利用RBF實現線狀工程中GNSS高程轉換的精度分析

陳智偉，張興福，胡 波，劉 成

(1.廣東工業大學測繪工程系，廣東 廣州 510006；2.中國鐵路設計集團有限公司，天津 300251)

GNSS測量能夠精確快速獲取地面點的三維坐標，通過坐標轉換可以獲得地面點在國家或工程坐標系中的高精度平面坐標，但是由于GNSS測量獲取的是大地高，無法直接用于工程建設，需要通過高程轉換將大地高轉換為正常高。高程轉換的精度受數學模型、GNSS/水準點的密度，以及分布情況、測區高程異常起伏大小等多重因素的影響，因此在實際應用中還需要開展大量的試驗研究。

目前確定高程異常值的常用方法主要有：函數模型擬合法[1-4](平面、曲面等)、區域似大地水準面模型法[5-6]、重力場模型法[7-9]、基于移去恢復技術的函數模型擬合法[10-12]等。不同方法具有不同的適用性，其高程轉換的精度也各不相同。徑向基函數(radial basis functions，RBF)以其結構簡單、擬合精度較高、收斂速度快等優勢被廣泛應用于非線性函數逼近、模型分類等領域[13]。因此本文以美國GSVS2011項目的GNSS/水準數據為例，對利用RBF實現GNSS高程轉換方法展開研究，詳細分析Thinplate、Cubic、Gaussian、Multiquadrics、Linear 5種RBF核函數的GNSS高程轉換精度。

1 方法和原理

RBF可以看作是一個高維空間中的模型擬合(逼近)問題，通過學習在多維空間中尋找一個與訓練數據最佳匹配的模型，用該模型處理檢核數據。RBF的結構分為3層：第1層為輸入層，將已知數據通過該層輸入系統，作為訓練學習的基礎；第2層為隱含層(核函數層)，作為已知數據訓練的依據；第3層為輸出層，通過對核函數訓練模型的結果進行加權處理[14-15]，使輸出結果達到最優。數據處理基本流程如圖1所示。

圖1 數據處理流程

下面為5種RBF核函數的表達式，用φ(r)表示。

Thinplate核函數

φ(r)=r2ln(r+1)

(1)

Cubic核函數

φ(r)=r3

(2)

Gaussian核函數

(3)

Multiquadrics核函數

(4)

Linear核函數

φ(r)=r

(5)

徑向基函數的插值函數表達式為

(6)

2 算例及精度分析

本文采用美國GSVS2011項目(https:∥www.ngs.noaa.gov/)的GNSS/水準數據，該線路長度約325 km，共有218個GNSS/水準點，相鄰兩個點相隔約1.5 km，線路GNSS/水準點分布和沿線高程異常起伏情況如圖2、圖3所示。利用該數據對第1節中5種RBF核函數的擬合精度進行分析，本次試驗共有6種選點方案，具體方案見表1。表1中“a(5 km)”代表方案a中的點間距約5 km，其他以此類推。為了方便論述，用字母T、C、G、M、L分別代表Thinplate核函數、Cubic核函數、Gaussian核函數、Multiquadrics核函數、Linear核函數。

圖2 GNSS/水準點分布情況

圖3 沿線高程異常起伏情況

表1 選點方案

根據以上6種選點方案分別進行數據處理，采用式(7)進行精度統計

(7)

式中，vi為檢核點的實測值和擬合值的差值；n為檢核點的個數。

RBF的5種核函數在各檢核點處的殘差值如圖4所示，殘差值的最大值、最小值、平均值與擬合精度統計結果見表2。各模型在不同點間距情況下的高程擬合精度如圖5所示。

圖4 各方案殘差值

表2 擬合高程精度統計 mm

由表2及圖5可知，除核函數G外，其余核函數高程擬合殘差絕對值均不超過10.0 cm；當點間距不大于15 km時，T、C、M這3種核函數的擬合精度相當，擬合精度約1.0 cm，高程殘差絕對值均小于5.0 cm；當點間距從15 km減小到5 km時，G、L兩種核函數擬合精度分別從1.7 cm、1.6 cm提高到1.2 cm、1.0 cm，而且點間距為5 km時，高程擬合殘差絕對值均不超過4.0 cm；當點間距30 km減小到15 km時，5種核函數的擬合精度迅速提高，分別提高了1.6 cm、2.1 cm、2.5 cm、1.7 cm和1.3 cm，而且點間距為15 km時，高程擬合殘差絕對值均不超過7.0 cm。

為了進一步分析5種RBF核函數的擬合精度，現根據工程測量規范(GB 50026—2007)對6種方案的高差擬合精度進行統計，統計結果見表3。由表4可知，T、C、M這3種核函數在各種選點方案中超過95.3%的擬合高差均滿足四等水準測量的限差要求，而且在方案b中能達到98.0%；G、L兩種核函數分別有超過90.7%和92.5%的擬合高差滿足四等水準測量限差要求。高差擬合精度超出四等水準測量限差的測段主要出現在線路約50 km、85 km、200 km和300 km等處(如圖3所示)，原因是這些區域的高程異常變化復雜，在50 km處的高程異常變化尤為明顯。另外，除了方案a中的核函數G滿足五等水準測量限差要求的比例為95.4%，其他的方案滿足五等水準測量限差要求的比例均超過98%，而且超限的測段主要在線路約50 km處。

圖5 高程擬合精度統計

表3 擬合高差精度統計 (%)

3 結 論

本文研究基于5種RBF核函數的高程擬合方法，統計分析了不同點間距下各種核函數模型在擬合線狀工程中GNSS高程轉換的精度，結論如下：

(1) 高程擬合精度統計表明，當點間距較小時，5種核函數均能獲得較好的擬合精度。當點間距從30 km減小到15 km時，5種核函數的擬合精度均迅速提高；當點間距不大于15 km時，T、C、M這3種核函數的擬合精度約為1.0 cm。

(2) 在高差精度統計中，T、C、M這3種核函數滿足四等水準測量限差要求的比例超過95.3%，滿足五等水準測量限差要求的比例超過98.0%，均優于G、L兩種核函數。

(3) 在高程異常變化較為平坦的測區，用RBF擬合時建議點間距不宜大于30 km。