千舉萬變 其道一也
——關(guān)于一元二次方程的根與系數(shù)的考題研究與策略分析

文陳 緩

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是中考必考點。主要有三種考查方式：一是一元二次方程的求解；二是根與系數(shù)的關(guān)系；三是一元二次方程的實際應(yīng)用。重點在于根據(jù)題意找出等量關(guān)系。下面針對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，從教材例題出發(fā)，結(jié)合中考題變式，進行剖析。

例（蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第22頁）求下列方程兩根的和與兩根的積：x2+2x-5=0。

【解析】該方程是一元二次方程的一般形式，分別寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的值a、b、c，利用韋達定理可得x1+x2

解：設(shè)方程x2+2x-5=0的兩根分別是x1、x2，

【點評】對于“給定方程，求根”的問題，“給定方程”就是“給定系數(shù)”，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

變式若方程x2-6x+8=0的兩根是某直角三角形的兩直角邊的長，則斜邊長為_____。

【解析】方法不一，首先利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到接下來，可以利用完全平方公式求出=（x1+x2）2-2x1·x2。我們還可以利用配方法或因式分解法求出x1，x2的具體值，再利用勾股定理求直角三角形的斜邊長。

解：設(shè)方程x2-6x+8=0的兩根分別是x1、x2，

∵a=1，b=-6，c=8，

【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、勾股定理的應(yīng)用，以及因式分解法求一元二次方程的根。同學(xué)們還可以嘗試不同方法，如求出直角三角形的兩直角邊的具體長度，本題依然可以迎刃而解。

除了以上不含參數(shù)的一元二次方程，中考數(shù)學(xué)常常聚焦于含參數(shù)的類型。

題型一：含參數(shù)的一元二次方程中，已知方程的根，求參數(shù)。

變式鏈接已知3是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個根，則m=______。

【解析】運用一元二次方程根的定義，可以將3代入方程中得到關(guān)于m的一元一次方程，然后求出m即可。

解：把3代入方程中得，

32-4×3+m=0，

解得m=3。

故本題正確答案為3。

【點評】本題考查一元二次方程根的定義。我們可以直接將3代入方程，從而將關(guān)于x的一元二次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的思想。

題型二：含參數(shù)的一元二次方程中，已知方程兩根的關(guān)系，求兩根的值。

變式鏈接設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=5，則x1=_，x2=_____。

【解析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合x1+x2=5可得出m的值，將其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出結(jié)論。

解：由題意得，

∵x1+x2=5，∴m=5，

∴原方程可化為：x2-5x-6=0，

解得x1=6，x2=-1（順序可交換）。

【點評】解決該類問題時，重在把握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系式，借助“橋梁”m和兩根的關(guān)系，將原方程轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的方程，進而求出方程的解。

題型三：含參數(shù)的一元二次方程中，已知方程的一根，求另一根和參數(shù)值。

變式鏈接已知方程x2-6x+m=0的一個根是2，則它的另一個根是____，m的值是___。

【解析】已知一元二次方程的一個根，根據(jù)兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，可求出另一個根；再利用兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比，可求出m。

解：設(shè)x1，x2是方程x2-6x+m=0的兩個根，且x1=2，則

2+x2=6，2·x2=m，

可得x2=4，

∴m=2·x2=8，

即m=8。

故本題正確答案為4，8。

【點評】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，萬變不離其宗，只要掌握關(guān)系式，分別確定根的值以及參數(shù)的值，便可得解。