數(shù)列中那些常見的“錯”

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123)

林秋林

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個重點內(nèi)容，它是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸．在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們往往容易因為忽視細節(jié)或者對數(shù)列中的某些概念和公式的理解不透徹，對公式、性質(zhì)應(yīng)用不熟練，從而得到一些錯誤的判斷，使得思維進入一個個誤區(qū)．以下筆者對數(shù)列中的幾個易錯點加以剖析，希望能使學(xué)生從糾錯中得到進一步的提升．

錯誤一 忽略了n為正整數(shù)．

A．有最大項，沒有最小項

B．有最小項，沒有最大項

C．既有最大項又有最小項

D．既沒有最大項也沒有最小項

誤區(qū)診斷：上述解法忽略了數(shù)列中的項數(shù)n應(yīng)為正整數(shù)．

錯誤二 把數(shù)列當成一般函數(shù)研究，忽略了數(shù)列本身的特殊性．

例2 若an=n2+λn，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

誤區(qū)診斷：數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集N*(或有限子集{1,2,3,……,n})上的函數(shù).由于定義域不是連續(xù)的，所以數(shù)列的圖象是相應(yīng)的曲線(或直線)上橫坐標為正整數(shù)的孤立點集{(n,an)|n=1,2,3,…}．

正解：利用遞增數(shù)列的定義，由an-2n-1,對n∈N*恒成立，又(-2n-1)max=-3，故λ>-3．

錯誤三 忽略了遞推公式中n的取值范圍．

例3 (第27屆“希望杯”高一2試)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-1(n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

錯解一：(1)由an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1．

誤區(qū)診斷：錯解(1)中忽略了an=Sn-Sn-1是在n≥2時才成立，這個數(shù)列從第二項開始的各項構(gòu)成一個等差數(shù)列，實際上這個數(shù)列{an}的首項a1=0破壞了這一規(guī)律．

誤區(qū)診斷：(2)中忽略了an-an-1=2在n≥3時才成立，因為沒注意到這一細節(jié)，從而產(chǎn)生錯誤．

錯誤四 忽視題中的隱含條件．

誤區(qū)診斷：題中“從第10項起開始大于1”中的“開始”兩字說明a9≤1，要注意挖掘題中的隱含條件．

錯誤五 對公式結(jié)構(gòu)理解錯誤．

誤區(qū)診斷：對等差數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)理解錯誤.由等差數(shù)列前n項和公式可得其結(jié)構(gòu)為An2+Bn形式，其中A、B為常數(shù).

錯誤六 忽略公比為“-1”的情況．

例6 (第23屆“希望杯”高一2試)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．給出下面3個命題：

(2){an}不可能同時具有最大值和最小值；

(3)S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30,…構(gòu)成等比數(shù)列.

其中真命題的個數(shù)是( )．

A．0B．1C．2D．3

誤區(qū)診斷：若{an}為q=-1的等比數(shù)列，若m為偶數(shù)，則Sm=0，此時Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…不能構(gòu)成等比數(shù)列．

正解：令an=(-1)n(n∈N*)可知(2)錯誤，此時有S10=S20-S10=…=0，從而(3)也錯誤，選A．

錯誤七 忽略公比為“1”的情況．

2017年夏，我們在廬山認識了李汝慶先生。他的祖父李祥卿，曾參與廬山別墅群的修建，他家的“李廣記營造廠”比宋子文岳父的“張興記”還要早得多。20世紀60年代，李汝慶先生還與赫赫有名的王震將軍結(jié)下不解之緣。已經(jīng)88歲高齡的李汝慶先生，頭腦清醒，思路清晰，記憶力也很好。他告訴我們，他已連續(xù)8年從廣州來到廬山度夏。在廬山，他領(lǐng)我們?nèi)ぴL祖父當年留下的遺跡，看合面街他家的舊址，指點“李廣記營造廠”當年建造的別墅。在他租住的屋內(nèi)，李老連續(xù)數(shù)日講述了李氏家族起伏跌宕的歷史和他奇特的人生際遇。

例7 (人教必修4課本習(xí)題)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列．

誤區(qū)診斷：當q=1和q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式不同，應(yīng)分開討論.

錯誤八 通項與末項沒分清楚，導(dǎo)致項數(shù)搞錯．

例8 求和：2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*)．

誤區(qū)診斷：利用數(shù)列的求和公式,關(guān)鍵是確定它的項數(shù)．這里錯把23n+10當成通項，從而導(dǎo)致錯誤．事實上，23n+10是數(shù)列的第(n+4)項，應(yīng)該是求其前(n+4)的和才對．

錯誤九 類比問題中不知其所以然．

例9 對于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1=0，s,t是互不相等的正整數(shù)，則有(s-1)at=(t-1)as”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個正確命題：．

錯解：若{bn}是等比數(shù)列，b1=0，s,t是互不相等的正整數(shù)，則有(s-1)bt=(t-1)bs.

由于高中的數(shù)列問題與高等數(shù)學(xué)的部分知識有著緊密的銜接關(guān)系，故數(shù)列向來深受高中命題者的喜愛．小到平時的月考，大到高考，都有部分命題者精心設(shè)計的數(shù)列題得分率不高，原因就在于一些題目中被設(shè)置了如同上述的誤區(qū)，使得不少學(xué)生在不知不覺中就“中招”了．本文主要以部分常見的數(shù)列題型為例點出常見“錯誤”的所在，旨在能使學(xué)生就此避開這些“錯”，進而在數(shù)列題上不失分．