關鍵點彎矩值結合各段線形的彎矩圖分段繪制方法研究

張 延，王鳳嬌

(安徽水利水電職業技術學院，安徽 合肥 231603)

在材料力學和結構力學教學過程中，桿系結構彎矩圖的繪制既是重點，也是難點。常用教材介紹的繪圖方法有“方程式法”、“疊加法”[3]等。本文根據多年教學實踐提出“關鍵點彎矩值結合各段線形的彎矩圖分段繪制方法”，此方法原理明晰，繪圖快速準確，即適用于直接繪制多種桿系結構形式的彎矩圖，也可結合“力法”繪制超靜定結構的彎矩圖。

1 繪圖方法

運用關鍵點彎矩結合各段線形的彎矩圖分段繪制方法繪制彎矩圖外包線，主要包括3個步驟：通過分段點對桿系結構進行分段；確定各段關鍵點及對應彎矩值；運用各段的線形連接各段的關鍵點彎矩值并成圖。

(1)分段點。主要是①集中力作用點、②集中力偶作用點、③分(均)布荷載的兩端點、④鉸結點、⑤剛結點等。這些分段點中的2個或2個以上有可能重合，如集中力作用點可能也是集中力偶作用點和均布荷載的1個端點。

(2)各段關鍵點及彎矩值確定。包括①端點。若為整個結構的兩端點之一，當無力偶作用時彎矩為零，當有力偶作用時彎矩為力偶矩的大?。蝗魹榻Y構中部的分段點，彎矩值由截面一側的所有外力(偶)對截面形心的力(偶)矩代數和確定。②中點。針對均布荷載作用段，中點彎矩值由“疊加法”[3]思想確定。③極值點。針對均布荷載作用段，由剪力為0的點確定。這些關鍵點的彎矩值確定后，點繪在桿件受拉側。

(3)各段線形包括。①水平線。分段點的一側無外力作用，剪力始終為零(Q(x)=0)時。②斜直線。無荷載作用段，當剪力圖為水平線(Q(x)=a，且a≠0)時。 ③二次拋物線。均布荷載作用段，當剪力圖為斜直線(Q(x)=ax+b，且a≠0)時。這是由彎矩、剪力與荷載集度間的關系確定。線形確定后，運用各段的線形連接上述點繪的各段關鍵點彎矩值，即完成了彎矩圖外包線的繪制。

2 繪圖技巧

因為結構兩端點的彎矩值往往已知(為0或為集中力偶矩的大小)，而且越靠近2端的點，彎矩值越容易判斷(截面一側的外力對截面形心的力矩代數和)，所以運用此方法繪制彎矩圖的重要技巧是：結合線形從結構兩端往結構中部繪圖；在繪制鉸接多跨梁和平面剛架時，也有需注意掌握的技巧，詳見后文示例。

除受力特別復雜的情況外，運用此方法結合繪圖技巧繪圖，往往無需手算彎矩值，就能完成整個結構的彎矩圖繪制。

3 繪圖方法運用

3.1 繪制單桿件靜定梁的彎矩圖

以繪制如圖1(a)所示AD梁的彎矩圖為例。首先根據平衡條件確定約束反力，如圖1(b)所示，再根據“增量法”快遞繪制剪力圖，作為直觀判斷彎矩圖線形，和確定均布荷載作用段極值點的依據，如圖1(c)所示，最后從兩端往中間一邊判斷關鍵點的彎矩值，并點繪在受拉側，一邊通過線形連接關鍵點成圖，如圖1(d)所示。

按照前文描述的繪圖技巧，首先確定桿件兩端點的彎矩值：a點為0，d點為8(上側，由M產生)；再逐漸往中間判斷：b點為16(上側，由F×2產生)，c點為8(上側，由M產生)；然后用斜直線、水平線分別連接ab、dc；最后用拋物線連接bc，并補充拋物線中段1個點的彎矩值即可成圖，bc間補充的點可選擇中點e，或極值點f(當需要了解極值時)。繪圖順序如圖1(d)箭頭所示。

圖1 繪制梁AD的變矩圖

3.2 繪制鉸接多跨靜定梁的彎矩圖

以繪制如圖2(a)所示AE梁的彎矩圖為例。先求解約束反力并快速繪制剪力圖，如圖2(b)和圖2(c)所示,再依次判斷a(0)、e(0)、b(6，下側，由FAy×1.5產生)、c(0)、d(4，上側,由比例關系確定)的彎矩值并點繪受拉側；最后運用各段線形連接這些關鍵點，并補充f或g點成圖，如圖2(d)所示。

繪制鉸接多跨靜定梁的重要技巧是：彎矩圖直線穿過鉸結點且斜率保持不變(無荷載作用段)。

如圖2(d)中的bcd段。因C點左右兩側直線斜率相同，d點的彎矩值4可由比例關系確定(1.5∶1=6∶4)。

圖2 繪制多跨梁AE的變矩圖

3.3 繪制靜定平面剛架的彎矩圖

以繪制如圖3(a)所示AE剛架的彎矩圖為例。仍先求解約束反力并快速繪制此剛架的剪力圖，如圖3(b)和圖3(c)所示。再依次確定b(0)、e(0)、c(32，外側，由F×1.5產生)、c'(32，=c，上側，節點平衡)、d(64，外側，由FEx×4產生)、d'(64，=d，上側，節點平衡)的彎矩值并點繪受拉側；最后運用線形連接關鍵點并補充f或g點成圖，如圖3(d)所示。

繪制平面剛架彎矩圖的重要技巧是：剛結點柱、梁兩側截面彎矩相同且在同側(無集中力偶作用在結點上)。

即通俗的說法“內傳內，外傳外”。這是由結點平衡決定的。如圖3(d)中的C點和D點，當從剛架的兩端向中間繪圖時，得出了柱端彎矩值，也就知道了梁端彎矩值，且同在剛架外側，如圖3(d)的c、c'和d、d'。

圖3 繪制鋼架AE的彎矩圖

3.4 繪制超靜定平面剛架的彎矩圖

以繪制如圖4(a)所示超靜定平面剛架AD的彎矩圖為例。與繪制靜定平面剛架唯一的不同，是需要先借助“力法”[4]求約束反力，后面的步驟與繪制靜定平面剛架的彎矩圖相同。如圖4(d)所示。

圖4 繪制超靜定剛架AD的彎矩圖

4 結束語

在繪制彎矩圖之前先繪出剪力圖，是看中剪力圖與彎矩圖各段的相互對應關系，對繪制彎矩圖有重要提示作用，并利用剪力圖準確判斷均布荷載段彎矩的極值點。

掌握了這種繪制彎矩圖的基本方法和繪圖技巧，會使繪圖更加簡單、直觀、易于操作、適用性強。有效避免了傳統方法抽象且運算量較大的問題?？稍诮虒W過程中作為傳統方法的有益補充并推廣運用。