多元表征完善計算學習的內在結構
——以《20以內退位減法》單元教學為例

鐘 燕

計算學習是數學學習中學生較早接觸的內容，在小學數學課程中占的比重比較大。20以內加減法作為整個計算學習的基礎，有著舉足輕重的地位。其中20以內的退位減法，是學生在學習過程中遇到的一個難點。如何借助多元表征，幫助學生在理解算理的基礎上掌握算法，同時形成有利于后續計算學習的結構特征？我們以整個單元教學為研究內容做了一些新的嘗試。

一、合理運用表征，突出“退一當十”的位值概念

我們現在使用的是十進制的計數制，在一年級上學期學生學習了20以內數的認識，知道了一個十等于十個一；學習了20以內的進位加法，對“滿十進一”有一定的了解，而20以內退位減法的關鍵就是理解“退一當十”。

1.提供有結構的材料，遷移同類算理。

基于學生的認知水平，北師大版教材中呈現了很多實物圖幫助學生理解退位減法。但是教材的圖中，“十”的計數單位不清晰。課堂中我們提供了以10為單位的有結構的材料，如下圖：

有結構的圖和沒有結構的圖對于學生學習退位減法的效果是不一樣的。沒有結構的材料只是讓學生根據減法運算的意義求得算式的值，而有結構的材料有助于學生理解退位減法的算理，并且以10為單位的結構有助于后續同類算理的遷移。

2.找準表征的切入點，便于學生運用。

各種表征都需要學生嘗試表達，學會運用。對于一年級的學生來說，認識一種新的表征或數學模型需要一個過程。在退位減法單元教學的新授課中，我們以被減數不變，減數變化展開教學。如12-3，12-4，12-5，在表征時都是先表示出12，這樣學生更容易找到表達的起點，并摸索到路徑先做什么，再做什么。被減數不變，不管是語言表征，還是圖形表征、操作表征等，在表征的初始階段都是一樣的。學生熟悉表達以后，方便運用和重復。另外，被減數不變，減數變化，更易于引起學生關注運算的發生。

二、逐級抽象表征，重視刻畫算理

在計算學習中，課堂上要完成習題，教師往往更在意學生計算的結果的正確。《數學課程標準（2011版）》把“運算能力”列入十大核心概念，強調了運算能力的重要性。所以初始階段，我們也需要重視學生對于運算算理的理解，發展學生的計算思維，從而為后續的計算學習打下扎實的基礎。

1.強化重點內容。

現行教材更強調算用結合，算用結合的推行也確實有著非常積極的意義，但同時也發現課時容量往往偏大。如北師大版一年級下冊第一單元《20以內退位減法》的第一課時“買鉛筆”。

這節課常用的流程是先呈現問題情境，學生解讀數學信息并提出數學問題，根據數學問題列出算式15－9＝；再討論交流15－9的多種算法；然后借助擺小棒、撥計數器等操作模型理解算理。這樣一個過程下來，只一道題預計教學時間就會超過20分鐘。在前一個環節沒有理解鞏固的情況下，匆忙進入下一個環節，計算教學容易存在蜻蜓點水走過場的現象。一年級學生本身注意力相對不集中，注意持續時間也相對較短。根據這些現狀，在《20以內退位減法》的單元教學中，教師更需要每節課在最佳時間段強化重點學習內容。基于這樣的考慮，將單元新授內容重新進行了厘定，如下表：

?

以上每課時的重點內容集中在前20分鐘教學，后20分鐘進行相應的練習。如此便可以讓計算方法交流更充分，學生對于表征的理解更扎實。

2.同種表征適度反復。

在一個課時中，教師常會運用兩種或兩種以上表征來突顯算理。但是因為表征多樣以后，受時間和學生接受程度的限制，每一種表征在運用的時候，學生經常性地處于一種模仿的階段，而缺少內化的過程。這樣不利于學生充分掌握表征的運用方法，從而深入理解退位減法的算理。我們在設計單元教學的前面幾節課時，每節課都只側重一種表征方式。教學環節中有相似的流程，每一種方式的學習都主要經歷了以下幾個階段：

如下，為計數器模型的教學片斷：

師：我們在計算12－3的時候怎么想？先怎么做，再怎么做？

生：先把12拿開，從10里拿出1個。

師：拿出1個之前先怎么樣？

生：先從12里減去2，因為要減去3，所以再從10里減去1，結果等于9。

師：非常棒，因為12的個位上是2，所以把3分成2和1，12先減去2等于10，10減1等于9。像這個過程，昨天我們是畫圖表示的。今天如果是用計數器撥出來的話，大家想先怎么樣？再怎么樣？

