高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧指導(dǎo)

山東省莘縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 王沛賢

作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)模塊，排列組合問題是高中階段與實(shí)際生活聯(lián)系最緊密的知識(shí)點(diǎn)，但是在具體的解題過程中，仍然要求學(xué)生具有一定的抽象性思維。我們?cè)诮虒W(xué)的過程中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生技巧、思路方面的指導(dǎo)，提升學(xué)生解題效率。

一、全方位發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

高中數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，不斷挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。一般情況下，具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的學(xué)生也會(huì)具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維方式優(yōu)化能力，因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是提升高中生數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)鍵之處。每個(gè)具體的高中數(shù)學(xué)問題往往都可以歸納到某一種題型當(dāng)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生將各種題型構(gòu)建成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在這個(gè)數(shù)學(xué)模型的框架里面將具體的數(shù)學(xué)問題一一解決。為了有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師應(yīng)該在教學(xué)過程中有意識(shí)地強(qiáng)調(diào)思維能力的重要性，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例1 在某場(chǎng)籃球比賽中，一共有12名隊(duì)員參賽，其中有5名是主力球員，要求主教練從這12名隊(duì)員中挑選出5名隊(duì)員首發(fā)上場(chǎng)，但是選出的5名隊(duì)員中至少包括4名主力球員，同時(shí)要求主力隊(duì)員甲和非主力隊(duì)員乙不能同時(shí)作為首發(fā)隊(duì)員上場(chǎng)，那么一共有多少種選擇方法？

上述問題明顯是需要進(jìn)行分類的題型，要求學(xué)生在做題過程中分類時(shí)不重復(fù)，也不出現(xiàn)遺漏。學(xué)生進(jìn)行分類的時(shí)候應(yīng)該圍繞主力隊(duì)員甲展開，那么布陣方式可以分成兩種：第一種：主力隊(duì)員甲一定上場(chǎng)，則：（1）上場(chǎng)5名主力隊(duì)員，有種上場(chǎng)方式；（2）上場(chǎng)4名主力隊(duì)員和1名非主力隊(duì)員，有種上場(chǎng)方式。第二種：主力隊(duì)員甲不上場(chǎng)，剩下的四名主力隊(duì)員就要全部首發(fā)，然后從7名非主力隊(duì)員中挑選一個(gè)人上場(chǎng)，有種上場(chǎng)方式。最后，根據(jù)分類加法原理得：共有+·+=32種選擇方式。

二、有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式

作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，排列和組合問題在生活中的應(yīng)用十分廣泛，是學(xué)生在今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)的重要理論基礎(chǔ)。邏輯推理能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要能力之一，排列組合問題中涉及了映射、集合、方程、分類以及等價(jià)轉(zhuǎn)換等多種數(shù)學(xué)思想，可以在一定程度上鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。排列組合問題的題型多種多樣，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性，學(xué)生在具體的做題過程中可以在一定程度上體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方式的奇妙之處，教師可以及時(shí)從旁進(jìn)行引導(dǎo)，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考數(shù)學(xué)問題的能力，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問題的興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣。

例2 一層樓梯共有10級(jí)，某人一步可以上一級(jí)或二級(jí)，如果這個(gè)人用八步走完這10級(jí)樓梯，一共有多少種走法？

這一問題是一個(gè)生活實(shí)際問題，解決起來有一定的困難，要求學(xué)生具備一定的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)簡(jiǎn)單的小問題進(jìn)行解決。上述問題可以轉(zhuǎn)化為：把10級(jí)樓梯分成8組，每組一級(jí)或二級(jí)，可能的分法有多少種？可以先每組一級(jí)，再將剩下的兩級(jí)分到這八組中的任意兩組，那么就一共有=28種分法。

三、階段性探索學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律

高中階段是學(xué)生心理走向成熟的重要過程。每個(gè)人的心理發(fā)展都是由低水平逐漸向高水平發(fā)展的，連續(xù)性和有序性是學(xué)生心理發(fā)展的主要特點(diǎn)，在這一發(fā)展過程中，教師應(yīng)該在教學(xué)過程中及時(shí)了解學(xué)生的心理特征，循序漸進(jìn)地給予學(xué)生適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維方法引導(dǎo)，幫助學(xué)生不斷地由具體思維過渡到抽象思維。除此之外，教師需要根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展?fàn)顩r，將數(shù)學(xué)知識(shí)的講解和數(shù)學(xué)心理體系聯(lián)系起來，合理地指導(dǎo)學(xué)生開展教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，進(jìn)而逐漸構(gòu)建起完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。一般情況下，分類加法原理、分步乘法原理是解決有序排列組合問題。而對(duì)于無序的組合問題，常常會(huì)采用捆綁、插孔等技巧，這類問題相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生可能會(huì)在學(xué)習(xí)中遇到困難，甚至?xí)驌糇孕判摹＝處煈?yīng)該加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，幫助學(xué)生完善知識(shí)體系。

例3 初一（2）班要從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名代表班級(jí)參加4×100米接力，要求甲隊(duì)員和乙隊(duì)員都不跑第3棒，那么一共有多少種參賽策略？

高中階段的學(xué)生遇到的排列組合問題往往存在一定難度，學(xué)生在解決過程中可能會(huì)遇到一些困難。教師應(yīng)該在幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，只有這樣，才能使其在遇到新情境問題的時(shí)候及時(shí)采取靈活的方式進(jìn)行應(yīng)對(duì)，進(jìn)而真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生解決問題能力的顯著提升。