利用旋轉妙解正方形問題

黃日坤

正方形是最特殊的四邊形，具有高度的對稱性.因此，在正方形中的線段證明和計算等問題上，利用旋轉變換可巧妙地拼接圖形，使條件發生轉化，以達到化難為易的目的.現舉例如下.

例1 如圖1所示，已知E是正方形ABCD的邊長AD上一點，BF平分∠EBC交CD于F，求證：BE=AE+CF.

【分析】把△ABE繞點B順時針旋轉90°，AB與BC重合，再根據條件證明∠GBF=∠BFG可得到BG=GF，可證得結論.

證明：如圖2，將△ABE繞B點旋轉，使AB和BC重合，設△CBG是旋轉后的△ABE，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG，BE=BG，∠ABE=∠CBG.

∵BF是∠EBC的角平分線，∴∠EBF=∠FBC，∴∠ABE+∠EBF=∠GBC+∠FBC，∴∠ABF=∠FBG.

∵正方形ABCD，∴AB[?]CD，∴∠ABF=∠BFG，∴∠GBF=∠BFG，∴BG=GF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，BG=BE，∴BE=AE+CF.

【點撥】通過旋轉把AE和CF移到同一條線段上，再證明該線段與BE相等是解題的關鍵.證明線段的和差關系時主要就是截或接.

例2 如圖3，P是正方形ABCD內的一點，AP=1，PB=[2]，∠APB=135°，求PC的長.

【分析】求PC的長可通過構建直角三角形，利用勾股定理求出，但已知條件與PC不在同一三角形，必須通過旋轉作輔助線構造出包含PC與已知條件的直角三角形。

解：把△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△BMA，如圖4所示，點C的對應點與A重合，連接PM，由旋轉得：PB=BM=[2]，∠PBM=90°，PC=AM，∴∠BPM=45°，

由勾股定理得：PM=[BM2+PB2]=[2+2]=2，

∵∠APB=135°，∴∠APM=135°-45°=90°，

在Rt△APM中，AP=1，由勾股定理得：AM=[PM2+AP2=22+12]=[5]，

∴PC=AM=[5].

【點撥】本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形以及勾股定理等，解答此題的關鍵是利用旋轉構建直角三角形，再利用勾股定理求解.

小試牛刀

如圖5，正方形ABCD中，E，F為BC，CD的上點且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF.