淺談定積分的有關問題

趙青波

（三門峽職業技術學院 公共教學部，河南 三門峽 472000）

定積分是一種抽象概念，一般可以分為定積分與不定積分這兩種不同方式。定積分可以理解為某一個具體的數值，然而，不定積分一般是指函數表達方式，定積分與不定積分在數學上是一種非常密切的關系。

一、關于定積分概述分析

某一個連續性函數都會存在定積分與不定積分，如果在有限的間斷點的條件下，定積分肯定存在，如果處于跳躍間斷點條件下，原先的函數一般都不會存在，在這種條件下不定積分也不會存在。關于不定積分內容：例如在已經知道導數的情況下去求解原函數。定積分屬于微積分的范疇，微積分是高等數學教學中研究函數的重要內容，定積分是求導數運算的重要理論。不論是函數、速度或者加速度、曲線中的斜率都可以用通用的符號對其進行討論和分析。定積分能夠有效解決天文學、物理學中存在的各種問題[1]。近幾年，定積分的應用范圍越來越廣泛，在定積分發展過程中常常遇到很多嚴密性的問題得不到有效解決。很多著名科學家在研究定積分方面都投入了很多時間與精力，但是并沒有從本質上有效解決這些非常嚴密性的問題。定積分內容復雜、混亂，很多科學家在研究定積分時常常受到希臘幾何學的局限性，隨著定積分內容越來越豐富，很多嚴密性問題逐漸得到解決。法國著名數學家柯西在研究定積分中取得了很大發展成就，在這位著名數學堅持不懈努力的基礎上誕生了具有重要轉折作用的極限理論，自此以后定積分逐漸走向了嚴密發展的方向，并且在一定程度上有效推動了數學的快速發展。

二、定積分發展過程

（一）定積分準備階段

定積分最早出現在17世紀中期，這是古希臘燦爛文化發展鼎盛時期，數學也是在這個古希臘輝煌時期下發展形成。最初定積分在發展過程中主要圍繞“求積問題”核心思想進行發展，“求積問題”中有兩個非常重要的內容不可忽視：首先，求平面圖形中的面積與曲面包圍形成的體積[2]。其次，在靜力學中計算物體的重心與液體產生的壓力這些內容，歐洲著名天文學家開普勒的觀點認為，幾何圖形大部分都是由無窮個同維數的小圖共同組合而成，通過使用一些特定方法把這些不同類型的圖形面積或者體積加起來就可以計算出來幾何圖形中的面積，計算面積使用的都是一些無窮無盡的小方法，定積分發展到17世紀中期時，就開始形成了一種“分割求和”與無窮小的發展觀點來就積，定積分的快速發展使得“分割求和”與無窮小的方法已經開始得到普遍應用，并且在一定程度上對定積分穩定向前發展提供了重要基礎。定積分誕生之后在一定程度上對數學的快速發展也會產生很大影響，以往很多數學中紛繁復雜的問題在很長很長時間都得不到解決，通過使用定積分能夠很好的解決這些問題。由此就可以說明定積分的重要意義，定積分在漫長發展的道路上積累了很多數學的心血，在大量研究的成果上逐漸發展起來的，最后都是由少數數學家通過深入、研究、總結才形成了完整的定積分[3]。然而，很多人在享受定積分帶來的巨大經濟效益時，在研究誰是創建這么學科時，引起了巨大反響，在一定程度上逐漸形成了部分數學家流派之間出現了對峙，這對定積分的發展帶來了一定局限性。以至于在很長一段時間里得不到快速發展，站在數學發展的角度分析來說，到了19世紀，出現了一批杰出的數學家，他們積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲學家波爾查諾，他曾著有《無窮的悖論》，明確地提出了級數收斂的概念，并對極限、連續和變量有了較深入的了解。

分析學的奠基人，法國數學家柯西在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數學史上劃時代的著作。在那里他給出了數學分析一系列的基本概念和精確定義。在一定程度上造成了數學發展過程中遇到了各種發展瓶頸[4]。其中牛頓與萊布尼茲在定積分發展過程中作出了卓越貢獻，牛頓創立定積分理論要比萊布尼茲創立的理論要先進很多，然而，在正式發表定積分這一理論時還是存在著很多問題，在研究定積分過程中要比其他理論使用的時間更加長久、早期研究定積分過程中還存在很多不足之處，這些問題在一定程度上對定積分的發展將會產生很大影響。定積分在發展過程中柯西這位著名數學做出了非常重要的貢獻，在一定程度上有助于推動數學的快速發展，引起了越來越人的關注和重視，這為完善定積分內容提供了重要基礎保障。德國很多數學家在研究定積分是構造了一些不同類型的函數理論，然而，在構造過程中卻沒有連續曲線，顯然這種曲線理論與直觀觀念上還是存在很大差距。在研究定積分過程中極限價值理論也發揮了重要作用。

