探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的運(yùn)用

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陸 曄

初中生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，難免會(huì)遇到不少難點(diǎn)、疑點(diǎn)問(wèn)題，需要采用一些特殊的方法來(lái)解決，促進(jìn)他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用反例是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，教師引導(dǎo)學(xué)生從反方向思考和分析復(fù)雜難懂或異于正常思維的問(wèn)題，深化他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與認(rèn)知，且具有培養(yǎng)縝密思維、提升逆向思維及提高整體學(xué)習(xí)效率的作用。

一、巧妙運(yùn)用反例教學(xué)，幫助學(xué)生深化理解概念

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中涉及的概念較多，有的概念簡(jiǎn)單易懂，有的則抽象難懂，極易產(chǎn)生混淆現(xiàn)象。概念是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的理論支撐，貫穿于學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，假如難以清晰牢固地掌握概念，容易致使解題錯(cuò)誤，要想幫助他們深化理解數(shù)學(xué)概念，可巧妙運(yùn)用反例教學(xué)法。因此，初中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中，除列舉一些正面例子之外，還可以引領(lǐng)學(xué)生從反面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，幫助他們準(zhǔn)確掌握概念的內(nèi)在聯(lián)系。

諸如，在進(jìn)行單項(xiàng)式概念教學(xué)時(shí)，大部分學(xué)生都認(rèn)為這一數(shù)學(xué)概念比較簡(jiǎn)單易于理解，教師可設(shè)計(jì)問(wèn)題：與都是單項(xiàng)式嗎？要求他們以小組為單位進(jìn)行自由討論，有的組員認(rèn)為它們都是單項(xiàng)式，有的則認(rèn)為它們不是單項(xiàng)式，看法與觀點(diǎn)較多。此時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生深入分析和研究單項(xiàng)式的概念，即為“由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式”，他們可據(jù)此準(zhǔn)確地判斷出屬于單項(xiàng)式，能夠轉(zhuǎn)變成；而則 不是單項(xiàng)式，雖然可以轉(zhuǎn)變成，但是x是未知數(shù)，分母不確定，不一定成立。之后，教師直接引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察單項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，包括abc、m2、5n、-3xy、0等，使他們深化認(rèn)識(shí)單項(xiàng)式是由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩部分組成的。

概念教學(xué)可謂數(shù)學(xué)的基石，數(shù)學(xué)概念因其科學(xué)性強(qiáng)，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔抽象往往讓學(xué)生感覺(jué)難以理解。傳統(tǒng)的方法教師即使旁征博引，精心組織，很多學(xué)生仍然對(duì)一些概念如墜霧中，不明就里。而上述案例，教師羅列反例，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)與理解單項(xiàng)式的概念，能夠促使他們掌握這一數(shù)學(xué)概念的外延與內(nèi)涵，在后續(xù)學(xué)習(xí)中可以更加清晰地分析與判斷。

二、合理利用反例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生縝密邏輯思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象性學(xué)科，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，在解答部分題目時(shí)，只有思維縝密，才可以徹底全面地解決問(wèn)題，假如思維出現(xiàn)紕漏影響解題的準(zhǔn)確度。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)合理利用反例教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性，針對(duì)一些容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)著重培養(yǎng)他們的思維能力，使其條理清晰地分析與理解。同時(shí)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不能僅僅憑借表面結(jié)論就停止學(xué)習(xí)，而是要深入培養(yǎng)學(xué)生的縝密邏輯思維。

