一元二次方程的“前世今生”

文曹 丹

一元二次方程是指含有一個未知數且未知數的最高次是二次的整式方程。一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），是最為人所熟知的數學知識之一。人類在很早以前就學會了解一元二次方程的方法，如在公元前2000年左右，一元二次方程及其解法已出現于古巴比倫人的泥板文書中；埃及的紙草文書中也涉及最簡單的二次方程，例如：ax2=b；大約在公元前480年，古代中國人已經學會使用配方法去求得一元二次方程的正根，但沒有提出通用求解的方法；希臘的丟番圖在解一元二次方程的過程中，只取其中的正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他也只取其中之一；公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根法國的韋達發現除已知一元方程在復數范圍內恒有解外，還給出根與系數的關系；著名科學家牛頓在其《普遍的算術》中指出，判別式值等于0、大于0及小于0分別表示該方程具有等根、實根和虛根。這些方程解的探索過程讓人類逐步發現了一些能夠解決一元二次方程的通法，如現在的配方法、求根公式以及因式分解法等。

人類在探索一元二次方程解法的過程中，并沒有停止開拓與聯想，很早之前他們就開始了對高次方程解法的研究。首先是從一元二次到一元三次，但解一元三次方程的研究過程顯得異常艱難，進展非常緩慢。直到16世紀，一位意大利的數學家尼柯洛·馮塔納找到了解一元三次方程一般形式的求根方法。在當時盛行的數學對抗比賽中，馮塔納利用自己解一元三次方程的方法快速地戰勝了對手。但他并沒有公開方法，不過他的行為刺激了另一個意大利人卡爾丹諾。卡爾丹諾多次通過各種方式向馮塔納求教方法，馮塔納用一種極其隱晦的語言把解一元三次方程的解法變相告訴了卡爾丹諾，并讓卡爾丹諾發誓不泄露出去。不過卡爾丹諾很快就徹底破解了馮塔納的秘密，并將三次方程解法公之于眾。因此世人就把這種求解方法稱為“卡爾丹諾公式”。值得一提的是，雖然卡爾丹諾剽竊了馮塔納的方法，但其中也包含著卡爾丹諾自己獨特的創造和見解，并不是全部照抄。