從線性方程組“看”課堂教學在科研及工程實踐中的應用

趙玉娟

摘? ?要：線性方程組不僅是“線性代數”的重要內容，也是科學研究和工程應用的基礎知識。線性方程組分為適定、欠定和超定3種，但在“線性代數”課堂教學中往往僅涉及適定和欠定兩種情況，而且欠定時僅給出由基礎解系表示的解空間。文章從線性方程組的課堂教學入手，探討了線性代數知識在科學研究和工程應用中的拓展。以“線性代數”課程中的線性方程組為例，探討分析了在課堂教學中將基礎知識延伸至科研熱點和工程應用中的可行性。

關鍵詞：線性方程組;稀疏低秩分解;前景目標提取

1? ? 線性方程組概述

線性方程組分為欠定方程組、適定方程組和超定方程組3種情況，在“線性代數”的課堂教學中，教師往往只講述適定方程組和欠定方程組兩種。對于適定方程組，會求至最后的唯一解;對于欠定方程組，由于其有無數多個解，通常會給出由基礎解系表示的解空間，告訴學生該欠定方程組的任一解都可以由基礎解系線性表出。在科學研究和實際的工程應用中，對于欠定線性方程組，往往會附加條件，以便從由無數多個解構成的解空間中將需要的特殊解給找出來。教師在講述該部分內容時，可以向最近的科學研究熱點和工程應用上拓展，讓學生感受到“線性代數”課程并不只是枯燥、無用的課堂知識，而是在現實生活中仍舊有著旺盛的生命力。

2? ? 線性方程組的3種分類及求解

超定方程組是不可解的，但當引入最小二乘法后，可以得到超定方程組的最小二乘解，這些知識在“線性代數”課堂上都可以適當地向學生普及，使學生認識到學習“線性代數”課程的重要性、激發學習熱情。本文接下來詳細分析了線性方程組的3種情況，以及它們在科學研究和工程實踐中的應用。

設有線性方程組：

Ax=b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中，

，，

（2）

適定的情況，若：

（3）

此時線性方程組（1）有唯一解，可通過求增廣矩陣的行最簡矩陣得到這個解。

如果，

（4）

此時方程組（1）為欠定方程組，有無數多個解，這些解構成方程組（1）的解空間，可以由方程組（1）的一個特解η和其導出組Ax=0的一個基礎解系ξ1，ξ2，…，ξn-r（A）組成的線性組合：

η+ξ1+ξ2+…+ξn-r（A）（5）

表示方程組（1）的任一解。在科學研究和工程應用中，往往會有額外的限定條件，通過這些限定條件在解空間中找到需要的解。比如從2010年左右出現，一直到現在都處于科研前端的稀疏低秩分解問題[1-3]，試圖將一個混入異常值（outlier）的低秩矩陣分解成稀疏矩陣（由異常值構成）和低秩矩陣兩部分，其中稀疏矩陣部分應用了壓縮感知（Compressed Sensing，CS）的理論內容。

壓縮感知理論主要有稀疏表示、線性觀測和非線性重構3個部分，希望由觀測向量ym×1通過方程組：

ym×1=Am×nxn×1，m<

將信號xn×1恢復出來，其中，矩陣Am×n形式同公式（2）。

這顯然是一個欠定的線性方程組的求解問題，原則上不可能從由無窮解構成的解空間中找到正確的信號xn×1，但若給信號xn×1加上稀疏性的條件，即要求它在某個變換域Ψ中是稀疏的，則從無數多個解中尋找信號xn×1（唯一解）稱為可能。當然，要能夠由公式（6）得到爭取的信號xn×1，稀疏變換矩陣Ψ和線性觀測矩陣A要滿足受限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）。

壓縮感知理論及其延伸稀疏低秩分解在工程應用中也有廣泛應用，例如視頻監控圖像中的前景提取[4]。隨著社會發展，基于圖像的視頻監控系統越來越重要，被廣泛地應用于社會的各個方面，視頻監控包括：目標檢測、目標跟蹤、目標識別和目標行為分析等方面。目標檢測是視頻監控的一個重要組成部分，只有從背景中將運動的前景目標正確檢測出來，才能有效進行視頻監控的后續工作。

