基于滑模控制理論的前向追蹤制導律研究*

李之翰 王 琦 劉 陽 吳健健

南昌航空大學，南昌 330063

高超聲速目標的攔截，對攔截器的攔截范圍以及制導精度都提出了更高要求，而使用傳統的比例導引法等方法攔截高超聲速目標，難以達到制導精度要求，或成本過高。

為克服這些困難，Golan O M等人[1-2]提出了一種前向攔截的思想，即通過事先機動將攔截導彈置于目標前方的預測飛行彈道上，且飛行方向與其保持一致，由于攔截導彈具有較低的飛行速度，目標接近導彈，從而實現目標的攔截。該攔截方式將攔截器速度大于目標速度轉化為攔截器速度小于目標速度，降低了攔截器的能量需求，從而降低控制難度和攔截成本。為研究空-空攔截器制導策略的導引品質，有必要研究前向追蹤攔截方式的三維制導算法。張友安等[3]建立了迎面攔截三維模型，該模型中攔截器與目標對向運動，與前向追蹤攔截有較大不同。文獻[4]基于比例導引設計三維制導律，但他的制導律是建立在彈道線性化基礎上，且比例導引的局限性大。趙振昊[5]基于準平行接近原理[6]設計制導律，他的制導律只需保持視線角為常數，不要求攔截器與目標速度方向一致，因此該制導律不僅僅適用于前向攔截。但是該制導律針對大機動目標的攔截所需過載較大，且制導末期視線角速度易發散。文獻[7]運用輔助圓設計制導律算法，讓攔截器沿輔助圓飛行進行攔截，文獻[8]將神經網絡PID控制應用于高超聲速飛行器，這2種方法簡單有效，但對目標機動沒有很好的適應性。由于變結構控制對系統內部的參數攝動和外部擾動具有良好的魯棒性，而被廣泛運用于制導律的設計。文獻[9]將變結構控制用于高超聲速飛行器。文獻[10-13]用變結構控制理論和模糊控制理論解決導彈等飛行器的攔截問題，取得了一定成果。文獻[14]運用高階滑模控制方法，有效抑制了抖動。文獻[15]將滑模控制方法用于高超聲速飛行器縱向軌跡研究。

通過建立前向追蹤攔截模型，根據前向追蹤攔截的限制條件，結合比例導引的優勢，利用變結構控制對干擾具有自適應的特點，設計了一種滑模制導律。該制導律采用了控制攔截器與目標高度角成比例的思想，將低速攔截器始終控制在高速目標之前，具有很好的魯棒性。同時，根據實際情況，攔截過程中目標通常是機動的，在目標5g機動的情況下進行仿真，驗證制導律的精度。

1 前向追蹤攔截模型

該數學模型為三自由度模型，將目標和攔截器視為質點，不考慮姿態變化；目標和攔截器的加速度矢量視為與速度矢量垂直，即法向加速度，加速度只改變速度方向，不改變速度大小。圖1為彈目相對運動圖，T和M分別表示目標和攔截器；xiyizi表示慣性坐標系；xlylzl表示視線坐標系；r為二者相對距離；vt和vm表示速度矢量；at和am表示加速度矢量；θ1和θ2分別表示視線傾角和視線偏角；α1和α2表示vt與視線的夾角；β1和β2表示vm與視線的夾角。通過圖1可推導出前向追蹤攔截的三維運動學和動力學方程，得到各相關參數的表達式。

圖1 彈目相對運動

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，aty和atz分別表示at在縱向通道和側向通道的投影;amy和amz分別表示am在縱向通道和側向通道的投影。

采用前向追蹤攔截方式，要求攔截器速度小于目標速度，即|vm|/|vt|<1。

想要成功攔截目標，不僅要求在攔截處|r|→0，也要求目標和攔截器運動方向一致。即

(8)

(9)

導引的目的是達到式(8)和(9)要求的攔截點，在這一過程中，要求α和β成比例，即

β1=N1α1

(10)

β2=N2α2

(11)

其中，N1和N2是導引系數。這樣就保證了β隨α減小，使攔截器運動到目標前方，達到前向攔截的目的。

2 制導律設計

為達到式(8)和(9)要求的攔截點，本文根據滑模變結構控制理論，將攔截器的機動加速度amy和amz作為制導律進行設計。

導彈攔截系統是一種強耦合非線性系統，考慮如下非線性系統：

(12)

式中，X∈Rn為系統狀態量;U(t)∈R為控制量;W(t)∈R為系統不確定項，即干擾項。假設不確定項W(t)有界，且滿足0≤|W(t)|≤b。

根據滑模控制理論，設計滑模面為：

S=CX

(13)

