具有加權(quán)梯度源項(xiàng)的半線性拋物方程解的爆破時間下界?

馬羚未， 方鐘波

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

迄今為止，已有許多學(xué)者致力于拋物型方程解的整體存在性與爆破現(xiàn)象及定性性質(zhì)方面的研究，且已有許多專著和綜述性的成果(見文獻(xiàn)[1-4])。特別是，Quittner和Souplet專著[2，第 3,4章]中詳細(xì)介紹了具有Dirichlet邊界條件和常系數(shù)a的反應(yīng)-擴(kuò)散模型中解的定性性質(zhì)。粗略地概括，爆破的發(fā)生以及類型依賴于常數(shù)系數(shù)a，初始值以及區(qū)域的選取，且梯度模型的另一個顯著特點(diǎn)是在適當(dāng)?shù)臈l件下可能發(fā)生邊界或內(nèi)部中梯度爆破現(xiàn)象。最近，爆破問題中爆破時間的上下界估計的研究方面有新的進(jìn)展。實(shí)際上，關(guān)于拋物型方程解發(fā)生爆破時爆破解的爆破時間上界(見文獻(xiàn)[5]中六種方法)的技巧較多。然而，爆破解的爆破時間下界一般較難確定且大部分文獻(xiàn)限制在三維空間中，主要困難在于Sobolev最優(yōu)化常數(shù)的確定。這里提供給讀者參考文獻(xiàn)[6-9](不含梯度項(xiàng)),文獻(xiàn)[10-13] (含梯度項(xiàng))及相關(guān)文獻(xiàn)。特別地， Marras在文獻(xiàn)[11]中研究了如下具有齊次Dirichlet邊界條件和梯度源項(xiàng)的半線性拋物型方程組的初邊值問題

并在三維空間中具有光滑邊界的凸區(qū)域上得到了解發(fā)生爆破時爆破時間的下界。

關(guān)于具有空變系數(shù)的反應(yīng)模型，Song和Lv[14,15]最近研究了具有加權(quán)內(nèi)部源項(xiàng)的局部拋物型方程

ut=Δu+axf(u), (x,t)∈Ω×(0,t*),

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈?Ω，或

其中c，c1，c2為正常數(shù)。當(dāng)初邊值問題具有非線性Neumann邊界條件，且權(quán)函數(shù)滿足a1或a3或a4時，得到了三維空間中問題解發(fā)生爆破時爆破時間界的估計(見文獻(xiàn)[14])。在文獻(xiàn)[15]中，考慮了問題具有齊次Dirichlet和齊次Neumann邊界條件且權(quán)函數(shù)滿足a1或a2的情形，在高維空間中得到了初邊值問題解的爆破時間界與爆破速率的估計。

綜上所述，在高維空間(N≥3)上具有加權(quán)梯度源項(xiàng)的半線性拋物型方程Dirichlet初邊值問題解的爆破分析方面的研究還未得到展開。因?yàn)榉匠讨泻屑訖?quán)梯度源項(xiàng)，所以微分不等式技巧的應(yīng)用中遇到困難。本文中，受Marras[11]工作啟發(fā)，在高維空間中考慮具有加權(quán)梯度源項(xiàng)的半線性拋物方程

ut=Δu+axf▽u,x,t∈Ω×0,t*,

(1)

給出齊次Dirichlet邊界條件和初始條件

ux,t=0,x,t∈?Ω×0,t*,

(2)

ux,0=u0x,x∈Ω。

(3)

a1:ax>0，x∈Ω；ax=0，x∈?Ω，或者

非負(fù)初始值u0x為C1類連續(xù)函數(shù)且滿足相容性條件。因此，由拋物方程經(jīng)典理論可知問題(1)～(3)存在唯一的非負(fù)古典解。解的最大存在時間t*∈(0,+∞]。此外，若t*<+∞，則ux,t以C1-范數(shù)意義下在有限時刻發(fā)生爆破(見文獻(xiàn)[16，定理 10,p.206])；即

模型(1)常常稱為具有黏性的Hamilton-Jacobi方程且與物理學(xué)理論中描述界面生長及粗化的Kardar- Parisi-Zhang方程有密切聯(lián)系，見文獻(xiàn)[17-18]以及相關(guān)文獻(xiàn)。本文的目的是在高維空間中適當(dāng)?shù)募訖?quán)測度意義下建立問題(1)～(3)解發(fā)生爆破時爆破時間下界的估計，并給出應(yīng)用舉例。

1 爆破時間t*的下界

本節(jié)中，將在新的加權(quán)測度意義下給出問題(1)～ (3)爆破解的爆破時間的下界估計。

定理1令ux,t是問題(1)～(3)的非負(fù)古典解，且ux,t在有限時間t*發(fā)生爆破。假設(shè)非負(fù)函數(shù)f▽u滿足

證明：首先，對Φt求微分，并利用(1)，(2)，Green公式，H1以及a5，可以得到

Φ′t=

(4)

由于0<β<1，現(xiàn)在，對(4)不等號右端最后一項(xiàng)運(yùn)用Young不等式，導(dǎo)出

(5)

然后，再對(4)不等號右端的第一項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式以及Young不等式，算出

(6)

式中ε1是待定的正常數(shù)。

將(5),(6)代入到(4)中，整理得到

(7)

從而，對(7)不等號右端的最后一積分項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式及Young不等式，可得

(8)

之后，再次利用H?lder不等式，則不等號(8)右端的第一項(xiàng)變?yōu)?/p>

(9)

由此，運(yùn)用高維空間N≥3中Sobolev不等式[19]知

其中Cs是Sobolev最優(yōu)化常數(shù)。同時，利用假設(shè)a5及Jensen不等式，有

(10)

現(xiàn)在，將(10)代入到(9)中，并利用Young不等式，可以導(dǎo)出

(11)

其中ε2是待定的正常數(shù)。

最后，將(8)～(11)代入到(7)中，整理可得

(12)

其中

此時選取ε1>0充分小，ε2>0使得J5=0。故(12)變?yōu)?/p>

(13)

對(13)從0到t*積分，最終導(dǎo)出

故定理1證畢。

注1：問題(1)～(3)中，若齊次Dirichlet邊界條件(2)替換為齊次Neumann邊界條件，則可以得到與定理1類似的結(jié)論。事實(shí)上，此時Sobolev型不等式變?yōu)?/p>

從而，(10)變?yōu)?/p>

其中

易得爆破時間t*的下界為

其中

這里ζ1>0充分小，ζ2>0使得

2 例題

本節(jié)中，將通過舉例來驗(yàn)證定理1。

例1 令ux,t是如下問題的非負(fù)古典解：

u=0,x,t∈?Ω×0,t*,

ux,0=1-x>0,x∈Ω,

其中Ω是R3中的單位球，給定

因此，由定理1知爆破時間的下界為

3 結(jié)語

本文中，運(yùn)用修正的微分不等式技巧，研究了高維空間中具有加權(quán)梯度源項(xiàng)的半線性拋物方程Dirichlet初邊值問題解爆破時間。給出了當(dāng)爆破發(fā)生時，在加權(quán)測度意義下解爆破時間的下界，并給出具體實(shí)例說明了研究結(jié)果的有效性。