位勢Burgers方程的自相似解和行波解

林府標，張千宏

(貴州財經大學數統學院，貴州 貴陽 550025)

1 研究背景及現狀

考慮眾所周知的Burgers方程

vt+vvx=σvxx，σ>0.

引入位勢函數φ(t，x)滿足v=φx，則把變換v=φx代入Burgers方程，關于x積分并令積分常數為零，得

(1)

作變換

則方程(1)變為

為了簡單起見，研究方程(1)不妨只需考慮下面的方程：

ut+(ux)2=uxx.

(2)

文獻[1]討論了位勢Burgers方程(1)的對稱.作變換g=-u，則方程(2)變成gt=(gx)2+gxx.文獻[2]給出了該方程的一部分對稱，文獻[3]給出了該方程的所有對稱.自然科學和工程中的許多問題都可以用非線性偏微分方程來描述，這些偏微分方程只有很少一部分可以解析求解，而偏微分方程的精確解析解可以幫助驗算和估計數值解、近似解析解的正確性及誤差，因此，非線性偏微分方程的精確求解及其解法研究作為非線性科學中的前沿研究課題和熱點問題，極具挑戰性.目前雖然已經提出和發展了許多求非線性偏微分方程解析解的技術和方法，但因為求解非線性偏微分方程不可能有普遍而統一的理論方法，繼續尋找一些有效可行的求解方法依然是一項十分重要和有價值的工作.

隨著李群在偏微分方程中的廣泛應用，利用李群理論分析方法計算偏微分方程的對稱相對來說是一種普遍的工具[2-5]，近幾年來李群分析方法早已應用到新的非線性科學領域——偏微分-積分方程中[6-8].本文利用李群方法[4-5]研究位勢Burgers方程，尋找該方程所接受的單參數伸縮變換群，從而找到其對應的對稱，最后給出其對應的自相似解.

2 位勢Burgers方程(2)的自相似解

的不變條件要求

故位勢Burgers方程(2)具有對稱

令y=f′(z)，于是該方程變成Bernoulli方程

其通解為

從而位勢Burgers方程(2)的自相似解為

3 位勢Burgers方程(2)的行波解

設u=U(ξ)，ξ=x-at是方程(2)的解，則方程(2)轉化為一常微分方程

(3)

4 結論

本文是李群理論分析方法中的伸縮變換群在非線性二階偏微分方程——位勢Burgers方程(2)中應用的一個例子，仍可看作對文獻[9]的一種補充和延續.應用與文獻[8-9]類似的方法找到了位勢Burgers方程(2)所接受的伸縮變換群，然后利用位勢Burgers方程(2)所具有的對稱找到了該方程的自相似解，并使用函數變換法找到了位勢Burgers方程(2)的顯式解析行波解.