其中，C∈R1×n為定常的，且Cg1(X,t)≠0。

Cg2(X,t)W(t)

(14)

根據文獻[16]中設計的制導律，加以改進，得到如下制導律：

U(t)=Ueq+Us+Un

(15)

其中，

Ueq=-[Cg1(X,t)]-1[Cf(X,t)]

(16)

Us=-[Cg1(X,t)]-1Ksign(S)

(17)

(18)

式中，Ueq為等效控制項;Us為比例導引項，且為非負定;Un為不確定部分控制項。

定義Lyapunov函數:

(19)

而

(20)

從而有

(21)

由上式可知，設計的滑模面滿足Lyapunov穩定性定理，從理論上驗證了制導律的可行性。

1)縱向通道

根據式(10)的限制條件，設計滑模面為：

S1=β1-N1α1

(22)

取系統狀態量X=[r,β1,α1]T，控制量U(t)=amy，干擾量W(t)=aty，得狀態方程：

(23)

其中：

f1=vmcosβ1cosβ2-vtcosα1cosα2

(24)

(25)

(26)

從而，

Ueq=-vm(f2-N1f3)

(27)

Us=-vmK2sign(S1)

(28)

(29)

可得縱向通道制導律：

(30)

2)側向通道

與縱向通道制導律設計方法同理，根據式(11)的限制條件，設計滑模面：

S2=β2-N2α2

(31)

取系統狀態量X=[r,β2,α2]T，控制量U(t)=amz，干擾量W(t)=atz，得狀態方程：

(32)

其中：

h1=vmcosβ1cosβ2-vtcosα1cosα2

(33)

(34)

(35)

可得側向通道制導律：

(36)

為降低抖振對滑模運動過程的影響，可以用飽和函數sat(Si)代替符號函數sign(Si)：

(37)

得到改進后的制導律：

(38)

(39)

3 仿真結果

根據實際情況，設計的制導律應當能夠攔截機動目標。在仿真過程中先讓目標定速平直飛行；經過60s后給目標添加法向加速度，機動時間40s，前20s法向加速度為3g，后20s法向加速度為5g，2次機動方向相反；機動結束后，目標繼續定速平直飛行。本文利用上述制導律進行攔截，分析其導引品質，對目標非機動與機動2種情況下的仿真結果進行了對比。

設置初始條件：vt=1700m/s，vm=1360m/s，N1=N2=2，b1=b2=100，目標初始坐標(0,20000,0)m，攔截器初始坐標(50000,10000,15000)m，許用過載為20g。本文攔截器發射方式為水平發射，只考慮攔截器定速飛行的情況。

從圖2和3可以看出，目標非機動時，攔截軌跡很理想，攔截器在141.52s時成功攔截目標；目標機動時，攔截器能夠隨目標機動而機動，在末端制導中攔截器與目標運行軌跡逐漸重合，最終在127.49s時成功攔截目標。

從圖4和5可以看出，過載最大值為17g，未超過許用過載，符合實際要求。攔截器在發射點達到最大過載，隨后迅速降至0附近，之后過載隨目標機動而變化，最終趨于0。

圖2 相對運動軌跡(目標非機動)

圖3 相對運動軌跡(目標機動)

圖4 法向過載(目標非機動)

圖5 法向過載(目標機動)

圖6 α和β(目標非機動)

圖7 α和β(目標機動)

圖6和7顯示的是速度與視線夾角α和β的變化趨勢，可以看出，α和β是成比例變化的，最終都趨于0。

圖8和9顯示的是視線角的變化，θ1是縱向通道的視線角，θ2是側向通道的視線角。圖8說明，目標非機動時，視線角隨時間遞增，但其變化率逐漸減小，最終視線角趨于定值；圖9說明，目標開始機動后，視線角迅速增大又迅速減小，目標結束機動，視線角變化率減小，視線角最終趨于定值。

圖8 視線角(目標非機動)

4 結論

通過分析前向追蹤攔截過程的特性，建立前向追蹤攔截三維運動模型，基于滑模控制理論設計制導律，對攔截過程進行了仿真。仿真結果表明，該方法能夠讓低速攔截器成功攔截高速目標，且目標機動時攔截器能自適應改變運動軌跡，一定程度上解決了比例導引法存在的控制難度大、制導精度不高的問題；本制導律對加速度干擾具有較強的魯棒性，適用于對高超聲速目標的攔截；通過估計目標的機動加速度，證明了其也適用于對復雜機動目標的攔截。