巧引促思，有效落實“有序思考”的目標

○張 霞 殷文翠

編者按：學生是否具備有序思考的能力，對后續學習具有相當重要的作用。本文例舉了關于有序思考目標落實方面的一些問題，針對不同情況進行詳細分析，并給出了有效的教學建議。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》總目標中“數學思考”一項指出，“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。”讓學生學會獨立思考，是數學課程培養學生創新能力的核心，而學會思考的重要方面之一是學會數學思維。關于數學思維方式有很多種，如轉化思維、逆向思維、對應思維、假設思維等，無論哪一種思維方式，都需要做到有序思考。

所謂有序思考，就是按照一定的順序對對象進行排列組合，使其既不遺漏，又不重復，進而獲得正確結論的思考方法。學生在數學課堂上能否有序思考是發展數學思維的重要因素，是提高學生數學素養的重要抓手。因此，我們在教學實踐中，應該做到巧引促思，有效落實“有序思考”的教學目標。

【教學片段】

冀教版二年級下冊第八單元《探索樂園》

師：老師要請兩名同學到前面來，和老師合影。如果我們站成一排，可以照出幾張不同的照片？

生：老師在中間，A同學在左面，B同學在右面。

生：A同學在中間，老師在右面，B同學在左面。

生：老師在最右面，A同學挨著老師，B同學挨著A同學。

……

（教師根據學生的匯報，進行板書。）

師：同學們，這樣找是不是比較亂，有沒有更好的方法呢？

生：老師在中間，A同學、B同學在兩邊。A同學在中間……B同學在中間……

師：對，先固定中間，再交換就不會亂了。

【診斷分析】

根據教學目標，本課學習搭配的落腳點應是“認識有序思考的重要性”，以上教學片段很顯然是沒有達到這個目標的。教師雖然設計了給三個人照相這樣一個有序的活動，但欠缺的是教師對學生有序思考的引導。

案例中學生的匯報是隨意的，想到一種說一種，爭著回答。從第二種方法開始，學生每說出一種方法，教師都要問：“這種方法有了嗎？”然后師生共同查找后才能板書不同方法。在這一過程中，學生的學習狀態已經游離，他們把注意力放在找不同的方法上，而忽略了這一活動內容的重要目標。教師板書后雖有引導“這樣找是不是比較亂，有沒有更好的方法”，應該是意識到了有序思考的重要性。但是，接下來從學生與教師的互動交流中，發現師生始終強調的是“固定中間法”。當然“固定中間法”是一種策略，但是按照我們從左到右的書寫習慣，是不是應該先固定排頭呢？這不僅是一種思考習慣的引導，還能為后續學習“數字的排列組合”打下有序思考的基礎。

【教學建議】

數學知識的形成要經歷從簡單到復雜、由抽象到具體的過程，對學生進行有序思考的培養也要經歷這樣一個循序漸進的過程。教師要結合知識本體的特點，恰當引導學生進行有序的思考。

案例中教師提出“老師要請兩名同學到前面來，和老師合影。如果我們站成一排，可以照出幾張不同的照片”這個問題后，可以先讓學生想一想，兩個人照相會有幾種不同的排法，讓學生感悟到由于順序不同排法就不同的道理。在此基礎上，再來思考三個人的排列。為了避免學生進行無序的排列，教師可以適時引導：老師排在第一位不動，有幾種方法？A同學排第一位呢？B同學排第一位呢？

在第一個活動的時候，當學生混亂表達出4種排列方法后，教師可以順勢引導學生有序思考：指定一人不動，另一人分別在他前面、后面、左面、右面，共4種方法（一般不會前后站位照相，所以是2種）。兩個人的我們會排列了，那三個人怎樣有順序的排列呢？可以提示學生思考：如果媽媽排在第一位不動，有幾種方法？爸爸排第一位呢？聰聰排第一位呢？在這種思維的引導下，學生可以把隨意的想法按照一定順序嘗試，“既不重復，又不遺漏”的排列規則自然地滲透到課堂學習中，學生潛移默化地就能逐漸養成有序思考的習慣。最后匯報交流時，教師可以引導：“寫名字太慢了，我們能不能用一種簡單快速的記錄方式呢？”學生會想到用編號或是符號代替人名，板書出來。這樣，運用實體的有序排列、借助數學表征滲透有序思考的方法的同時，還對學生滲透了符號思想。

