Lie-Yamaguti超代數的交換擴張

唐鑫鑫，胡夢如，徐建國，張慶成

(1.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春130024；2.通化師范學院數學系，吉林 通化 134000)

1 預備知識

Lie-Yamaguti代數最初由Yamaguti[1]提出，相關研究可參考文獻[2-9].Lie-Yamaguti超代數是Lie-Yamaguti代數的推廣.本文將研究Lie-Yamaguti超代數的交換擴張，證明了交換擴張可由(2，3)-上同調群分類，推廣了文獻[8]中的結論.

定義1Lie-Yamaguti超代數是一個三元組(A，[-，-]，{-，-，-}).其中：A是一個超空間；[-，-]：A×A←A是一個偶雙線性映射；{-，-，-}：A×A×A→A是一個偶三重線性映射.其滿足：

(LYS1) [x1，x2]+(-1)|x1||x2|[x2，x1]=0；

(LYS2) [x1，x2，x3]+(-1)|x1||x2|[x2，x1，x3]=0；

(LYS5) {x1，x2，[y1，y2]}=[{x1，x2，y1}，y2]+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)[y1，{x1，x2，y2}]；

(LYS6) {x1，x2，{y1，y2，y3}}={{x1，x2，y1}，y2，y3}+(-1)|y1|(|x1|+|x2|){y1，{x1，x2，x3}，y2}+(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|){y1，y2，{x1，x2，y3}}；

(LYS01) |[x1，x2]|=|x1|+|x2|；

(LYS02) |{x1，x2，x3}|=|x1|+|x2|+|x3|.

定義2設(A，[-，-]1，{-，-，-}1)和(A2，[-，-]2，{-，-，-}2)是Lie-Yamaguti超代數.A1和A2之間的同態是指一個偶線性映射φ：A1→A2，滿足：

φ([x1，x2]1)=[φ(x1)，φ(x2)]2，φ({x1，x2，x3}1)={φ(x1)，φ(x2)，φ(x3)}2.

定義3設A是Lie-Yamaguti超代數，V是一個超空間.A在V上的表示是一個三元組(ρ，γ，θ)，這里ρ：A→End(V)是一個線性映射，γ，θ：A×A→End(V)是雙線性映射，滿足：

(SR1)γ(x1，x2)-(-1)|x1||x2|θ(x2，x1)+θ(x1，x2)+ρ([x1，x2])-ρ(x1)ρ(x2)+(-1)|x1|x2|，ρ(x2)ρ(x1)=0；

(SR2) (-1)|x1||x3|γ([x1，x2]，x3)+(-1)|x1||x2|γ([x2，x3]，x1)+(-1)|x2||x3|γ([x3，x1]，x2)=0；

(SR3)θ([x1，x2]，y1)=(-1)|x2||y1|θ(x1，y1)ρ(x2)-(-1)|x1|(|x2|+|y1|)θ(x2，y1)(ρ(x1)；

(SR4)γ(x1，x2)ρ(y2)=(-1)|y2|(|x1|+|x2|)ρ(y2)γ(x1，x2)+ρ({x1，x2，y2})；

(SR5)γ(x1，x2)θ(y1，y2)=(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|)θ(y1，y2)γ(x1，x2)+θ({x1，x2，y1}，y2)+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)θ(y1，{x1，x2，y2})；

(SR6)θ(x1，{y1，y2，y3})=(-1)(|x1|+|y1|)(|y2|+|y3|)lθ(y2，y3)θ(x1，y1)-(-1)|x1||y1|+|y2||y3|+|x1||y3|θ(y1，y3)θ(x1，y2)+(-1)|x1|(|y1|+|y2|)γ(y1，y2)θ(x1，y3).

V也稱為一個A-模.

設映射ν：A×A→V滿足ν(x1，x2)=-(-1)|x1||x2|ν(x2，x1)，映射ω：A×A×A→V滿足ω(x1，x2，x3)=-(-1)|x1||x2|ω(x2，x1，x3).由ν生成的空間記為C2(A，V)，由ω生成的空間記為C3(A，V).

定義4設A是Lie-Yamaguti超代數，V是A-模.(ν，ω)∈C2(A，V)×C3(A，V)稱為(2，3)-閉上鏈算子，若其滿足：

(CC3)ω(x1，x2，[y1，y2])+γ(x1，x2)ν(y1，y2)=ν({x1，x2，y1}，y2)+(-1)|y1(|x1|+|x2|)ν(y1，{x1，x2，y2})+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)ρ(y1)ω(x1，x2，y2)-(-1)|y2|(|x1|+|x2|+|y1|)ρ(y2)ω(x1，x2，y1)；

(CC4)ω(x1，x2，{y1，y2，y3})+γ(x1，x2)ω({y1，y2，y3})=ω({x1，x2，y1}，y2，y3)+(-1)|y1|(|x1|+|x2|)ω(y1，{x1，x2，y2}，y3)+(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y2|)ω(y1，y2，{x1，x2，y3})+(-1)(|y2|+|y3|)(|x1|+|x2|+|y1|)θ(y2，y3)ω(x1，x2，y1)-(-1)(|x1|+|x2|)(|y1|+|y3|)+|y2||y3|θ(y1，y3)ω(x1，x2，y2)+(-1)(|x1|+|x2|))|y1|+|y2|)γ(y1，y2)ω(x1，x2，y3).

