循深度建構之理展高效課堂之魅

孫惠惠

建構主義認為，學習過程中，教師要積極了解學生真實的思考情況，注意學生的學習過程，并將這一實際情況作為教學的實際出發(fā)點，為學生學習活動提供一個良好的環(huán)境。建構的過程不是一蹴而就的，在整個過程中，需要組織活動對學習對象進行充分了解；需要運用確切的詞匯表達對數(shù)學知識結構的相異看法；需要異中求同與同中求異，通過辨析、溝通、建立聯(lián)系，凸顯本質，摒棄非本質，形成總體看法，進行思考活動。

一、善用表征策略，促進深度建構

學生的學習遵循兩條基本原則：一是知識的發(fā)展序列，二是學生的學習特點。教師基于這兩條原則，善用表征策略，了解學生在學習過程中的真實想法，從中發(fā)現(xiàn)學習推進的介入點，實施針對性的引導和幫助，是實現(xiàn)深度建構的關鍵。

1.有序表征知識結構，循序抽象巧建構。

兒童的表征能力依賴于學習數(shù)學過程中的經(jīng)驗積累，表征既是數(shù)學的一部分，又是理解數(shù)學的手段。在教學設計中，遵循知識本體的結構，呈現(xiàn)知識在不同學習階段的表征，能幫助學生借助直觀形象素材，形成有序聯(lián)結的知識體系。

教學中，教師分別引導學生在實物、圖形、符號的情境下體驗2倍的形成過程（見圖1），要求觀察圖形表征，并用語言表征的形式予以表達。同時，教師積極引導學生對不同的表征進行比較，“這些圖中的形狀、個數(shù)都不一樣，但為什么我們說第二行的個數(shù)都是第一行的2倍呢？”引導學生發(fā)現(xiàn)，不管第一行擺幾個，只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份，第二行的數(shù)量就是第一行的2倍。

圖1 “2倍”知識形成序列圖

在這一過程中，圖形表征為學生的表達提供了直觀模型；符號表征避免了冗長繁瑣的敘述，同時又彌補和超越了圖形語言的局限性，使思維得以準確清晰地進行；文字表征有利于對數(shù)學對象的意義與內涵進行概括和提煉，使學生能夠在運用確切的詞匯表達對數(shù)學知識結構看法的過程中，實現(xiàn)對知識的有效建構。

2.分層表征思維水平，因生制宜巧建構。

在班級授課制的環(huán)境下，班級中的學生有不同的學習水平，合理運用表征能清晰呈現(xiàn)學生的思維水平差異，有助于教師更好地引導學生學習，讓每一位學生在原有學習起點上獲得發(fā)展。

某位教師在執(zhí)教《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》一課中出示了這樣一道題：“為了參加達標運動會，王鵬同學給自己制定了一個鍛煉的計劃：“我計劃4周跑步22.4千米，平均每周應跑多少千米？”學生列出算式后教師繼續(xù)追問“22.4÷4大約等于多少呢？你覺得可以怎么算？把你想到的方法寫在這張紙上?！睂W生獨立思考后呈現(xiàn)幾種典型的思維過程（見圖 2）。

圖2 22.4÷4學生解答過程圖例

學生在呈現(xiàn)并交流了計算22.4÷4的多種表征后，在此基礎上，教師進一步引導學生對這幾種表征進行比較，尋找它們之間的聯(lián)系。學生不難發(fā)現(xiàn)方法之間是有聯(lián)系的，比較生1和生2的方法后發(fā)現(xiàn)，都是把小數(shù)轉化成整數(shù)除法來計算的，計算的時候可以先擴大10倍也可以先擴大1000倍，只要計算后能縮小相應的倍數(shù)都能有效解決問題；比較生3和生4的方法后發(fā)現(xiàn)，用豎式計算小數(shù)除法的算理就是分步求商再求和的過程，都是先算20÷4，再算 2.4÷4，最后合起來。比較生4和生5的方法后發(fā)現(xiàn)，爭議聚焦在22.4-20的余數(shù)在豎式中應該記為24還是2.4，在學生的原生態(tài)表征中明確地揭示了這個知識的學習難點，通過討論“這里的24表示什么”學生理解到這個小數(shù)點不管點還是不點，2還是在（個位），4還是在（十分位），它們的數(shù)位沒有變，這里的24還是表示24個十分之一，所以這里的小數(shù)點通常省略不寫，也就是說這兩種想法其實是一樣的。

