立足二次方程概念 梳理判別式要點

文熊冬平

一、要點梳理

要點一：一元二次方程根的判別式。

一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式：

（1）當b2-4ac＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；

（2）當b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；

（3）當b2-4ac＜0時，一元二次方程沒有實數根。

要點詮釋：

利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a，b，c的值；③計算b2-4ac的值；④根據b2-4ac的符號判定方程根的情況。

要點二：一元二次方程根的判別式的逆用。

在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中：

（1）方程有兩個不相等的實數根?b2-4ac＞0；

（2）方程有兩個相等的實數根?b2-4ac=0；

（3）方程沒有實數根?b2-4ac＜0。

要點詮釋：

（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，不能忽略二次項系數不為0這一條件；

（2）若一元二次方程有兩個實數根，則b2-4ac≥0。

二、典型例題

一元二次方程根的判別式的應用。

例1 已知關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。

【思路點撥】已知方程有兩個不相等的實數根，即b2-4ac＞0，得到關于k的不等式，從而求得k的范圍。

【解析】a=1，b=2k+1，c=k2+1。

b2-4ac=（2k+1）2-4（k2+1）=4k-3。

∵關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實數根，

∴4k-3＞0。

【總結升華】我們應熟練掌握一元二次方程根的判別式與根之間的對應關系，同時要注意書寫格式。

拓展已知關于x的一元二次方程x2+（m+2）x-m2+m+1=0。

（1）求證：不論m為何值，該方程總有實數根；

（2）當方程有兩個相等的實數根時，求m的值及方程的根。

【解析】（1）證明：∵a=1，b=m+2，c=-m2+m+1，

∴b2-4ac=（m+2）2-4（-m2+m+1）=5m2≥0。

∴不論m為何值，該方程總有實數根。

（2）解：∵方程兩個實數根相等，

∴b2-4ac=0。

即5m2=0，m=0。

當m=0時，原方程為x2+2x+1=0。

解得：x1=x2=-1。

例2 已知關于x的方程mx2-（m+2）x+2=0。

求證：不論m為何值，該方程總有實數根。

【思路點撥】我們應注意本題并沒有說方程是一元二次方程，也沒有說方程有兩個實數根，因此二次項系數可以為0，也可以不為0。

【解析】①當m=0時，原方程為一次方程，此時x=1，

∴當m=0時，方程有實數根；

②當m≠0時，b2-4ac=［-（m+2）］2-4×m×2=（m-2）2，

∵（m-2）2≥0，

∴方程有實數根。

綜上所述，無論m為何值，該方程總有實數根。

【總結升華】（1）應用判別式的條件是方程為一元二次方程，當二次項系數為字母時，應注意系數不為0；

（2）應用判別式應將方程化為一般形式；

（3）注意有實根和有兩個實根的區別。

拓展已知關于x的方程kx2-（k+2）x+2=0。若k為任意實數，判斷方程根的情況并說明理由。

【解析】①當k=0時，-2x+2=0，x=1。

②當k≠0時，b2-4ac=［-（k+2）］2-8k=（k-2）2。

∴當k=0時，方程有一個實數根；

當k=2時，（k-2）2=0，方程有兩個相等的實數根；

當k≠2且k≠0時，（k-2）2＞0，方程有兩個不相等的實數根。