生：12的個位上先減2，十位上還剩1個珠子。

師：這十位上的珠子怎么辦？

生：十位上的1個珠子，相當于個位上的10個珠子。

要求：大家自己撥一撥，再同桌一起撥一撥。請一位學生上講臺邊講邊撥。

（教師根據學生撥的過程，在圖中示范畫。之后請學生在練習紙上把撥的過程畫一畫，再反饋交流）

從上述片斷中可以看到，12－3的“平十法”主要借助計數器模型，使得學生在同一水平層次上有一個反復的過程。適度反復能夠讓學生有重復表達的機會，從而使學生在腦中形成表象，實現面向全體學生的意義理解和思維深度。

3.逐級提高表征的抽象化水平。

在學習20以內退位減法中，運用的表征形式主要有動作表征（擺小棒、圈圖形、撥計數器）、表象表征（回憶操作過程，用圖式表示）、語義表征（說算理）、符號表征（用分解算式表示）等。從課時來看，每節課中都運用到動作表征、表象表征、語義表征、符號表征。使用順序上不盡相同，也會有重復，但基本上遵循從簡到難的過程。從單元序列來看，小棒、計數器和數線三種主要模型的運用依據由直觀逐步走向抽象的順序。結合使用，逐級提高，豐富并發展了學生對于算理的理解，同時也使得學生的思維更加的多元。

三、貫通多種表征，形成符合學生認知的網狀結構

表征素材是決定學生數學學習活動質量、影響課堂學習效率的重要因素，也是貫穿學習活動的線索。但是表征本身作為一種意義理解的輔助形式，并不具備很大的學習意義。本單元貫通多種表征，形成相應的結構特征，使其具有更大的學習價值，并為后續同類知識的學習起強大的支撐作用。

1.思維在前，促進表征的結構化生成。

思維的產生不可能僅僅依賴于表征，所以在每一個具體的表征方式之前，都需要學生有獨立的思考。如在單元第一課時探索12-3=9的算理環節：

思考：為什么12－3＝9是對的？是怎么解出來的？

提出操作要求：下面請同學們從學具袋中拿出12根小棒，看哪位同學最快。

師：想一想，12－9你是怎么做的？（先想不動）12根里拿掉3根，你準備怎么拿？

思考在前，學生可以產生各種不同的方法，不受制約。同時，思考后的動手表征可以促進學生對于方法的理解，固化思維方式。動作帶動思維，可以讓思維更深刻；思維引領操作，可以促進表征的結構化生成。

2.同一種思考方式，縱向聯結多種表征。

每一種表征方式雖然有各自的外在表現形式和特點，但多種表征方式之間的內在并不是割裂的。就20以內退位減法而言，如13－5主要有三種思考方式：一是想加算減，想 5+（8）＝13，所以 13－5＝8；二是“平十法”，先把 5 分成 3 和 2，用 13－3＝10，10－2＝8，所以 13－5＝8；三是“破十法”，13 分成 10 和 3，10－5＝5，5+3＝8，所以 13－5＝8。想加算減，更多的依存加減運算的互逆關系。而后兩種方式，每一種思考方式都在不同的課時中借助了不同的數學模型和表征方式。同一種方式的不同表征，抽象程度逐級提升，而表征之間其實又有緊密的聯系。實現表征之間的內在溝通，可以促進學生認識計算方法的本質。所以在設計單元第五課時的時候，對前面幾節課的學習內容進行了梳理，感受用圖形、計數器、數線、算式都可以來解決退位減法，并能聯系多種表征，溝通20以內退位減法的算理與算法。課堂伊始，拋出一個問題“想一想15－7怎么算，你有什么好辦法？”喚醒學生前期積累的活動經驗。教師引領學生在自我嘗試、集體交流互動中，把多種表征融會貫通，并以直觀、排版清晰的板書統領整節課。如下圖：

縱向聯結多種表征，可以為學生初步建立一個意義豐富的核心知識的認知單元，在這個認知單元的基礎上，再學習其他的計算內容可以正向遷移，從而不必再進行認知的重構。對于學生的后續學習具有長期的意義。

計算教學中，多元表征能夠幫助學生從具體到抽象地認識運算的本質。學生嘗試表征，嘗試分享自己的表征信息的同時，也促成了自我反思、自我調整，在互相學習、自我內化的過程中完善自己的內部表征，從而有效地把握計算學習的關系結構模式。多元表征所產生的形象直觀的思維方式和簡潔有效的思維結構，使得學生在學習新的同類型知識時，能夠快速地激活原有的知識塊，提高學習效率。