通過暴露學生不同層次的相異構想，并將這些不同水平層次的思維作為資源提供給學生交流與溝通，不僅使學生對22.4除以4的算理理解更加透徹，而且更重要的是培養(yǎng)了學生用聯(lián)系的觀點看待問題，發(fā)展學生的思維能力，實現(xiàn)了深度建構。

二、巧用對比策略，促進深度建構

對比作為一種數(shù)學教學策略，能有效溝通知識的聯(lián)系，挖掘知識的內涵，辨析方法的優(yōu)劣，實現(xiàn)數(shù)學的效用，從而提升教學實效。

1.精細對比相鄰結構，逐層歸納巧建構。

三角形的面積計算公式有多種推導方法，學生常用的方法有拼組法和割補法。雖然推導的方式途徑眾多（見圖3），但涉及銳角、鈍角、直角，每類角又有不同的割補和拼組方法，在歸納中往往容易顧此失彼，不能直擊問題本質，這個問題該如何解決呢？一位教師在教學中采用了問題梳理的方式，通過兩個問題的連續(xù)追問，幫助學生逐層分類比較，深刻直擊問題本源。

圖3 三角形面積公式推導示意圖

第一個問題是觀察銳角三角形的三種推導方法，分析為什么都要除以2？學生經(jīng)過逐類觀察發(fā)現(xiàn)，方法一：除以2是指面積擴大兩倍后再縮小兩倍；方法二：除以2是指割補后，高是原來的一半；方法三：除以2是指割補后底是原來的一半?；貧w具體情境進行解讀分析，有助于讓學生清晰地感知到，雖然都是除以2，但操作過程和方法是不同的，更好地進行歸納提煉。

第二個問題是為什么三角形種類不同，卻都可以用“底×高÷2”的方法來進行計算？學生通過討論后發(fā)現(xiàn)，不管是什么類型的三角形，如果用方法一，除以2都是指等底等高的平行四邊形面積的一半；如果用方法二，除以2都是指高的一半；如果用方法三，除以2都是指底的一半。

知識的形成過程中會產(chǎn)生本質特征和非本質特征，本質特征有時內隱，非本質特征通常外顯，學生認識能力不同，其在觀察中的表征能力也不同。教學中，通過對這些相鄰結構的對比分析，有助于學生更好地把握知識的本質特征，豐富問題解決的視角、優(yōu)化問題解決的方法。

2．多元對比相異構想，分類梳理巧建構。

學生的每一個想法，都是一份不可多得的教學資源。一年級問題解決中有這樣一道題：“從左邊數(shù)起，小軍排第三個；從右邊數(shù)起，小強排第六個，這排隊伍一共有多少人？”學生交流后呈現(xiàn)以下三種情況。

排隊問題學生算式解法匯總表

三種方法都解決了問題，但從其表征中暴露了他們的思維過程，三位學生的水平層次不一。解法一的學生，能用算式解決問題，但問題的結構被理解成“藏起來的部分+看得見的部分”，問題雖然解決了，但是題目中提供的信息“小軍排第三，小強排第六”沒有在算式中體現(xiàn)，這兩個信息僅作一個線索，成為了問題分析的基礎。解法二的學生問題結構意識較為清楚，畫圖分解的結構與問題信息完全匹配，合理利用信息分解圖像，利用分解圖像更清楚地顯示問題結構，數(shù)形結合得當。解法三的學生，思維靈活邏輯性強，已經(jīng)有了初步的一一對應意識和集合意識，運用了一個已知信息和一個分析過程中得到的信息寫出了算式，方法最為簡單。

在表征和計算之后，通過對話交流的方式讓思維的每一個步驟都有相應的數(shù)學表達方式與之對應，可以避免學生盲目解答和胡亂湊數(shù)情況的產(chǎn)生。通過三種不同表征方式的比較，學生對于基數(shù)、序數(shù)的知識要點有了更深入的理解，并且能根據(jù)自己的實際學習能力選擇合適的方式表達自己的數(shù)學想法，不僅實現(xiàn)了知識的深度建構，并且為同類問題的解決積累了方法和策略，為學習力的持續(xù)提升奠定了基礎。