高考題怎么改編（八）
——直線與圓篇

蘇 玖

一、真題展現

（2018年全國三卷第6題）在平面直角坐標系xOy中，直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2上，則△APB面積的取值范圍是（ ）

A．［2，6］ B．［4，8］

二、思維延伸

本題實質是考查點到直線的距離公式及圓的方程運用，給出三種不同的思路，其中幾何直觀法與動態觀點，較簡潔明了．如果改為點P在橢圓上運動，又會有什么樣的結果呢？

（改編1）在平面直角坐標系x Oy中，已知直線x+y+4=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在橢圓上，則△APB面積的取值范圍是______．

如果把橢圓的方程換為拋物線的方程，又可以改編為：

（改編2）在平面直角坐標系x Oy中，已知直線x-y+2=0分別與x軸，y軸交于點A，B，動點P在拋物線y2=x上運動，則△PAB的面積的取值范圍為______．

如果再改變曲線形狀可以改編為：

（改編3）在平面直角坐標系x Oy中，已知直線l：3x+4y+12=0分別與x軸，y軸交于點A，B，動點P在曲線2|x-2|+|y-1|=2所圍成的平面區域Ω（包含邊界）上運動，則△PAB的面積的取值范圍為______．

上述三道改編題都是直線與兩坐標軸交點間的線段作為三角形的底邊，如果將與兩坐標軸的交點改為與圓，點P所在曲線再改變，又可以得到：

（改編4）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2x-y+4=0與圓（x+1）2+y2=4交于點A，B，動點P在曲線y=ln x上運動，則△PAB的面積的取值范圍為______．

前面幾道題中的曲線都是確定的，如果動點P所在曲線是變化的，又可以改編為：

但此時將△PAB的形狀改為四邊形，于是有：

（改編6）在平面直角坐標系x Oy中，已知傾斜角為60°的直線l過點且與圓O：x2+y2=9交于點A，C，圓O上的動點B，D分布在直線l的兩側，求四邊形ABCD面積的最大值．

如果直線l和點P都在變化，問題就可以改為：

（改編7）在平面直角坐標系x Oy中，已知AB是圓O：x2+y2=4的任意一條直徑，動點P在圓C：（x-3）2+（y-4）2=1上運動，求△PAB面積S的最大值．

三、點撥解析

原題解析：思路一（三角代換法）設點點P到直線AB的距離為d=因此而AB=于是故選A．

思路二（幾何直觀）由于線段AB是定值，要求△APB面積的取值范圍，只要求點P到直線AB的距離d的取值范圍，圓心到直線的距離為由圓的幾何直觀圖形知，d0-r≤d≤d0+r，即因此△APB面積的取值范圍為［2，6］．

思路三（動態觀點）作動直線l：x+y+t=0，使其與圓相切，于是有圓心到直線l的距離等于半徑，即即t=0或t=-4，點P到直線AB的距離d介于兩條切線分別與原直線之間的距離之間，即

改編1解析：由于曲線方程改變了，因此本題只能有兩種較簡潔且常規的思路，幾何直觀的方法還是較好的．

思路二（幾何直觀——平行線移動法），作動直線l：x+y+t=0，令其與橢圓相切，于是代入橢圓方程，化成關于x的一元二次方程4x2+6tx+3t2-3=0，判別式Δ=0，化簡為t=±2．因此這兩條切線l：x+y±2=0與原來直線的距離分別為所以△APB的取值范圍是4≤S≤12．

改編2解析：思路一（函數觀點）設點P（y2，y）（y∈R），因此點P到直線AB的距離于是所以△PAB的面積故△PAB的面積的取值范圍為

思路二（幾何直觀——平行線移動法）作與已知直線平行的動直線l：x-y+t=0，令其與拋物線相切，將兩個方程聯立，化簡為y2-y+t=0，令判別式Δ=0，得因此切線方程為由兩條平行線之間距離公式得所以△PAB的面積的取值范圍為

本題中點P的坐標可以用一個量表示，從而建立了關于縱坐標的二次函數，再利用配方法求出最小值，但無最大值，這是因為圓和橢圓都是封閉圖形，而拋物線與雙曲線都是開放型圖形，本題y的取值范圍是一切實數．

改編3解析：平面區域Ω是由菱形所圍成的，如果建立函數關系式較復雜，但從幾何直觀出發，利用平行線移動法再結合線性規劃進行求解則較簡單．容易求出AB=5，而菱形的四條邊所在直線是由曲線1向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度而得到的，于是四個頂點分別為E（1，1），F（2，-1），M（3，1），N（2，3）．作動直線m：3x+4y+t=0，當動直線m經過點E（1，1）和M（3，1）時，對應直線分別為m1：3x+4y-7=0和m2：3x+4y-13=0，它們與直線l的距離分別為因此，平面區域Ω上的點P到直線AB的距離d∈所以，三角形的面積S的取值范圍是