（二）定積分創立階段

牛頓與萊布尼茲等科學家對定積分概念創立具有起著重要作用。牛頓在很早以前就開始研究微積分，很早以前的微積分被稱為“無窮小分析”，之所以會產生這樣稱呼，主要是微積分發展發展基礎是依據無窮小概念上，“無窮小”是當時微積分的主要稱呼，牛頓創造的“流體法”內容中把那些不確定、變動性非常的量統稱為“流量”，由于“流量”自身體積小，因此又被稱為“無窮小量”這些不同變量變化率一般被稱為“流數”，假設使用小點的方式來表示流數。例如，x與y表示不同類型變量，x與y與時間之間的留數，可以用曲線f(x,y)=0，在某一個定點處切線斜率一般是指x留數與y留數之間比，以此為依據導出x對y就可以用x流數與y留數比，可以用來表示。在求曲線中的切線時還可以通過縱坐標和橫坐標之間的差值比的方式，求和與求差運算中的可逆性還可以用dy來表示曲線上相鄰點中的縱坐標差。通常情況下，用來表示這些差和，在中明確可以指出，“∫”代表著和，字母d代表差，在求和過程中的積分是微分的逆向過程，用更加準確的語言可以說就是定積分。

（三）定積分完成階段

處于19世紀前期的微積分邏輯發展基礎還存在很多不足之處，經過眾多數學家的不懈努力重于完成了微積分的理論基礎，柯西這位著名數學家運用極限的方式給出了積分的定義，在他對微積分認識的理論基礎上明確指出“∫”不能單單理解為一個和式，關于和式公式：，假設處于一直減小狀態時，Sn達到的最后極限值就是S，這個S就是指函數f(x)在區間[x0,x]上的定積分，

三、定積分應用

（一）定積分在數學幾何中的應用

幾何是一種抽象的概念，幾何知識點一般都比較零碎。在分析幾何中平面圖形這節課時，一定要綜合其他各方面因素去考慮。平面圖形屬于幾何圖形范疇，一般是指很多點都在同一個平面上組成的各種不同形狀的圖形。比較常見的有三角形、平行四邊形、直線都屬于平面圖形[5]。在日常生活中的幾何圖形一般都是由點、線、面組合而成的幾何圖形。例如，計算平面圖形面積：

解答：橢圓中Ox軸與Oy軸兩者是一種垂直交叉的形狀，并且是一種對稱關系，在對其進行計算時，只需要計算出來處于第一象限的面積，再乘以數字4就能夠求得出整個平面圖形面積，這里的面積用S來表示。在這個公式中，可以把y作為一個積分變量，這個y積分變量變化區間是[0，a]，在這種條件下就可以得出這樣一個公司：，把

當a=b=R時，就可以得出橢圓面積。

以上這個公司就是橢圓的面積，在解答這類曲線時有幾個重要問題需要注意：（1）利用公司先求出來曲線中的交點，（2）通過求出的交點再畫出曲線，（3）應用合適的積分變量在一定程度上能夠讓整個運算變得更加簡便。

（二）應用定積分計算旋轉體積

解答：

假設，a=b=R，在這種條件下就可以得出R球的體積

（三）定積分來應用計算橢圓球體面積

假設，a=b=R，就可以得出R橢圓球的體積：

（四）定積分應用

在應用定積分計算X軸與Y軸圍繞形成的體積時，先分析什么是拋物線。拋物線一般是指平面內中某個定點F與一條直線i距離兩者相等的點形成的軌跡，表示拋物線的方法有很多種，可以用參數或者標準方程來進行表示，拋物線在幾何光學與力學中具有重要意義[6]。拋物線屬于圓錐曲線范疇，準確的說是圓錐面和平行于某一條線得出的一種曲線，通過把拋物線在合適的坐標進行變換可以看做是一種二次函數圖像。拋物線是平面中部分陣線與焦點相同距離的點形成的軌跡[7]。拋物線的另外一種描述可以作為圓錐截留面，圓錐形表面與其平行的另外一個交點共同組成，對稱軸也是進行定積分應用中的重要內容。一般情況下，與準線垂直通過焦點之后形成的線一般被稱為對軸線。對稱軸與拋物線交叉形成的點被稱為“定點”，定點與焦點兩者之間的距離被稱為“焦距”[8]。拋物線可以多方向進行延伸，如果拋物線y=x2，直線x=2，使用x軸圍成的平面圖形，分別繞x軸、y軸進行旋轉之后形成的體積

總結：通過使用定積分公式能夠詳細計算出來橢圓形體積面積。