解析幾何綜合題的快速解題研究

摘?要：“直線與圓錐曲線的位置關系”是高中數學解析幾何的重要內容，此部分內容的特點是思維量與運算量大，對學生的能力要求很高.本文著重解決“直線與橢圓位置關系”?“直線與雙曲線位置關系”問題，把它們整合起來，形成模型.與傳統做法相比，此優化創新有兩個方面的優勢：一是提高學生解題速度;二是保障學生解題的準確性.

關鍵詞：解析幾何;綜合題;快速解題

作者簡介：劉坤成（1968-），男，湖北恩施人，本科，高級教師，研究方向：數學教育與數學創新應用.

“直線與圓錐曲線位置關系”是高中數學解析幾何的重要內容，特別是“直線與橢圓或雙曲線位置關系”是高考的重要考點，也是學生最怕的知識點.特別是此部分內容運算量大，運算能力稍差的學生一般都算錯，每次考試該題得分率都很低，久而久之學生就會懼怕此題.

對于“直線與圓錐曲線位置關系”問題，傳統的解題模型是以“聯立方程組，消元化為一元二次方程，韋達定理代換”為基石，然后結合“判別式”，解決常見的十個方面的問題.其中，直線與橢圓有兩個模型（焦點在不同坐標軸上）、直線與雙曲線有兩個模型（焦點在不同坐標軸上），這四個模型是解決問題的基石，但是這四個模型規律性不強，容易混淆，不易掌握.為了解決這個問題，提高學生解題速度與準確性，本人通過研究與實踐，把上面四個模型整合成為一個模型，便于掌握，可使得學生解答此題時既快又準，不易出錯.更為關鍵的是減輕了學生的負擔.

1?直線與圓錐曲線位置關系的整合模型介紹

直線用標準式Ax+By+C=0，橢圓與雙曲線合二為一也寫成標準式x2a2±y2b2=1.整合后的模型總共包含以下三個方面內容.

1.1?直線Ax+By+C=0與x2a2±y2b2=1的位置關系及其判定

1.2?直線Ax+By+C=0與x2a2±y2b2=1交于兩點M（x1，y1），N（x2，y2）的模型

1.3?最值快解模型

對于弦長公式，有變形

MN=A2+B22aba2A2+b2B2-C2a2A2+b2B2-C2+C2=2abA2+B2tt+C2.

對于橢圓（設中心為點O），任意直線與橢圓交于兩點M，N，則ΔOMN的面積的最大值為定值ab2，即

SΔOMN=12MN·d=abCa2A2+b2B2-C2a2A2+b2B2-C2+C2=abCtt+C2≤ab2.

上面就是相關的模型介紹，這是解決“直線與橢圓或雙曲線位置關系”問題的基石.

2?直線與圓錐曲線位置關系的整合模型的釋義與掌握方法

提出“判定式”概念.在“直線與橢圓位置關系問題”中把t=a2A2+b2B2-C2稱為判定式，用于判定直線Ax+By+C=0與橢圓x2a2+y2b2=1的位置關系;在“直線與雙曲線問題”中把t=-a2A2+b2B2+C2稱為判定式，用于判定直線Ax+By+C=0與雙曲線x2a2-y2b2=1的位置關系.

把“直線與橢圓交于兩點問題”與“直線與雙曲線交于兩點問題”整合成為一個問題，使韋達定理結論x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2以及其他如x1y2+x2y1，x1y2-x2y1，弦長公式等全部公式化，成為一項實用性強的成果.

不要看上面的式子復雜，其實規律性極強，容易掌握，極易記憶.

其中一部分式子是優美的對稱式，體現了數學的對稱美，比如橢圓的判定式t=a2A2+b2B2-C2與x1y2+x2y1=2a2b2ABa2A2+b2B2.

對于其他式子，則用遞進的方法掌握.觀察“直線與橢圓交于兩點問題”的式子，它們的分母全部一樣，對稱、優美，易于掌握.對于分子，從整體上只需先掌握“直線與橢圓交于兩點問題”的兩個式子x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2與x1x2=a2C2-a2b2B2a2A2+b2B2，掌握這兩個以后，式子y1+y2，y1y2只需在上面的兩個式子基礎上變換——同時交換A與B，a與b即可.

對于“直線與雙曲線交于兩點問題”的式子x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2只需把“直線與橢圓交于兩點問題”的式子x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2進行變換——把對應的b2換成-b2即可.

弦長公式稍難一點.

學生掌握了公式，就可以直接代公式，減少運算出錯，這就解決了大多數學生運算錯誤問題，還提高了解題速度與解題準確性.

3?直線與圓錐曲線位置關系的整合模型的實踐論證

“實踐是檢驗真理的唯一標準”，這個整合結論是否有提高學生運算速度、運算準確度的效果，必須用事實說話.試驗所有內容、數據如下.

實踐設計?讓學生做同一個題，但用不同的方法，比較解題時間與準確性.

實踐方法?把學生隨機分為兩組，分別用傳統方法（即目前教材及所有高中復習資料的方法）和上面整合后的模型方法來做，比較做題的時間與準確性.

試題設計?已知橢圓x29+y24=1.

（1）過點（0，5）的直線與橢圓交于兩點M，N，求直線斜率的取值范圍;

（2）過點（0，5）的直線與橢圓交于兩點M，N，求ΔOMN的面積的最大值，其中O是坐標原點.

實驗數據?每小問賦分12分.

實踐結論

用整合方法的學生解題時間短而得分高，用傳統方法的學生解題時間長而得分低，這說明整合后的方法比傳統方法要快、準.同時要說明的是，題目越復雜，此模型的效果越好，比如，過點（4，5）的直線與橢圓x213+y27=1交于兩點M，N，求直線斜率的取值范圍.用傳統方法運算量特別大，極易算錯，而用模型就不存在這個問題.

通過實踐以及在班級應用，證明此模型有極大的優越性：適用于基礎中等與基礎差的學生（也就是絕大部分學生），一是解題速度提高了;二是運算錯誤沒有了.對于基礎特好的學生，可以不用此方法.

從快速解題與準確性來說，此模型具有很大的推廣價值.

4?反思

從教育上來說，學生雖然解題速度提高了，運算的準確性也提高了，但是，學生的運算能力沒有提高.這里只能說提高的是學生的建模思維.

也許有專家問，你既然沒有提高學生運算能力，那么建立模型還有意義嗎？

對此問題，這里要思考的是：高中階段解析幾何的運算在過去、現在、將來到底有什么作用？絕大部分學生除了應試，有其他作用嗎？事實是，至少百分之九十五以上的學生在過去、現在、將來根本不起作用.所以，不管怎么說，對于基礎中等與基礎差的學生（也就是絕大部分學生），解題速度、運算準確性提高了，就是減輕了學生的負擔，就是成功的.

參考文獻：

[1]劉坤成.高中數學基本模型[M].武漢：湖北人民出版社，2012.

[2]劉坤成.中學數學精華[M].北京：九州出版社，2015.

（收稿日期：2019-07-25）