淺析初中數(shù)學(xué)反例教學(xué)實(shí)施的具體運(yùn)用

謝常盛

（廣西欽州市浦北縣安石中學(xué)，廣西 浦北 535327）

反例教學(xué)法是教師呈現(xiàn)少數(shù)且典型的例題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判的一種行之有效的教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，反例和證明同等重要。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)亻_發(fā)和利用精煉、典型、具有針對(duì)性的反例，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成，幫助學(xué)生全面掌握鞏固課堂知識(shí)，也能讓學(xué)生在歸納、提煉的過程中發(fā)展多種思維能力，做到快速正確地處理問題，解決問題。因此，教師應(yīng)將反例教學(xué)法積極地運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，開辟數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地。

一、運(yùn)用反例教學(xué)的目的要明確

反例教學(xué)的目的性強(qiáng)，教師在教學(xué)過程中使用反例意欲何為要清晰，想通過列舉的反例讓學(xué)生掌握什么知識(shí)點(diǎn)要明確。教師在列舉反例時(shí)要有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)，在學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律下，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和重難點(diǎn)問題選擇出典型性強(qiáng)、富有啟發(fā)意義的反例。

例如，筆者在教學(xué)二次函數(shù)時(shí)，為學(xué)生列舉了一個(gè)反例“已知二次函數(shù)y=mx2-2x+3的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m 的取值范圍。”很多學(xué)生片面套用公式，一味計(jì)算Δ=b2-4ac=4-4m×3≥0，得出結(jié)果為“m≤1/3時(shí)，與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn).”這樣一來，便正好落入筆者的圈套，筆者設(shè)置這個(gè)反例的目的就在于提醒學(xué)生要關(guān)注題設(shè)的隱含條件，y=mx2-2x+3為二次函數(shù)，因此m≠0這一前提切不可忽視。若是在教學(xué)過程中，筆者只是信手拈來幾個(gè)反例，讓學(xué)生練習(xí)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的公式計(jì)算，完全達(dá)不到反例的神奇效果。有目的性的反例教學(xué)不僅讓學(xué)生掌握了所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，還讓學(xué)生深刻了解到所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)及延伸。這樣反例能使學(xué)生澄清是非，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤原因，獲得正確認(rèn)識(shí)和解題方法。

二、運(yùn)用反例實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的互動(dòng)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。如，堅(jiān)持以“學(xué)生為本”，從學(xué)生的具體情況及特點(diǎn)出發(fā)，采用適用于學(xué)生的教學(xué)方法，以促進(jìn)教學(xué)效率提高。在具體的教學(xué)中，教師還要能夠適當(dāng)運(yùn)用反例教學(xué)，以實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的互動(dòng)，從而創(chuàng)造寬松、自由的教學(xué)環(huán)境，使學(xué)生能夠在快樂的課堂氛圍中積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，真正做到“在快樂中學(xué)習(xí)”，以提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。同時(shí)，教師要能夠全面把握每個(gè)學(xué)生的具體情況，積極為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些反例教學(xué)情境，從而使學(xué)生能夠建立起平等、和諧的關(guān)系，并勇于思考和提問，實(shí)現(xiàn)其個(gè)人能力的快速提升。另外，教師還要積極肯定學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性及進(jìn)步，并給予適當(dāng)?shù)墓膭?lì)，使學(xué)生更加有動(dòng)力和自信，去展示自我的才能，并學(xué)會(huì)通過反例，來彌補(bǔ)自身學(xué)習(xí)的不足之處。

三、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，可以去偽存真，釋疑解惑

因構(gòu)造反例在辨析錯(cuò)解中具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，所以舉出反例在揭露錯(cuò)誤時(shí)有特殊的威力。平常的教學(xué)實(shí)踐使我們深深地認(rèn)識(shí)到：構(gòu)造反例，辨析錯(cuò)解，不但可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解中的漏洞，而且可以從反例中得到修補(bǔ)的啟示，進(jìn)而獲得正確的解答途徑。

