一類左歐拉余代數及其歐拉雙線性型

唐 帥

(泰州學院數理學院，江蘇 泰州 225300)

0 引言

文獻[1]針對基本余代數提出了左歐拉余代數的概念.基本左歐拉余代數相對于基本余代數而言具備一些特殊的性質.比如：在基本左歐拉余代數上可以研究類似于基本代數所具有的歐拉雙線性型、Coxeter變換等內容；[1-2]當C是基本左歐拉余代數時，任意兩個有限維左C-余模可以配成歐拉對[1]；在基本左歐拉余代數上可以定義并研究所謂的歐拉余模[3]等.目前許多基本余代數具有基本左歐拉余代數結構.比如：當C是基本的有限維余代數并且整體維數有限時，C是左歐拉余代數[1]；當C是右半完全余代數并且C的每一個單余模的內射維數有限時，C也是左歐拉余代數[1].有關左歐拉余代數上的相關結果可參見文獻[1-4].

對秩為1的點Hopf代數的研究已經取得了許多結果.文獻[5]給出了這類Hopf代數的分類，其分類結果可以追溯到文獻[6]；文獻[7]將這類Hopf代數的分類結果由有限維特征0的情形推廣到無限維任意特征的情形，并研究了這類Hopf代數的模范疇中一類重要的對象——權模；文獻[8-9]從Green環角度研究了這類Hopf代數的表示范疇的Monoidal結構.

本文主要研究一類秩為1的點Hopf代數H的余表示.利用Hopf代數H是基本余代數這一事實給出了同構意義下所有有限維不可分解左H-余模；完全刻畫了任意兩個不可分解左H-余模之間的余模態射空間，并據此回答了何時Hopf代數H作為余代數是左歐拉余代數；當H是左歐拉余代數時，給出了H的歐拉雙線性型、歐拉二次型以及對應的Coxeter變換等結果.

1 預備知識

H作為余代數，余乘△與余單位ε定義為

△(x)=ɡ?x+x?1，△(a)=a?a，ε(x)=0，ε(a)=1，?a∈G.

H的對極S定義為S(x)=-ɡ-1x，S(a)=a-1，?a∈G.

顯然{axi|a∈G，0≤i≤n-1}構成H的一組K-基.記Hi=KG?KGx?…?KGxi，0≤i≤n-1，則H0?H1?…?Hn-1為H的余根濾鏈.對k用數學歸納法容易證明

(1)

設M(a，i)=sociEa，其中a∈G，1≤i≤n.因為H是單列余代數[10]，H的任意有限維不可分解左H-余模形如sociEa[11]，其中1≤i≤n，a∈G.因此，集合{M(a，i)|a∈G，1≤i≤n}構成同構意義下所有有限維不可分解左H-余模.顯然{a，ax，…，axi-1}為M(a，i)的一組K-基，并且不可分解余模M(a，i)由其基座Sa與向量空間維數i唯一決定.

2 左歐拉余代數

左H-余模M到N的余模映射的全體記為HomH(M，N).對于任意兩個不可分解余模M與N，本文刻畫了余模映射空間HomH(M，N)的維數，利用這一結果回答了何時H作為余代數是左歐拉余代數.

引理1對于任意a∈G，1≤k≤j，有商余模同構M(a，j)/M(a，k)?M(aɡ，j-k).

soc(M(a，j)/M(a，k))=M(a，k+1)/M(a，k)?Saɡk.

比較維數有M(a，j)/M(a，k)?M(aɡk，j-k).

命題1(1) 對于任意a，b∈G，1≤i≤j≤n，有

(2) 對于任意a，b∈G，1≤j≤i≤n，有

證明(1) 設α為M(a，i)到M(b，j)的非零左H-余模映射，則kerα為M(a，i)的子余模.注意到M(a，i)是單列余模，M(a，i)的所有真子余模在包含關系下形成子余模的序列0?M(a，1)?…?M(a，i-1).因而kerα∈{0，M(a，1)，…，M(a，i-1)}.由引理1知，商余模M(a，i)/kerα在同構意義下具有如下形式：

M(a，i)/kerα∈{M(a，i)，M(aɡ，i-1)，…，M(aɡi-1，1)}.

(2)

然而M(a，i)/kerα?Imα?M(b，j)，因此Sb=socM(b，j)=socImα=soc(M(a，i)/kerα).此時結合(2)式可得Sb∈{Sa，Saɡ，…，Saɡi-1}，這就證得b∈{a，aɡ，…，aɡi-1}.為了證明當b∈{a，aɡ，…，aɡi-1}時，有向量空間同構HomH(M(a，i)，M(b，j))?K，假設b=aɡk，其中0≤k≤i-1.注意到存在如下的從M(a，i)到M(aɡk，j)的余模映射φ：

其中：π為典范投射，ι為包含映射，中間的同構為相差一個非零常數的恒等映射(這是因為對于任意不可分解余模M，EndH(M)?K).設β為M(a，i)到M(aɡk，j)的任意非零余模映射.類似于映射α的分析，有M(a，i)/kerβ?M(aɡk，i-k)，因而kerβ=M(a，k).此時映射β有如下分解：

這就證明了β與φ僅僅相差一個非零常數，從而HomH(M(a，i)，M(b，j))?K.