【教學片段】

冀教版一年級下冊第四單元《認識人民幣》

師：用這些1角、2角、5角的紙幣湊出1元錢，看看哪組找到的方法多？

（學生小組實踐操作，利用紙幣找方法。）

師：哪組同學愿意分享你們的方法？

生：3張1角，1張5角，1張2角，3+5+2=10。

生：1張5角，1張1角，2張2角，5+1+4=10。

……

師：你們湊錢時是怎樣想的？

生：我先拿一張，不夠1元，再拿一張，不夠，再拿，一直拿到夠1元。

師：有沒有更快的方法呢？

生：先拿面值大的，再拿面值小的，湊得快。

師：你們真有辦法，都能很快湊出1元錢。

【診斷分析】

在湊錢的過程中，學生的思維是隨著操作順序進行的，如果拿紙幣的順序是混亂的，學生大腦中就不會形成清晰的思考方法。這位教師操作前提出的要求是“用這些1角、2角、5角的紙幣湊出1元錢”。學生操作時，是憑感覺一張一張去湊，完全是無序的。從后面的匯報中也可以看出，由于教師沒有對學生有序操作的引導，才導致學生思考無序，就是在隨意湊1元錢。可見課堂上學生有序思考能力能否得到培養和提升，教師的引導至關重要。教師提出的每一個問題，每一個要求，都要考慮到學生思維的發展，做到精心設計。

【教學建議】

課堂上，教師要充分發揮好組織者、引導者的作用，操作前設計好探究性的問題，有意識地引導學生一步步帶著問題去有序操作。如:

（1）用這些1角、2角、5角的紙幣湊出1元錢，你想怎樣湊？（預設：這時學生的想法應該就是教學片段中呈現的無序想法。）

（2）你們的想法不錯，能湊出1元錢，但是很慢，而且容易重復。（設計意圖：教師肯定了學生的想法，同時又提出這一做法的不足。）

（3）想一想，怎樣湊，才能有序地把所有方法都湊出來呢？（設計意圖:以明確的語言指導學生做什么，怎么做。）

在以上問題的引導下，學生自然要先動腦思考，再動手操作，使他們的操作帶有思考性。有了這樣的思考，學生就能選擇不同面值有序地去操作湊錢。如可以按照面值由大到小的順序思考，先從面值最大的5角考慮：5+5=10、5+2+2+1=10、5+2+1+1+1=10……有了一定的思路，課后即便離開紙幣，學生也能在頭腦中形成有序、完整的思維表象，建立有序的思維方法，促進有序思考習慣的養成。

【教學片段】

冀教版二年級下冊的一道練習題

師：由數字1、4、6組成兩位數，而且這個兩位數的十位和個位上的數字不同，可以組成幾個兩位數？

生：能組成6個，分別是 14、41、16、61、46、64。

師：你是怎樣想的？

生：我先選出兩個數組成一個兩位數，再交換位置。

師：你很聰明！其他同學有不同想法嗎？

生：我是隨意組的，組成一個寫出來，如果有重復的就不寫了。

師：你們覺得他的方法怎么樣？

生：有點亂，不如第一種方法簡單。

師：那我們就用第一種方法解決這個問題吧！

【診斷分析】

此題屬于“搭配”部分教學內容的拓展練習，重在考察學生是否具備了有序、全面思考的能力。教學片段中，當學生提出“有點亂”時，教師沒有抓住這一有利的生成資源，及時引導學生探尋有序的思考方法，而是順應學生意愿，肯定了第一種方法。很顯然教師只注重了結果而忽略了此題本身對學生思維的訓練。三個數字的排列對于二年級學生來說比較簡單，都能想出來，但是極少有學生會有序地排列出來。如果以后隨著數字的不斷增加，如四個數字組成兩位數或組成三位數，學生還用這樣的方法去隨意地思考，就無法做到全面準確，很容易遺漏或重復。

學生的思維從無序走向有序的最佳階段就在低年級，因此，教師一定要在教學過程中結合教學內容，把握時機對學生進行引導，培養有序的思維方式。

【教學建議】

在數學課堂上，教師有序示范是學生有序思考的保證，組織學生進行有序的活動是學生有序思考的前提，同時，教師還要對學生進行有序的引導，讓學生有序的表達。因此，此題可以這樣引導：

（1）如果十位上是1，可以組成幾個兩位數？分別是多少？（目的是為學生提供一個“有序示范”的引導。）

（2）按照這樣的方法去思考，把能組成的兩位數都寫出來，看共有幾個。（讓學生有序排列。）

（3）觀察排列結果，總結方法:每個數字在十位上，都能組成2個兩位數，三個數字就能組成2×3=6（個）兩位數，我們給這種思考方法起一個名字，就叫“固定十位法”。（總結提升）

（4）質疑：固定個位法行不行？試試看。（活躍思維）

（5）你覺得哪種方法更方便、更簡潔呢？（優化方法）

這樣不僅能幫助學生形成有序的思維方式，還能依據讀數、寫數習慣優化策略，促進其后續學習及思維能力的發展。