關于輔助線添加的解題優化探討

范紅

[摘? 要] 輔助線是打開幾何問題突破口的重要工具，合理地添加輔助線不僅可以改善圖形，深度認識問題，還可以串聯條件鏈，為后續思路的展開打基礎. 輔助線的添加具有一定的技巧，需要充分考慮題干條件，結合圖形結構. 文章結合實例詳細探討添加輔助線的解題效果，以及添加的思路，以期對師生的教學備考有所幫助.

[關鍵詞] 輔助線;模型;數形;方程

添加輔助線是平面幾何問題求解的重要手段，合理添加輔助線往往可以有效降低思維難度，實現問題的簡化求解. 而對于不同情形的幾何問題，通過添加輔助線可以達到不同的轉化效果，下面將深入探討輔助線添加的解題便利性.

添加輔助線，化“無形”為“有形”

輔助線是平面幾何問題的“生命線”，尤其是對于一些抽象的圖形，合理添加輔助線可以將圖形分解為簡單常見的基本圖形，達到化“無形”為“有形”的解析效果. 常見的問題類型有扇形的陰影面積求解、函數問題中的一般三角形面積分析等.

例1（2018年十堰中考數學）如圖1所示，在扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中點，CD⊥OB，交于點D，以OC為半徑的交OA于點E，試求圖中陰影部分的面積.

難點分析? 陰影部分的圖形涉及圓弧，但屬于抽象圖形，難以利用基本圖形的面積公式來求解，最為有效的方式是通過添加輔助線，將圖形分割為幾個基本圖形的組合，則可以分別利用基本圖形的面積公式來解答.

添加探討? 對于該圖形的輔助線添加需要借助圓弧，盡量將其分解為與扇形相關的圖形，為后續利用扇形面積公式計算做鋪墊. 圓弧上的一點D可以作為關鍵的分割點，連接OD，設OD與相交于點F. 則左半部分陰影可以由兩扇形割補獲得，即S1=S扇形AOD-S扇形EOF;而右半部分陰影可以利用三角形與扇形的割補獲得，即S2=S△COD-S扇形COF，則總的陰影面積就為兩者之和，其中的圖形均為已知面積公式的基本圖形.

詳解? 如圖2所示，連接OD，設OD與相交于點F，再連接DB，已知點C為OB的中點，則OC=OB=6，又知AO=BO=OD，則Rt△ODC內的∠DOC=60°，則△DOB為等邊三角形，推知DC=6. 陰影部分的面積可以表示為S陰影=S扇形AOD-S扇形EOF+S△COD-S扇形COF=S扇形AOD+S△COD-S扇形COE，其中S扇形AOD=，S扇形COE=，S△COD=×6×6，綜合可知S陰影=18+6，即陰影部分的面積為18+6.

添加輔助線，化“分散”為“集中”

添加輔助線也是條件轉化、調換的一種方式，即通過添加輔助線可以使一些看似沒有聯系、較為分散的條件集中起來，形成一個較為完整的條件鏈. 尤其是對于一些圖形復雜度高、條件眾多的綜合題，可以充分研究條件，利用條件之間隱含的關聯，通過合理的輔助線添加來完成條件鏈的構建.

例2如圖3所示，△ABC是以點C為頂點的等腰三角形，其中AC=BC，∠C=100°，作∠A的角平分線，交BC于點D，試證明：AD+CD=AB.

[圖3]

難點分析? 題干給出的條件有兩個：一是AC=BC，二是線段AD為∠CAB的平分線，求證AD+CD=AB就是分析AD，CD與AB的線段長關系. 考慮到三條線段不位于同一直線上，因此很難通過線段運算的方式獲得三者的長度關系，因此需要將“分散”的線段“集中”在一起，可以考慮通過添加輔助線的方式將線段進行長度轉移.

添加探討? 實現不共線線段的轉移有多種方式，最為有效的方式為構建全等三角形，利用三角形全等的性質來轉移集中. 對于本題目，從結論出發，可以考慮以線段AD所在直線為基準，構建一含有30°角的直角三角形，借助三角形全等性質將線段CD轉移到線段AD所在直線上，然后借助角平分線性質完成等長證明.

[圖4]

詳解? 延長線段AD至點F，使得FD=CD，再連接FC，過點A作FC的垂線，垂足為點G，連接AG，CG，如圖4所示. ∠C=100°，△ABC為等腰三角形，則∠DAB=20°，∠ADB=120°，由對頂角相等可得∠CDF=120°，結合CD=FD可推知∠F=30°，因此在Rt△AFG中，2AG=AF. 另外結合條件可以確定△ACG≌△ACE，則AG=AE，所以AB=2AG=AF=AD+CD，即AD+CD=AB，得證.

添加輔助線，化“隱”為“顯”

平面幾何是中學數學常見的題型之一，對于一些條件隱藏較深的題目，由于平面幾何的公式定理眾多，有時很難直接調用定理獲得條件，此時就可以采用添加輔助線的方式來挖掘條件，調用定理，從而達到化“隱”為“顯”的目的.

例3圖5所示為以點O為圓心的半圓，已知半圓的直徑為10 cm，弦長AC為6 cm，線段AD為∠CAB的平分線，試求線段AD的長.

[圖5]

難點分析? 本題目為以圓為背景的弦線段長分析題，題干描述較為簡潔，圖形結構清晰明了，初步來看僅給出了半圓的直徑長和角平分線關系. 一般求解圓內的線段長需要利用圓的相關定理，如圓周角定理、垂徑定理，但題干給出的條件不涉及圓周角和直角，因此可以考慮通過添加輔助線來挖掘隱含條件.

添加探討? 求解以圓為背景的線段關系，需要利用圓的相關定理.? 題干表明線段AB為半圓的直徑，則可以構建90°的圓周角，AD為∠CAB的角平分線，可推知點D為的中點，可以通過添加輔助線構建等角. 因此對于本題目，可通過添加輔助線來挖掘其中的隱含條件.

[圖6]

詳解? 連接BC，OD，DB，設線段BC與OD相交于點E，如圖6所示，根據條件可知點D為的中點，∠C=90°，∠ADB=90°，根據垂徑定理可知點E為線段BC的中點，OD⊥BC. 在Rt△ABC中利用勾股定理可得BC=8，則BE=4;在Rt△OEB中利用勾股定理可得OE=3，則DE=2;Rt△ADB中，DB=2，AB=10，由勾股定理可得AD=4，即線段AD的長為4.