次等因素對(duì)電潛泵起動(dòng)電壓降的影響。發(fā)現(xiàn)電纜分布電感參數(shù)對(duì)電纜電壓降的反常影響。

(3)分?jǐn)?shù)階模型與整數(shù)階模型的計(jì)算結(jié)果相對(duì)偏差絕對(duì)值變化范圍是0.10%～30.35%，特別是當(dāng)電纜長(zhǎng)度和電纜分布電阻參數(shù)變化時(shí)，模型的相對(duì)偏差絕對(duì)值呈先減后增的V形分段。升壓變壓器補(bǔ)償電壓需要比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的高三分之一。基于分?jǐn)?shù)階模型分析了起動(dòng)電壓降，認(rèn)為在實(shí)際應(yīng)用中電潛泵變頻驅(qū)動(dòng)電纜可以超過(guò)40 km。