由(2，3)-閉上鏈算子生成的空間記為Z2(A，V)×Z3(A，V).

定義5設A是Lie-Yamaguti超代數，V是A-模.(ν，ω)∈C2(A，V)×C3(A，V)稱為(2，3)-上邊緣算子，若存在映射f：A→V滿足：

(BB1)ν(x1，x2)=ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1)-f([x1，x2])；

(BB2)ω(x1，x2，x3)=(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2，x3)f(x1)-(-1)|x2||x3|θ(x1，x3)f(x2)+γ(x1，x2)f(x3)-f({x1，x2，x3}).

由(2，3)-上邊緣算子生成的空間記為B2(A，V)×B3(A，V).

命題1B2(A，V)×B3(A，V)?Z2(A，V)×Z3(A，V).

定義6Lie-Yamaguti超代數A的取值在V中的(2，3)-上同調群定義為商空間

H2(A，V)×H3(A，V)∶=(Z2(A，V)×Z3(A，V))/(B2(A，V)×B3(A，V)).

2 交換擴張

通過證明交換擴張由(2，3)-上同調群分類，建立Ext(A，V)和H2(A，V)×H3(A，V)之間的一一對應.

A通過V的交換擴張的等價類集合記為Ext(A，V).

則(ρ，γ，θ)是A在V上的一個表示，且與sectionσ的選擇無關.此外，等價的交換擴張給出相同的表示.

ρ(σ′(xi)-σ(xi))=xi-xi=0，

從而

σ′(xi)-σ(xi)∈V?σ′(xi)=σ(xi)+ui，對某個ui∈V.

故ρ與σ的選擇無關.類似可證明γ，θ與σ的選擇無關.

可得條件(SR31)成立.

因此，等價的交換擴張給出相同的θ.類似可證明等價的交換擴張給出相同的γ和ρ.

則(ν，ω)是A的取值在V中的(2，3)-閉上鏈.

證明首先證明ν的像包含在V中，即p°ν(x1，x2)=0.因為p是一個代數同態，故

p°ν(x1，x2)=[p°σ(x1)，p°σ(x2)]-p°σ([x1，x2])=[x1，x2]-[x1，x2]=0.

從而

x1，x2，x3(-1)|x1||x3|ω(x1，x2，x3)+x1，x2，x3(-1)|x1||x3|σ({x1，x2，x3})+
x1，x2，x3(-1)|x1||x3|ν([x1，x2]，x3)+
x1，x2，x3(-1)|x1||x3|σ([[x1，x2]，x3])=0.

于是條件(CC1)成立.

[x1+u1，x2+u2]ν=[x1，x2]+ν(x1，x2)+ρ(x1)(u2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1)，

{x1+u1，x2+u2，x3+u3}ω={x1，x2，x3}+ω(x1，x2，x3)+γ(x1，x2)(u3)-
(-1)|x2||x3|θ(x1，x3)(u2)+(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2，x3)(u1).

證明只需證明條件(LYS1)—(LYS6)在A?V上仍然成立.

等式(LYS1)改寫為

[x1+u1，x2+u2]ν+(-1)|x1||x2|[x2，u2，x1+u1]ν=0.

直接計算得

[x1+u1，x2+u2]ν+(-1)|x1||x2|[x2+u2，x1+u1]=
[x1，x2]+ν(x1，x2)+ρ(x1)(u2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1)+
(-1)|x1||x2|[x2，x1]+(-1)|x1||x2|ν(x2，x1)+(-1)|x1||x2|ρ(x2)(u1)-ρ(x1)(u2)=0.

故條件(LYS1)成立.

同理可證明(LYS2)—(LYS6)在A?V上成立.

F[x1+u1，x2+u2]ν=[F(x1+u1)，F(x2+u2)]ν′，

(1)

F{x1+u1，x2+u2，x3+u3}ω={F(x1+u1)，F(x2+u2)，F(x3+u3)}ω′.

(2)

因為F是擴張的等價，故存在f：A→V使得

F(xi+u)=xi+f(xi)+u，xi∈A.

故(1)式等價于

f([x1，x2])+ν(x1，x2)=ν′(x1，x2)+ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1)，

即

(ν-ν′)(x1，x2)=ρ(x1)f(x2)-(-1)|x1||x2|ρ(x2)f(x1)-f([x1，x2]).

(2)式等價于

f({x1，x2，x3})+ω(x1，x2，x3)=ω′(x1，x2，x3)+γ(x1，x2)f(x3)-
(-1)|x2||x3|θ(x1，x3)f(x2)+(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x1，x3)f(x1)，

進而

(ω-ω′)(x1，x2，x3)=γ(x1，x2)f(x3)-(-1)|x2||x3|θ(x1，x3)f(x2)+
(-1)|x1|(|x2|+|x3|)θ(x2，x3)f(x1)-f({x1，x2，x3}).

定理1設A是Lie-Yamaguti超代數，V是一個A-模，則

Ext(A，V)?H2(A，V)×H3(A，V).

因此A通過V的交換擴張由(2，3)-上同調群分類.