例談中考題中的一元二次方程根與系數(shù)的關系

文季 偉

在中考中，韋達定理作為一元二次方程的重要考點，其考查的方式也是多種多樣的，但萬變不離其宗。現(xiàn)在就讓我們一起走進南京中考，看看近年來韋達定理在中考題中的風采。

一、已知兩根，求系數(shù)

例1 （2017·南京）已知關于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=__；q=______。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將兩根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組進行求解；第二種，運用根與系數(shù)的關系，在本題中x1+x2=-p，x1·x2=q，直接賦值求解即可。

【答案】4，3。

【點評】知道一元二次方程的兩個根，我們可以有兩種方法去求方程的系數(shù)：一種是代入轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，另一種是通過根與系數(shù)的關系進行求解。很明顯，第二種方法比起第一種方法更為高效。而這也顯示了學習根與系數(shù)的關系對于求方程的系數(shù)所帶來的高效性。

二、已知一個根與一個系數(shù)，求另一個根與另一個系數(shù)

例2 （2015·南京）已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則它的另一個根是_____，m的值是_____。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將已知根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，先求m的值，再求另一個根的值；第二種，運用根與系數(shù)的關系，在本題中x1·x2=3，可以先求出另一個根的值，再通過x1+x2=-m，求出m的值。

【答案】3，-4。

例3 （2019·南京）已知2+ 3是關于x的方程x2-4x+m=0的一個根，則m=___。

【解析】本題可以有兩種解法：第一種，將根的值直接帶入原方程，轉(zhuǎn)化為一元一次方程進行求解；第二種，運用根與系數(shù)的關系，在本題中x1+x2=4，先求出另一根的值，再通過x1·x2=m，求出m的值。

【答案】1。

【點評】已知一元二次方程的一個根與一個系數(shù)，要求另一個根與系數(shù)，可以有兩種方法：第一種，通過代入一個根，先求出另一個系數(shù)，再對另一個根進行求解；第二種，通過根與系數(shù)的關系，先求出另一個根，再對另一個系數(shù)進行求解。當根的值較復雜時，如例3中根的值為2+ 3，直接代入會造成運算的復雜，運用根與系數(shù)的關系去求，在計算上會便捷很多。

三、已知兩根的關系式和一個系數(shù)，求另一個系數(shù)

例4 （2016·南京）設x1、x2是方程x2-4x+m=0的兩個根，且x1+x2-x1x2=1，則x1+x2=______，m=_____。

【解析】本題給出了兩根的關系式，但沒有明確給出兩根的值，仔細觀察關系式，發(fā)現(xiàn)直接運用根與系數(shù)的關系可以得出，x1+x2=4，x1·x2=m，代入關系式求解即可。

【答案】4，3。

【點評】題目中給出了兩根的關系式，表面上我們只有一個關系式，但實際上通過根與系數(shù)的關系，我們可以得到三個與兩根有關的關系式。通過將題目所給關系式轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關系式進行求解，將未知化為已知，即可求出另一個系數(shù)的值。

四、已知兩根的關系式和一個系數(shù)，求兩根

例5 （2018·南京）設x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=1，則x1=______，x2=______。

【解析】本題給出了兩根關系式，通過觀察可直接運用根與系數(shù)的關系得m=x1+x2=1，再代入原方程，求出兩根。

【答案】3，-2。

【點評】題目中給出了兩根的關系式和一個系數(shù)，要直接求出兩個根有一定困難。但通過根與系數(shù)的關系，我們可以得出另一個系數(shù)的值，將方程完整地表達出來。最后通過解方程，求出方程的兩個根。

通過上述例題，我們可以看出，在解一元二次方程根與系數(shù)關系題目時，需注意以下兩點：

1.若題目中給出了根或系數(shù)，要求未知的根與系數(shù)，可以有多種方法，但運用一元二次方程根與系數(shù)的關系，可以使得求解過程更加簡單高效；

2.若題目中給出的是兩根的關系式，要求根或系數(shù)，則可從一元二次方程根與系數(shù)的關系式出發(fā)，將題目中的關系式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的關系式進行求解。