逆向思維在初中數學解題教學中的應用

史曉婷

(河北省保定市滿城區坨南鄉中學，河北 保定 072150）

數學教學對學生的思維訓練，是一項長期而艱巨的任務。數學教師要結合教材內容引導學生開展逆向思維，提高思維的深刻性和靈活性，使學生的潛能得到充分的發揮。

一、逆向思維對初中數學教學的有利影響

當前，很多初中數學教師在教學過程中更多的受應試教育的影響，大多存在知其然不知所以然的現象，在題目講解過程中過多的注意學生的解題結果，忽視了學生的解題過程，這種單一的對學生所學知識點的橫向或者縱向的考察很難使得學生的解題能力得到實質性的提高。所以，幫助學生養成良好的解題反思習慣，有助于提高學生對所學知識點結構系統性回顧，加強學生自身的問題拓展能力和問題聯系能力。在不斷地反思解題方式中，讓所學知識點不在孤立的存在，促進學生形成系統的認知結構。

二、初中數學逆向解題思維的應用分析

（一）逆向思維在定理數學以及基礎定義公式中的應用

明確概念的最為主要的兩個要素就是外延和內涵，這兩者之間是反比的關系，內涵較少則外延就會相對較廣，內涵豐富那外延就會較小，數學的概念也是這樣的。在概念的教學過程中，深入剖析概念的外延以及內涵的基礎時，就得讓學生通過應用逆向思維的方式來體會概念存在的必要條件以及充分條件。

相比較于定義來說，學生在解題的過程中使用公式的頻率較高，所以，教師在講解公式的時候應用逆向思維就非常的有必要了。在現實的教學過程中，要想深入的了解數學公式，往往都是通過應用逆向思維的推導。例如，我們大多數人都熟悉的平方差公式；a2-b2＝（a＋b）（ab），如果只是單純的使用語言來描述：兩個數的平方差與這兩數之差和兩數之和的積，那學生理解以及掌握起來是非常困難的，記憶公式的牢固性也是非常差的，也許轉眼就能忘記，而讓學生應用反向推導的原理，（a＋b（a-b）除去括號就變成a2-ab＋ab-b2，最后結果就是a2-b2，這樣學生在理解平方差公式的時候就有著雙向的理解，在公式的使用過程中也不會僅憑借這自身的記憶來進行，并且，在學生記憶混淆的時候，還可以自己迅速的推導來獲得正確的結論，在學習復雜的公式是，這種方法尤其適合。例如學生在不知道a3-b3是等于（a-b）（a2＋ab＋b2）還是等于（a-b）（a2-ab＋b2）的時候就完全可以臨時通過簡單的計算，看看那個式子可以計算出a3-b3，的出結果后就可以繼續進行解題了。

（二）在概念教學中滲透逆向思維

概念是初中數學教學的基礎環節，沒有概念就沒有數學知識，對于學生數學思維的形成具有非常重要的影響。在數學學習過程中，學生總是習慣于從左到右，這就會形成一種定勢思維，如果反過來用的話就會感覺很不習慣。在此背景下，教師在授課過程中除了為學生講授定義的基本內容及其拓展應用之外，還應當注重引導學生進行逆向思維的訓練，加深對定義的印象，全面掌握定義的內容。如，在講授“同類項”時，筆者為了讓學生對同類項的概念加深理解，提出了以下兩道問題：①當k＝？時，2xky與-3x2y是同類項；②已知4xmy4-x2y是同類項，則2m-n＝?。一開始，學生在課堂上無從下手，于是，筆者就引導他們進行逆向思考，從而得出k＝2，2m-n＝0的結論。在一些幾何知識中，有的概念是能夠互相進行正反推理的，即，平行四邊形定義通過它的性質推導也可以得到。需要注意的是，有的時候，學生會因為對一些原命題的逆命題不能把握，從而導致出現一些錯誤，在“同角的余角相同”時，有的人則會認為它的逆命題是“如果是同角，那么就相等”，這樣的思路錯誤，因為學生沒有判斷內在的條件和結論，只是單純地取反。因此，在日常教學中，教師應當引導學生對概念進行深入剖析，然后著進行逆向思維的訓練。

（三）在數學解題的過程中應用逆向思維

在對數學定義以及定義等應用基本的逆向思維時，學生就可以在解決復雜的數學問題時更加的輕松，最為突出的兩種方法就是反證法、分析法以及舉反例法；反證法是通過應用逆向思維來進行解答數學題目的，這就得對所要證明的結論先假設其不成立，在對這個假定的條件來進行正確的邏輯推理，并最后得出一個與之不符的結論來推翻之前的假設，進而使得之前所要證明的結論得到確認；分析法就是從命題的結果來推理已知條件的方法，這種方法對學生的逆向思維有著極大的鍛煉的作用，分析法的基本內容主要就是執果索因，還有一個關鍵就是該命題的解題過程是一個可逆的過程；舉反例法主要就是在一個數學的命題中給出另一個命題，并且判斷其是錯誤的，給出一個條件，這條件滿足該錯誤命題但結論卻不能成立的方法就是舉反例法，這種方法對學生的逆向思維鍛煉也是有著較好的促進作用。例如，學生在解答已知方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其兩根之和是S1，兩根的平方和是S2，兩根的立方和是S3，然后求aS3＋bS2＋cS1的總和。在解答這道題的時候，很多學生在第一時間很可能就會使用a、b、c來進行繁瑣的運算來計算出S1、S2、S3的值，最后帶入算出aS3＋bS2＋cS1的值，這種方法不僅花費的時間長，學生還可能在這么繁瑣的過程中出現計算錯誤，導致最后的結果錯誤。如果在解題的過程中應用逆向思維，增強學生的思維能力，引導學生進行猜想，S1、S2、S3之間是存在著一定的聯系的，學生可以通過這些聯系來進行化簡，這就使得復雜的運算簡單化，并以此得出正確的結果，避免了學生走很多彎路，也節省了解答題目的時間。

三、結語

逆向思維在初中數學的應用遠不止于此，范圍十分廣泛。廣大數學教師應當開闊思路，抓住學生數學思維發展的關鍵期，培養他們的數學思維以提升整體的水平，發散其解題思路，最終將學生培養成為創新型的高素質人才。