視頻監控大部分是由固定的照相機拍攝完成，背景由于相機的抖動或者天氣原因只會產生輕微差別，將視頻中的每幀圖像對應的矩陣排成一個列向量，之后按照視頻中圖像的順序將這些列向量排成矩陣，這個矩陣則可以運用稀疏低秩分解理論分解成一個低秩矩陣和一個稀疏矩陣，其中，低秩矩陣的每一列對應于視頻中相應圖像中的背景，稀疏矩陣中的每一列對應視頻中相應圖像中的運動前景。

如果：

（7）

此時式（1）為超定線性方程組，將式（1）的左右兩邊同時左乘AT：

ATAx=ATb（8）

應用最小二乘法，可得方程組（8）的近似解為：

x=（ATA）-1ATb（9）

需要指出的是，式（9）給出的解并不是超定線性方程組（8）的精確解，而只是式（8）的近似解（與精確解的誤差最小），由于式（8）是超定的線性方程組，其精確解并不存在。在科學研究和實際工程應用中，超定方程組經常會遇到，比如處理實驗數據和曲線擬合時，往往會出現有效方程個數（系數矩陣A的秩）大于未知參量個數（自變量x的維數）的情況，這時就需要運用最小二乘法，找到與精確解最接近的近似解。

將課本中線性方程組解的適定和欠定兩種情況，拓展到了適定、欠定和超定3種情況，并且把欠定時只求方程組的基礎解系和通解拓展到了進而求解空間中滿足特定條件（稀疏性）的特解，而這個滿足稀疏性的特解實際上就是魯棒主成分分析中的稀疏部分，在視頻圖像的背景和前景分離等方面都有重要應用。超定的線性方程組在處理實驗數據和進行曲線擬合時經常會出現，需要根據具體的實際情況來選取與精確解誤差最小的近似解。

3? ? 結語

在“線性代數”的課堂教學中，教師可以將課本上的知識與當前熱門的科研課題和工程應用結合起來，提升課堂教學的實用性，提高學生對“線性代數”的學習興趣，并為他們將來繼續深造打下扎實的基礎。

[參考文獻]

[1]彭義剛，索津莉，戴瓊海，等.從壓縮感知到低秩矩陣恢復：理論與應用[J].自動化學報，2013（7）：981-994.

[2]CHERAPANAMJERI Y，GUPTA K，JAIN P.Nearly optimal robust matrix completion[C].Sydney：The 34th International Conference on Machine Learning，2017.

[3]VASWANI N，BOUWMANS T，JAVED S，et.al.Robust subspace learning：robust PCA，robust subspace，and robust subspace recovery[J].IEEE Signal Processing Magazine，2018（v4）：32-55.

[4]JAVED S，MAHMOOD A，BOUWMANS T，et.al.Background-foreground modeling based on spatiotempoal sparse subspace clustering[J].IEEE Transactions on Image Processing，2017（12）：5840-5854.

Application of the “look” teaching of the linear equations

in the research and engineering practice

Zhao Yujuan

（School of Mathematics and Information Technology， Jiangsu Second Normal University， Nanjing 210013， China）

Abstract：The system of linear equations is not only the important content of the “Linear Algebra”， but also the basic knowledge of scientific research and engineering application. The system of linear equations is divided into three types， which are suitable， underfixed and overfixed. However， in the “Linear Algebra” class teaching， only two cases of proper and undefinite are involved， and the undertiming only gives out the solution space indicated by the basic solution. This paper starts with the classroom teaching of linear equations， and discusses the development of linear algebra knowledge in scientific research and engineering application. Taking the system of linear equations in the “Linear Algebra” course as an example， the feasibility of extending the basic knowledge to the hot spot of scientific research and the application of engineering is discussed.

Key words：linear equations; sparse low rank decomposition; foreground target extraction