2019年全國Ⅰ卷理科數學第16題的解法探究

摘?要：賞析2019年高考數學全國Ⅰ卷理科第16題的七種解法，探究思維能力在高考數學中的重要性.

關鍵詞：高考題;賞析;思維能力

基金項目：甘肅省教育科學“十二五”規劃2013年度“新課改理念下高三數學復習高效策略研究”課題（項目編號：GS[2013]GHB0771）.

作者簡介：羅彩霞（1978-），女，甘肅民勤人，本科，中學一級教師，研究方向：高中數學教育教學.

高考數學試題特別強調能力立意，尤其是思維能力，因此我們應重視概念，回歸教材，克服“輕概念、重訓練”的現象，著力培養考生的思維能力，引導中學數學教學從“題型+技巧+訓練”走向“概念+構建+思維”，逐步提高考生的思維能力.

2019年高考數學全國Ⅰ卷理科數學第16題，主要考查雙曲線的幾何性質、平面向量的線性運算、數量積等相關知識，考查考生的化歸與轉化能力、邏輯思維能力、運算求解能力及應用意識，考查的核心素養是邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算等，是一道區分度高，考查考生思維能力的一道好題.

1?試題呈現

題目?（2019年全國Ⅰ卷理科數學第16題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若F1A=AB，F1B·F2B=0，則C的離心率為.

2?試題解析

分析?此題取材樸實，題干清晰，形式常見，但題中內涵豐富，字母較多，需考生冷靜思考、琢磨，充分發揮觀察力與想象力，為此先畫草圖，再結合求解離心率的通法：利用平面圖形的幾何等量關系以及圓錐曲線的定義、性質，想方設法找到關于a，b，c的一個等式，化簡即可求解.

解法1?如圖1所示，F1A=AB，F1B·F2B=0，所以OA⊥F1B.所以F1B：y=ab（x+c）.

聯立y=ab（x+c），y=bax，解得Ba2cb2-a2，abcb2-a2.

則OB2=a4c2（b2-a2）2+a2b2c2（b2-a2）2=c2.

整理得，b2=3a2，即4a2=c2，c=2a.

所以e=ca=2.

解法2?因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

如圖1所示，OB=OF1=c，所以∠BF1O=∠F1BO.所以∠BOF2=2∠BF1O.

因為F1A=AB，所以點A為線段F1B的中點.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OA//F2B.

所以F1B⊥OA.

因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O=ab，tan∠BOF2=ba.

又因為tan∠BOF2=tan2∠BF1O，所以ba=2×ab1-ab2.

所以b2=3a2，即c2-a2=3a2，2a=c.

所以雙曲線的離心率e=ca=2.

解法3?因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

如圖1所示，由直角三角形性質知，OB=OF2，所以∠OBF2=∠OF2B.

又F1A=AB，所以A為線段F1B的中點.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OA//F2B.

所以∠F1OA=∠OF2B.

又根據漸近線OA與OB的斜率互為相反數知，∠F1OA=∠BOF2，所以ΔOBF2為正三角形.

由F2（c，0）可得Bc2，3c2.

因為點B在漸近線y=bax上，所以3c2=ba·c2.

所以ba=3.

所以e=ca=1+b2a2=2.

解法4?雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±bax.

因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

所以點B在⊙O：x2+y2=c2上.

如圖2，不妨設點B在第一象限，由y=bax，x2+y2=c2，a2+b2=c2，x>0，得點B（a，b）.

因為F1A=AB，所以點A為線段F1B的中點.

所以Aa-c2，b2，將其代入y=-bax得c=2a，故離心率e=ca=2.

解法5?雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±bax，如圖3所示，由F1A=AB知點A為線段F1B的中點.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OA//F2B.

因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

所以OB=OF2.

所以∠OBF2=∠OF2B.

又因為OA//F2B，所以∠F1OA=∠OF2B.

因為∠BOF2=∠AOF1，所以∠BOF2=∠OF2B.

所以ΔOBF2為正三角形，可知ba=tan60°=3.

所以e=ca=1+b2a2=2.

解法6?雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±bax，如圖4所示，設∠AOy=α，則∠BOy=α.

因為F1A=AB，所以點A為線段F1B的中點.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OA//F2B.

所以∠OBF2=2α.

過點B作BH⊥OF2，垂足為點H，則BH//y軸.

則有∠OBH=α，所以∠HBF2=α.

易得ΔOBH≌F2BH，所以OB=BF2.

因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OB=OF2=c，所以ΔOBF2為正三角形.

所以ba=tan60o=3.

所以e=ca=1+b2a2=2.

解法7?如圖5所示，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±bax，即kOA=-kOB.

所以∠F1OA=∠F2OB=α.

又因為F1A=AB，所以點A為線段F1B的中點.

又因為O為線段F1F2的中點，所以OA//F2B.

因為F1B·F2B=0，所以F1B⊥F2B.

所以OA⊥F1B.

所以RtΔF1AO≌RtΔBAO.

所以∠BOA=∠F1OA=α.

由此得到3α=180°，α=60°，即kOB=ba=tan60°=3，即b=3a，平方得c=2a，即e=ca=2.

可見，不同視角，殊途同歸，立足基礎，注重思維，應用數形結合、等價轉化等數學思想，解決此類問題就是信手拈來、甕中捉鱉.

參考文獻：

[1]杜志建.金考卷特快專遞2019年全國各省市高考試題匯編[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2019.

[2]何紅燕.探究一道三角函數創新題的六種解法[J].數理化學習（高中版），2019（05）：37-39.

（收稿日期：2019-09-06）