例：求關(guān)于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0兩實(shí)根平方和的最大值。

設(shè)原方程有兩實(shí)根x1，x2，由韋達(dá)定理得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-（k+5）2+19，可知當(dāng)k=-5，兩根平方和有最大值19，初看起來，運(yùn)算沒有錯(cuò)誤，而且學(xué)生會(huì)認(rèn)為韋達(dá)定理運(yùn)用得非常正確。而事實(shí)上學(xué)生在應(yīng)用的時(shí)候忽略了韋達(dá)定理運(yùn)用的前提是保證方程有實(shí)數(shù)根。這時(shí)候就可以讓學(xué)生通過列舉反例：當(dāng)k=-5時(shí)，判別Δ=-11<0，原方程沒有根。

這一反例說明了原解法是錯(cuò)誤的，造成失誤的原因是忽略了兩根必須是實(shí)根的條件，因此也就給出了正確的解法應(yīng)該是Δ=[-（k-2）]2-4（k2+3k+5）=-（k+4）（3k+4）≥0，解得-4≤k≤- 時(shí)，原方程有實(shí)根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知當(dāng)k≤-4時(shí)，兩實(shí)根平方和有最大值是18。

通過這樣的反例使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了自己錯(cuò)誤的解法，而且加強(qiáng)了對(duì)韋達(dá)定理的認(rèn)識(shí)和理解。

四、反例具有對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)功能

美國哲學(xué)家士·拉卡托斯指出：“整個(gè)數(shù)學(xué)理論體系本身就是通過理論不斷批判和反駁而生長，通過理論的更新和競爭而取得進(jìn)展的。”要對(duì)錯(cuò)誤的理論進(jìn)行批判和反駁，反例則是強(qiáng)大的武器，然而批判和反駁是一種創(chuàng)造。因此，構(gòu)造反例的過程就是一種創(chuàng)造過程，在教學(xué)中長期訓(xùn)練構(gòu)造反例的能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力是大有裨益的。

例如：“兩邊和其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)命題為假命題，要推翻它，就必須構(gòu)造反例。

構(gòu)造圖形的過程就是動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)眼的創(chuàng)造性過程。打破學(xué)生對(duì)全等三角形的正面認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)非全等三角形模型的建構(gòu)行為，無疑對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維有重要的作用。

尋求反例是從命題對(duì)應(yīng)的角度去考慮問題，逆向思維具有求導(dǎo)性、廣闊性、嚴(yán)密性等思維特征，當(dāng)習(xí)慣于正向思維時(shí)，思維方向的改變能突破固有思維模式，開拓新的探索途徑，這正是教學(xué)中必須重視運(yùn)用反例的主要原因。

五、實(shí)施反例教學(xué)要注意的問題

（一）注意反例教學(xué)的引入

根據(jù)學(xué)生年齡、生理及心理特征，以及所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的不完整性，有時(shí)還不具備獨(dú)立系統(tǒng)地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會(huì)不夠全面，在教學(xué)過程中要注意反例教學(xué)引入的合理性和可行性。

（二）注意反例教學(xué)的構(gòu)建

教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)建不是唯一的，這就需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有深刻、透徹的理解，并調(diào)動(dòng)他們?nèi)康臄?shù)學(xué)功底，充分展開想象，因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生思維發(fā)揮和訓(xùn)練過程。

六、總結(jié)

總而言之，反例教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要教學(xué)形式，其簡明、直觀、說服力強(qiáng)的優(yōu)勢更容易被中學(xué)生接受。因此，教師應(yīng)積極、恰當(dāng)?shù)匕逊蠢虒W(xué)運(yùn)用于課堂教學(xué)之中，提高學(xué)生的思維能力，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，從而讓我們的初中數(shù)學(xué)課堂在對(duì)比、鑒別中別開生面。