橢圓中一定點定值問題的推廣與拓展*

江蘇省海門中學 (226100)

渠懷蓮

數學思維新方法的解題表，指出分解和重組是思維的重要過程．分解題目即將題目中的條件的不同部分分開，并研究每一個部分本身，關注更細微的枝節，將題目分解完之后，我們可以嘗試將這些元素以一種新的方式重新組合起來，構建一個相關問題或是新問題．G.波利亞在《怎樣解題》一書中提出了怎樣解題的四個步驟：1.理解題目；2.擬定方案；3.執行方案；4.解后反思．以2017年及2015年江蘇復賽試題簡答題(三)為例，展現對問題的分解與重組的一般操作手法．

1.試題呈現

(1)直線l是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由;

(2)過P,Q兩點分別作橢圓的切線，兩條切線交于點B，求ΔBPQ面積的取值范圍．

2.試題的通式

(1)直線l是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由；

(2)過點P,Q兩點分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求ΔMPQ面積的最小值．

所以ΔMPQ面積的最小值為

3．試題的拓展

拓展1 分解問題的條件與結論，逆命題依然成立.

拓展2 條件進一步弱化，重組問題變為開放型試題.

(b2+a2λ2)x2+2λta2x+a2(t2-b2)=0．

4．結語

根據高中數學競賽試題的特點，從組織數學探究活動著手，訓練和培養數學競賽解題思維能力．多方位探索解題途徑，培養解題思維的靈活性.深入地思考發現數學問題的本質，培養解題思維的深度，辨析和對比轉換問題，培養解題的批判性，積淀數學解題策略，切入解決問題的普適性，提升問題拓展引申的能力.