數學課堂中的預設與生成

江蘇省運河高等師范學校 (221300)

田彥軍

新課標提出：“數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必須的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.”這要求數學課堂要更加開放和包容.課堂教學是動態的、生成的，預設和生成是否精彩是檢驗一堂好課的標準之一.

一、精彩的生成需要精心的預設

預設是進行合理的教學設計所必須的重要環節.教師必須在教學設計之前考慮學生的學情，考慮知識的前后聯系，考慮到課堂可能出現的突發狀況.這就是我們平時常說的：“備課不僅要備教材，還要備學生、備教法．”只有考慮周全，才能做到精心預設.否則，教師在課堂上就有可能因為突發狀況出現“掛黑板”的情況.為了避免尷尬的場面發生，所以每一位教師要注重預設.

案例1橢圓習題課

問題情境：當b為何值時，直線l:y=x+b與橢圓4x2+y2=4有一個交點？有兩個交點？沒有交點？(自主先學)

生1:將直線的方程和橢圓的方程聯立方程組，解方程組即可.(代數法)

教師在學生利用代數的方法解決問題后，對這種方法進行了總結，強調了解題過程的書寫規范性.

生2:能不能仿照直線與圓的位置關系，利用幾何法進行求解.(幾何法)

教師覺得學生的想法非常不錯，這是一個非常好的生成資源，決定引導學生進行探究.讓學生利用圖形，根據直線在y軸截距b的位置不同，判斷直線與橢圓的位置關系，從而求b的取值范圍.

生3：能不能利用直線上任意一點M到兩個焦點的距離與2a的大小關系進行比較，判斷直線與橢圓相切、相交、相離.

全班學生對這位同學的想法都豎起了大拇指，認為這位同學的方法實在是太好了.教師依然決定讓學生按照這位同學的方法進行探究，利用直線上任意一點M到兩個焦點的距離等于(小于、大于)2a相切(相交、相離)，求出b的取值范圍.

生4：能不能將橢圓變成圓來求解，因為橢圓是由圓壓縮得到的，所以也可以把圓還原回去.把橢圓的方程變成(x′)2+(y′)2=1，直線的方程變為y′=2x′+b，只要求新的直線與圓的位置關系即可.(此時掌聲不斷)

數學教學是教師與學生、學生與學生的思想在課堂相互交流、補充的過程，彼此分享知識和經驗的過程，是一個動態的數學學習的過程，是一個不斷生成的過程.看似生成的方法很“意外”，其實追根溯源在教材上都能找到其背景.直線與橢圓的位置關系的判斷的方法源于直線與圓的位置關系的判斷方法.代數法是比較常見的方法，學生比較容易想到；幾何法也是比較常見的方法，但是這與直線與圓的位置關系中的幾何法還是有區別的；生3的方法把判斷點與橢圓的位置關系的方法遷移到這里來；生4的方法源于課本一道例題，那里是把圓壓縮成橢圓，這里反其道行之.因此，精彩的生成背后，離不開精心的預設.

如何能做到精心預設？第一，一個好的數學問題應當具有較強的探索性.正如波利亞所說：“我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創新精神”.第二，具有一定的啟示意義.也就是說，應該有利于學生掌握有關的數學知識和思想方法.第三，具有多種解法.沖破定式思維，才能創造性的解決問題.

二、動態生成的精心預設的必然

課堂教學是一個動態的、生成的過程，再精心的預設也無法預料學生的全部的想法．在實際的課堂教學中，難免會發生意外的情況，教師對于學生的想法根本沒有預料到.一旦出現意外情況，教師要沉著冷靜，隨機應變，不能一味地朝著預設好的問題上引導，忽視學生的想法，而應該善于抓住學生的意外的“生成”，也許它將會成為我們課堂上的一個亮點!

案例2等比數列求和公式

師：相傳古代國王要獎賞國際象棋發明者，問他想要什么？發明者說：“陛下！您只要按照我的要求在棋盤上放滿麥粒就行了.在棋盤的第一個格子上放1粒，在第二個格子上放2粒，在第三個格子上放4粒，以此類推，放滿棋盤的64個格子即可”.國王心想：這個人不要金銀財寶，只要麥粒，這有什么難的.于是，國王立即下令按照發明者的要求放麥粒.請問：國王能夠滿足發明者的要求嗎？

教師給學生創設有趣的問題情境，讓學生帶著疑問去探究：國王到底要給發明者多少麥粒？這樣不僅激發了學生探究的熱情，而且主動投入到探究、討論中去.

生1：按照發明者的要求，放滿整個棋盤的麥粒總數為S=1+2+22+…+263①，

然后將上式兩邊同時乘以2，得2S=2+22+23+…+264②，

再②-①利用錯位相減法得2S-S=264-1,從而求出S.

這種方法是大部分同學的方法，因為課本上給出的推導等比數列求和公式的方法就是錯位相減法.但是，在交流展示的過程中，有一位同學給出了一種方法，令我們所有的同學都感到驚訝.

生2：放滿整個棋盤的麥粒總數為S=1+2+22+…+263，將上式改寫成1+2+22+…+263+264=1+2(1+2+22+…+263)，即S+264=1+2S,從而求得S.

這種方法可以說是本節課的意外的收獲，充分體現了學生思維的敏捷性和靈活性.與錯位相減法相比，顯得更容易接受和理解，不像錯位相減法顯得突然.所以，永遠不要低估學生的能力，只要留給學生充足、自由思考時間，你就會收獲意想不到的精彩.弗賴登塔爾說：“數學教學核心是學生再創造，即數學學習事實上不是機械去重復歷史中‘原始創造’，而應根據學生自己體驗，并用自己的思維方式重新創造有關數學知識．”因此，在課堂教學中，不可能完全按照教師的預設好的思路進行，只有生成的課堂中才是有生命力的.

三、生成與預設相輔相成

數學課堂教學的過程中既要重視學生學習知識的效率，又要注重學生在學習過程中的體驗過程和質量，但是生成對教學目標的完成各有利弊.所以，實際上我們的課堂教學一直在努力追尋預設與生成之間的一種和諧，準確地抓住生成的時機和資源，能夠在很大的程度上提高教學的有效性．

案例3交集、并集

創設情境：學校舉辦了排球賽，13理科1班61名同學中有12名同學參賽，后來又舉辦了田徑賽，這個班有20名同學參賽.已知兩項都參賽的有6名同學.兩項比賽中，這個班共有多少名同學沒有參加過比賽？

這是課本上一道習題改編的，既考慮到學生的最近發展區，又考慮到學生的學習興趣.教師想通過這樣一道題，精心為學生預設好本節課所要學習和掌握的知識.學生主要探究、討論什么是交集和并集？如何利用三種語言表示交集和并集？交集和并集有哪些性質？如果記A={參加排球比賽的同學}，B={參加田徑比賽的同學}，U={13級理科1班同學}，而且還能有一個意外的發現CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)，這就是一個很自然的生成.學生的思維如果繼續延伸下去的話，就應該能想到CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)，這就是偉大的摩根定律.當然有的同學也可能發現容斥原理Card(A∪B)=CardA+CardB-Card(A∩B).

所以，預設和生成是相輔相成的.我們的課堂教學不應只是為了完成教學任務，更應關注課堂預設與生成的關系，善于抓住學生的一些思維火花，多給學生展現自我的機會，激發他們強烈的學習數學的動機.在課堂教學中，教師能夠多一些高質量的預設，學生就會給你一些意想不到的生成，就會展現出課堂的精彩，就會把培養學生的數學學科核心素養的目標落到實處.