(2) 設α為從M(a，i)到M(b，j)的非零余模映射，因為

M(a，i)/kerα?Imα∈{M(b，1)，M(b，2)，…，M(b，j)}，

故dimK(kerα)∈{i-1，i-2，…，i-j}.注意到soc(kerα)=socM(a，i)=Sa，因而

kerα∈{M(a，i-1)，M(a，i-2)，…，M(a，i-j)}.

(3)

由(3)式推出

M(a，i)/kerα∈{M(aɡi-1，1)，M(aɡi-2，2)，…，M(aɡi-j，j)}.

(4)

而Sb=socM(b，j)=socImα=soc(M(a，i)/kerα)，故(4)式表明b∈{aɡi-1，aɡi-2，…，aɡi-j}.若b=aɡi-k，其中1≤k≤j，類似于結論(1)的分析，余模映射空間HomH(M(a，i)，M(aɡi-k，j))為映射

M(a，i)→M(a，i)/M(a，i-k)?M(aɡi-k，k)?M(aɡi-k，j)

生成的向量空間，因而HomH(M(a，i)，M(aɡi-k，j))?K.

推論1對于任意a，b∈G，有：

證明將函子HomH(Sa，-)作用于短正合列

0→Sb→Eb→Eb/Sb→0，

(5)

可得正合列

結合命題1可知

(2) 證明與上面類似，將短正合列(5)換為短正合列0→M(b，n-1)→Eb→Eb/M(b，n-1)→0即可.

定理1若群G的中心元ɡ是無限階的，則H作為余代數是左歐拉余代數，即H滿足左歐拉余代數的如下定義條件：

(1) 對于任意a，b∈G，HomH(Ea，Eb)總是有限維的；

(2) 任意單H-余模Sb具有內射分解

使得該內射分解中每一個內射余模都是基座有限的，并且對于任意不可分解內射余模Ea，總存在某個與Ea相關的正整數k使得

HomH(Ebɡjn，Ea)=HomH(Ebɡjn+1，Ea)=0，?j≥k；

證明結論(1)可由命題1得到.

(2) 根據引理1，有如下短正合列：

0→Sb→Eb→M(bɡ，n-1)→0，

0→M(bɡ，n-1)→Ebɡ→Sbɡn→0，

?

0→Sbɡkn→Ebɡkn→M(bɡkn+1，n-1)→0，

0→M(bɡkn+1，n-1)→Ebɡkn+1→Sbɡ(k+1)n→0，

?

這就得到Sb的內射分解

(6)

顯然，對于任意內射余模Ea，由命題1知存在某一k使得對于所有j≥k，

HomH(Ebɡjn，Ea)=HomH(Ebɡjn+1，Ea)=0.

(3) 對于Sb的內射分解(6)，由同調代數基本結論可知

并且

因為ɡ的階無限，對于任意a，b∈G，由推論1知最多存在一個k1使得

同時最多存在一個k2使得

注1(1) 如果ɡ的階有限，則ɡ的階能夠被n整除[7].此時H不是左歐拉余代數，這是因為在Sb的內射分解(6)中，內射余模都是周期呈現的，此時定理1中的結論(2)與結論(3)不再成立.

(2)Sb的第m-次余合沖定義為ΩmSb=Imdm-1，其中dm-1為Sb的內射分解(6)中的態射.對于任意k≥0，容易推出Ω2kSb=Imd2k-1=Sbɡkn，Ω2k+1Sb=Imd2k=M(bɡkn+1，n-1).

3 歐拉雙線性型

類似于基本代數Cartan矩陣的定義，Hopf代數H作為余代數其Cartan矩陣定義為無限階矩陣C=(cij)i，j∈Z，其中cij=dimKHomH(Ei，Ej)，即Sj在合成列Ei中的重數[1].由命題1可知，當j∈{i，i+1，…，i+n-1}時，cij=dimKHomH(Ei，Ej)=1；否則cij=0.因此Cartan矩陣C為無限階上三角矩陣：

(7)

由文獻[1]可知，H作為基本左歐拉余代數其Cartan矩陣C是左可逆的，即存在矩陣C-1使得C-1C=E，其中E為單位矩陣.且矩陣C-1可以寫成如下形式：

(8)

注意到向量乘積

因此，矩陣C-1也是Cartan矩陣C的右可逆矩陣，即CC-1=E.

證明(1) 注意到Hopf代數H的歐拉雙線性型定義為Z-雙線性型

b：ZZ×ZZ→Z，b(x，y)=x(C-1)TyT，

其中x，y∈ZZ.根據(8)式中矩陣C-1的表示形式，有

(2) 注意到Hopf代數H的歐拉二次型定義為

q：ZZ→Z，q(x)=b(x，x)，

其中x∈ZZ.由結論(1)可得結論成立.

因此，當i=j-n+1時，矩陣Φ=-(C-1)TC中的(i，j)-元為-1；否則為0.因而矩陣Φ可以寫成如下形式：

即Φ((xi)i∈Z)=(-xi-n+1)i∈Z.