本題中的點P的坐標的制約條件是不等式，因此建立函數比較困難．我們從圖形結構上考慮，利用平行線移動法使問題更加簡潔，這種解法依據兩條平行線間距離公式，實質還是點到直線距離公式的應用．

改編4解析：先利用直線與圓的位置關系，求出圓心到直線的距離于是得弦AB的長為再求點P（x，ln x）到直線距離d0的最值，建立目標函數d0=設f（x）=2xln x+4，于是令f′（x）=0，得討論可知，當時f（x）有最小值5+ln 2，所以故△PAB的面積

思路二（幾何直觀——平行線移動法）因為線段AB的長度為定值于是只要求點P到直線AB距離的取值范圍即可．將直線l：2x-y+4=0平移到與曲線y=ln x相切時距離最短，此時面積有最小值，設切點為T（x0，y0），因此切線的斜率為f′（x0）=2，得即切點為所以點P到直線l的距離故△PAB的面積

改編5解析：先求出線段AB的長度為2，圓心C到直線l的距離為d0=點P到直線l距離d的取值范圍為［d0-r，d0+r］，因此△PAB的面積的取值范圍為［d0-r，d0+r］，所以且d0+解之得

本題應該注意圓心C與直線l是相離的，因此有隱含條件d0＞r，即所以應該檢驗才可以．如果直線l與圓有公共點，那么當點P取到公共點時，點P與AB就不能組成三角形，因此必須檢驗．

改編6解析：思路一：直線l的方程為求出弦長設B，D到直線l的距離分別為d1，d2，于是四邊形ABCD的面積為只要求d1+d2的最大值即可．設圓上的點P（3cosθ，3sinθ）（代表B，D兩點），點P到直線l的距離為d=當時，當時，因此（d1+d2）max=6，所以

思路二：利用幾何直觀可以看出d1+d2的最大值就是圓的直徑，事實上，用平行線移動法，作與直線l平行的圓的切線m：y=圓心到直線m的距離為由相切知，即t=±2r，這樣兩條切線之間的距離為于是證明了d1+d2的最大值為2r．

本題思路一是函數思想與參數方法，利用三角函數的有界性，很快求出d1，d2的最大值；思路二從幾何直觀出發，利用數形結合思想證明了d1+d2的最大值為2r，即為圓的直徑．

改編7解析：本題如果建立目標函數求解是很困難的一件事情，那么必須將求解問題策略轉化為用幾何直觀的觀點求解．由于AB=4，于是只要求點P到AB距離d的最大值即可．先固定點P，直徑繞原點O旋轉，過點P作直線AB的垂線，垂足為H，因此P H≤PO，即當PO⊥AB時，P H的最大值為PO，于是問題轉化為求原點O到圓C上點的距離最大值．再利用幾何直觀可得PO≤CO+r，當且僅當點P是OC的延長線與圓C的交點時等號成立，所以（OC+r）=2×（5+1）=12，故Smax=12．

四、回顧悟道

這組高考改編題屬于動態問題，改編的想法：一是改變三角形中部分或全部頂點的位置，使其由靜態變為動態，如改編7；二是當一邊確定，只要改變頂三個點（動點）所在曲線的形狀，如改編1～4；三是改變結論，如改編5，由三角形的面積范圍求曲線的方程；四是改變三角形的形狀，如改編6，將三角形改為四邊形等等，但重點考查學生的幾何直觀想象能力，充分利用數形結合思想求解，凸顯數學核心素養中的數學抽象、直觀想象、推理證明等．當目標函數困難時，應該學會如何思考，怎樣改變求解思路等等．

五、小試牛刀

（2018年北京卷第7題）在平面直角坐標系x Oy中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x-my-2=0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（改編1）___________________________．

（改編2）__________________________．

提示：改變點P所在的曲線方程，如圓改編為橢圓、菱形、正方形等；或者改變動直線方程，如動直線所經過的定點變為（1，2）；也可以已知d的最大值確定曲線方程，如圓變為待定的圓（半徑待定），而已知最大值為4等．

答案與解析

原題：答 案故選C．

另法：數形結合法．點P是圓x2+y2=1上的動點，而動直線x-my-2=0過定點M（2，0），作PQ⊥直線l，垂足為Q，因此d≤OQ+r，而OQ≤OM，所以d≤OM+r=2+1=3．故選C．

（改編1）在平面直角坐標系x Oy中，記d為點P（r cosθ，r sinθ）（r＞0）到直線x-my+4=0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為6，則r的值為_________．

解析：由幾何直觀知，dmax=r+4，即6=r+4，因此r=2．

解析：點P在橢圓上，d =令因此再令于是（其中γ為銳角，且tanγ=2），所以