比如，在學(xué)習(xí)代數(shù)式的值時(shí)，教師可設(shè)置一個(gè)判斷類(lèi)的數(shù)學(xué)命題“針對(duì)任意自然數(shù)n而言，代數(shù)式n2-n+11一定是質(zhì)數(shù)”，學(xué)生往往會(huì)采用代數(shù)法來(lái)驗(yàn)證命題是否成立，代入一些特殊的自然數(shù)，像0、1、2、3、4、5……等，以此進(jìn)行計(jì)算和驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)該命題始終成立，直至代入到10時(shí)結(jié)論都正確。通過(guò)大量自然數(shù)的代入和檢測(cè)，學(xué)生將會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)正確的命題，不過(guò)思維漏洞在無(wú)形中出現(xiàn)。此時(shí)，教師列舉反例，當(dāng)n=11時(shí)，代入式子可得：112-11+11=121-11+11=121，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)121不是質(zhì)數(shù)，所以該命題不成立。當(dāng)然，也可以讓學(xué)生繼續(xù)代入其他自然數(shù)來(lái)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=12時(shí)，該代數(shù)式的值為143，同樣不是質(zhì)數(shù)，n=27時(shí)也不是質(zhì)數(shù)，更加證明該命題不成立。

學(xué)生思維能力的培養(yǎng)絕非一朝一夕，也并非急功近利就能實(shí)現(xiàn)的，它需要我們教師在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中采用多種方法，對(duì)學(xué)生不斷潛移默化地滲透。上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生合理利用反例進(jìn)行嚴(yán)密的思考與分析，才可以真正判斷出數(shù)學(xué)命題是否正確，指引他們學(xué)會(huì)從多個(gè)角度與方面探究問(wèn)題，使其思維變得愈加全面和綜合。

三、科學(xué)采用反例教學(xué)，鍛煉學(xué)生逆向思維能力

反例即為從逆向角度分析和探究問(wèn)題，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，假如一直按照固定的思維模式學(xué)習(xí)與思考，將會(huì)限制學(xué)生的思維空間，無(wú)法掌握逆向思維會(huì)給他們帶來(lái)較大的困難。當(dāng)學(xué)生遇到一些復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，雖然從正面思考難以解決，但是采用逆向思維往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果，借助反例將其推翻。這就要求初中數(shù)學(xué)教師科學(xué)采用反例輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生基于逆向角度分析和思考問(wèn)題，鍛煉他們的逆向思維能力。

例如，命題證明判斷是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)題型，屬于學(xué)生認(rèn)為難度較大的題型之一，如果按照正向邏輯思維模式進(jìn)行推理，解題過(guò)程將會(huì)變得異常復(fù)雜，給他們的學(xué)習(xí)帶來(lái)極大困擾。如：命題“假如2x+y=0，則x=y=0”，需要進(jìn)行嚴(yán)密推理，判斷這一數(shù)學(xué)命題是假命題。教師指引學(xué)生從逆向角度出發(fā)，采用簡(jiǎn)單的列舉反例可以輕松推翻該命題，僅僅需要找出x≠0或y≠0情況下，且滿足條件2x+y=0，就能夠輕松推翻命題，借此證明該數(shù)學(xué)命題是一個(gè)假命題。如果學(xué)生從正面角度分析該命題，即為采用正常的邏輯思維進(jìn)行推理，問(wèn)題的突破點(diǎn)極難找出，證明過(guò)程更是異常復(fù)雜，他們很難證明這一命題是假命題，甚至?xí)?dǎo)致思維更加混亂，影響解題效率。

學(xué)生的逆向思維能力是學(xué)生綜合思維品質(zhì)的重要體現(xiàn)，它對(duì)于促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升，優(yōu)化思維品質(zhì)具有重要意義。為此，教師要運(yùn)用多種途徑，采用各種方法培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生的逆向思維能力。在上述案例中，教師利用反例形式組織學(xué)生判斷命題，要求他們站在逆向角度展開(kāi)分析和討論，可以簡(jiǎn)潔、輕松地得出證明結(jié)果，使其樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)的自信。

總而言之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師需善于借助反例的優(yōu)勢(shì)展開(kāi)教學(xué)，重新整合與設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生深化理解數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)他們的縝密邏輯思維與逆向思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與解題效率，推動(dòng)他們數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的提高。