焦點三角形我為你“點贊”

■湖北省巴東縣第三高級中學

橢圓(或雙曲線)上任意一點與兩焦點的連線構成的三角形稱為焦點三角形。焦點三角形,又稱“魅力三角形”。

題型一:已知焦點三角形的內角,求解相關問題

例1(2018·全國Ⅱ卷文)已知F1、F2是橢圓C的兩個焦點,P是橢圓C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則橢圓C的離心率為( )。

解題思路:設|PF2|=m,利用直角三角形三角函數的定義求|F1F2|、|PF1|,再結合橢圓定義求實軸長,利用離心率計算公式求值。

解析:在 △F1PF2中,∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°。

設|PF2|=m,則2c=|F1F2|=2m,|PF1|=3m。

又由橢圓定義可知2a=|PF1|+|PF2|=+1)m。

點評:橢圓定義的應用主要有兩個方面:一是判斷平面內動點的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率。

例2(2018·全國Ⅱ卷理)已知F1、F是橢圓2(a＞b＞0)的左、右焦點,A是橢圓C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,△PFF為等腰三角形,12∠F1F2P=120°,則橢圓C的離心率為( )。

解題思路:等腰三角形的性質求|PF2|、|F1F2|?直線斜率的定義、同角三角函數間的關系求sin∠PAF2、cos∠PAF2?正弦定理、兩角差的正弦公式求a、c關系?離心率計算公式求結論。

解析:因為△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以|PF2|=|F1F2|=2c。

點評:求解本題的關鍵是:①求角∠PAF2的正弦值;②由正弦定理求a、c的關系。

題型二:求焦點三角形的內角或內角的三角函數值

例3(2012·全國Ⅰ卷)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在雙曲線C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=( )。

解題思路:設|PF2|=m,則|PF1|=2|PF2|=2m。由雙曲線的定義求出m,根據雙曲線中a、b、c的關系求2c,再利用余弦定理求cos∠F1PF2。

解析:設|PF2|=m,則|PF1|=2m。

由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a,所以2m-m=2,m=2。

點評:題目中給定的是等軸雙曲線,在“焦點三角形”中,正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義是經常使用的知識點。

題型三:焦點三角形的內角平分線問題

例4(2011·全國Ⅰ卷)已知F1、F2分別為雙曲線C:=1的左、右焦點,點A在雙曲線C上,點M的坐標為(2,0),AM為∠F1AF2的平分線,則|AF2|=。

解題思路:先由雙曲線的性質求焦點坐標,再由三角形內角平分線定理求,最后由雙曲線的定義求|AF2|。

解析:由已知得F1(-6,0),F2(6,0),由三角形內角平分線定理得=2。

題型四 焦點三角形邊的關系問題

例5(2007·湖北卷)雙曲線的左準線為l,左焦點和右焦點分別為F1和F2。拋物線C2的準線為l,焦點為F2。雙曲線C1與拋物線C2的一個交點為M,則等于( )。

解題思路:設M點在準線l上的射影為點D,由雙曲線的定義、拋物線的定義得到關于|MF1|、|MF2|、|MD|的方程組,解方程組求|MF1|、|MF2|,最后代入式子計算

點評:本題是雙曲線與拋物線的交匯題,用好雙曲線和拋物線的定義,就可順利解題。

例6(2007·湖北卷)過雙曲線1左焦點F的直線交雙曲線的左支于

M、N 兩點,F2為其右焦點,則|MF2|+|NF2|-|MN|的值為 。

解題思路:妙用雙曲線的定義求|MF2|-|MF|、|NF2|-|NF|。

解析:根據雙曲線的定義有|MF2|-|MF|=2a,|NF2|-|NF|=2a。

兩式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8。

點評:由雙曲線的定義解題時要注意動點的位置,在雙曲線的標準方程中,決定焦點位置的因素是x2或y2的系數。