例談函數(shù)值域求法

賀志雄

（德宏師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南芒市 678400）

函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，其中函數(shù)值域又是一個難點，它可變式為最值問題，也可變式為不等式證明問題，其本身具有一定的綜合性。函數(shù)值域求解方法靈活多樣，可涉及函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與函數(shù)的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化、變量與變量的換元代換、數(shù)形結(jié)合等多個知識點及思想方法。下面選擇具有代表性的一個問題，從多個角度認識和解決，以體現(xiàn)函數(shù)值域問題求解的核心思想和方法。

例題：求函數(shù)y=的值域。

1 數(shù)形結(jié)合法

圍繞數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換，初等數(shù)學(xué)中已形成了一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)寫過一首詞，很形象地反應(yīng)了數(shù)形之間的這種辯證關(guān)系：“數(shù)與形本是相倚依的，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離”〔1〕25。

1.1換元基礎(chǔ)上的數(shù)形結(jié)合法換元思想是指通過變元或式表示、代替或轉(zhuǎn)換為某些確定的數(shù)學(xué)對象，將數(shù)學(xué)問題化繁為簡、化難為易，從而達到化未知到已知的終極目標的一種思維傾向。換元思想的本質(zhì)是映射轉(zhuǎn)移，或者說就是引進某種新的映射，對原給定的函數(shù)進行分解或?qū)嵤?fù)合，它的理論依據(jù)是等量代換〔2〕。

解法1：設(shè)u=，v=，則u2+v2=1且u≥0，v≥0，該曲線方程為四分之一圓，于是問題轉(zhuǎn)化為：y為何值時，直線u+v=y與該四分之一圓有交點。由圖1容易得到，y的取值范圍為，即為所求函數(shù)值域。

圖1 解法1圖列示

解法2：函數(shù)定義域為［0，1］，

依照解法1可求解。

1.2不換元的數(shù)形結(jié)合法

解法3：函數(shù)的定義域為［0，1］，

這里函數(shù)u=與u=-的圖像分別為一段拋物線AB、CD。見圖2。于是問題化歸為向上平移圖像CD，使其與圖像AB相交至相切時，y的取值范圍問題，設(shè)切點為E（x0，y0），則拋物線AB、CD在x=x0處切線斜率相等。

圖2 解法3圖列示

由圖2易知y的范圍在A點與G點之間即有1≤y≤。

1.3 構(gòu)造向量的數(shù)形結(jié)合法向量作為一種帶有方向的線段，集“數(shù)”“形”于一身，即向量可以類似像數(shù)那樣進行運算，其本身又是一個“圖形”。向量是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的良好載體〔1〕111。

解法 4：設(shè)向量a=（，），b=（1，1）（見圖3），

圖3 解法4圖列示

2 逆變法

逆變法屬于一種逆向思維，它是“正難則反”思想在化歸策略中的一種，簡單地說，逆變法就是數(shù)學(xué)形式的反面思考，實現(xiàn)對立雙方的轉(zhuǎn)化〔3〕81。將y=f（x）看成是x的方程，若求得x=g（y），由g（y）的定義域及x的范圍（原來函數(shù)y=f（x）的定義域）即g（y）的范圍，則可求得y的范圍。

3 判別式法

方程實質(zhì)上就是求已知函數(shù)的變數(shù)值，使在變數(shù)值上已知函數(shù)有某個預(yù)先指定的值，特別是使函數(shù)值變?yōu)榱悖坏仁揭部深愃频厝タ矗谑欠匠毯筒坏仁蕉冀y(tǒng)一到函數(shù)的范疇中〔4〕161。判別式法完成了這樣的一種“統(tǒng)一”。

消元整理后有

關(guān)于u的一元二次方程有非負解，由根與系數(shù)的關(guān)系及根存在的條件有：

4 等價轉(zhuǎn)化的方法

在數(shù)學(xué)求解過程中，經(jīng)常會見到“換一句話說”這樣的表述形式，其實就是“構(gòu)造一個等價命題”的通俗說法。簡單地說，一個命題的充要條件稱為它的等價命題。所謂等價轉(zhuǎn)化是指通過將所解決的問題轉(zhuǎn)化為它的等價命題，使得問題的條件或結(jié)論之間更趨于勻稱、和諧，聯(lián)系更為緊密，從而有利于解決問題〔3〕59。恒等變形是等價轉(zhuǎn)化的一種方法，通過恒等變形變換問題的形式，從而使問題得以求解。

5 利用函數(shù)單調(diào)性的方法

函數(shù)的單調(diào)性，從幾何直觀的角度看，就是函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律〔3〕207。找到了“規(guī)律”，問題迎刃而解。

函數(shù)的定義域為［0，1］，

6 三角代換法

三角代換法的基本思想，在于把函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在代換時，必須使三角函數(shù)的值域與被代換變量的取值范圍相一致〔1〕142。消去根式是數(shù)學(xué)常用的一種劃歸方法，在解無理方程、無理不等式時，都要用到這種化“無理”為“有理”的方法。下面用三角函數(shù)的平方關(guān)系消去根式，得到一個三角式而不是有理式，但它產(chǎn)生了把一個問題得以解決的“有理行為”，這屬于更廣泛意義的有理化。

7 最值法

如果函數(shù)在［a，b］上連續(xù)，它的最大值和最小值分別是M和m，那么函數(shù)的值域是〔m，M〕〔4〕142。若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上可導(dǎo)，最大值和最小值可從駐點的函數(shù)值及f（a）、f（b）中尋求。

解：y=x的定義域為[0,1]，

通過一個函數(shù)值域問題的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生對認知結(jié)構(gòu)中已有的一些解法進行提煉，讓學(xué)生認識到思想方法之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生建立起對一類問題的整體認識，進而生成處理一類問題的基本方法。這樣才能讓學(xué)生做到舉一反三，觸類旁通〔5〕。