在數(shù)列教學中的研究性學習的應用

鄭雄鷹

（江西省德興市第一中學，江西 上饒 334200）

在現(xiàn)階段高中數(shù)學課堂教學中，根據(jù)新課程教育改革要求，在數(shù)列知識教學中，將研究性學習應用在數(shù)列知識教學中，讓學生通過多角度、多層次掌握和學習數(shù)列知識，并且獲得較好的教學效果。而且，通過研究性學習進行教學，既能培養(yǎng)學生的逆向思維、發(fā)散思維以及創(chuàng)新意識，還能提升學生深入研究問題的能力，幫助學生養(yǎng)成正確的學習習慣，進而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)[1]。

一、高中數(shù)列概念

數(shù)列作為函數(shù)的一種特殊體現(xiàn)方式，對數(shù)學的定義域和值域進行定義，而且體現(xiàn)出定義域在正整數(shù)集N或者有限子集內(nèi){1，2,3，………，n}的函數(shù)，其中{1，2,3，………，n}是不能省略的。另外，數(shù)列通過函數(shù)的思想可以表達出來，按照列表法、圖像法以及解析法，利用通項公式求解出數(shù)列和遞推公式數(shù)列。

在數(shù)列知識中，包括等差數(shù)列和等比數(shù)列。在等差數(shù)列知識學習時，主要學習等差數(shù)列通項公式、等差中項、前n項和以及等差數(shù)列性質(zhì)。在等比數(shù)列知識學習時，主要學習等比中項、等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系以及等比數(shù)列性質(zhì)。圍繞以上數(shù)列概念進行教學時，教師應根據(jù)教學內(nèi)容融入研究性學習方法，幫助學生快速理解和掌握數(shù)列知識。在下文中，將研究性學習的應用過程進行介紹，為數(shù)列課程教學中研究性學習應用過程提供參考依據(jù)。

二、培養(yǎng)學生運用類比、可逆思想提出問題能力

在培養(yǎng)學生運用類比、可逆思想能力，對問題進行解答時，教師可以利用實際例題進行教學，讓學生通過實際例題提升數(shù)列知識應用能力。

例題1：已知數(shù)列{an}的前n項和為（1）Sn=2n2-n（2）Sn=n2+n+1，求數(shù)列{an}的通項公式。在解答這道例題時，應注重學生類比、可逆思維能力的培養(yǎng)，具體求解過程如下：（1）當n=1時，a1=S1=1，當n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3，將檢驗n=1時，a1=1也適合，所以an=4n-3；（2）當n=1時，a1=S1=3,當n≥2時，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）=2n，所以，an=3時，n=1，an=2n時，n≥2。

在對該例題講解時，當n在不同條件下時，學生掌握等差數(shù)列出現(xiàn)變化的因素，并按照類比的思想，引導學生通過該例題的學習積極的聯(lián)想，讓學生在逆向的思維中學習下一個數(shù)列知識。

例題2：設a,b,c,d均為非零實數(shù)，（a2+b2）d2-2b(a+c)d+b2+c2=0，求證a,b,c成等比數(shù)列，并且公比為d。解題過程如下，關(guān)于d的二次方程（a2+b2）d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有實根，所以公式=4b2（a+c）2-4（a2+b2）（b2+c2）≥0，則b2-ac=0，即b2=ac，所以非零實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列。設公比為q，則b=aq，c=aq2代入（a2+a2q2）d2-2aq（a+a q2）d+ a2q2+a2q4=0，因為（q2+1）a2≠0，即d2-2qd+ q2=0，即d=q≠0。

在解答該例題時，為求證d為公比，應根據(jù)等比數(shù)列概念，將非零實數(shù)組成的公式進行求解，而且在逆向思維的幫助下，學生可以快速完成題目解答。

在上述兩道例題解答過程中，教師應引導學生對解答過程提出問題，因為提出一個要比解答一個問題更重要。而且，通過類比的方法，讓學生展開聯(lián)想，使學習到的數(shù)列知識應用在題目解答中，進而提升學生提出問題的能力。

三、培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力，提升學生拓展問題的能力

由于數(shù)列知識具有較強的抽象性，根據(jù)教材內(nèi)容講解該知識時，學生可能無法掌握和理解。而且，根據(jù)新課程教育改革要求，培養(yǎng)學生的思維發(fā)散以及拓展問題的能力，是提升學生數(shù)學解題能力重要的途徑。在綜合應用數(shù)列知識時，將與生活有關(guān)的問題融入數(shù)列知識，讓學生通過實際問題的解答過程，幫助學生提升解題能力[2]。

例題3，一對夫婦為給孩子支付將來上學的費用，從孩子出生開始，每年生日會為孩子存儲a元，時間為一年。假設年利率為r保持不變，且每年到期時存款自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當孩子到18歲上大學時，將所有存款還利息全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？解答過程如下：將每年存入的a元到18年時產(chǎn)生的本息作為解題的入口，出生時a元到18年時變?yōu)閍（1+r）18,1歲生日時的a元到18歲時成為a（1+r）17,2歲生日時的a元到18歲時成為a（1+r）16……，直到17歲時a元到18歲時成為a（1+r），所以公式為a（1+r）18+ a（1+r）17+……+ a（1+r）

在解答該例題時，主要對學生的發(fā)散思維和拓展問題的能力進行培養(yǎng)，學生在特定的情景問題內(nèi)，可以更加容易掌握數(shù)列知識的應用。而且，還可以讓學生對具體問題產(chǎn)生深入探究的欲望，使學生對于生活實際有關(guān)的問題產(chǎn)生學習的興趣，引導學生可以將數(shù)列知識應用在實際問題解答過程中[3]。

四、增強學生的創(chuàng)新意識，提升學生的應變能力

教師在講解數(shù)列的綜合應用知識時，應重點講解疑難知識，并對以下知識點進行深入的剖析：一，首項為正（或負）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項和的最大（或最?。﹩栴}講解時，可以采用不等式公式an≥0，an+1≤0；二，要求學生掌握和理解等比、等差數(shù)列的概念、前n項和公式、通項公式。

例題4，大樓共n層，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到設在第k層的臨時會議室開會，問k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短（假設相鄰兩層樓梯長相等）。解題過程如下：設相鄰兩層樓梯長為a，則S=a（1+2+………+k-1）+0+[1+2+………+(n-k)]=a[k2-(n+1)當n為奇數(shù)時，取S值為最小值，當n為偶數(shù)時，取或值為最大值。

在該例題講解過程中，教師通過實際問題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，并在實際問題解答過程中，提升學生的應變能力。而且，在例題中將題目的條件和結(jié)論，具有的充要性和必要性特征表現(xiàn)出來，幫助學生對問題和結(jié)論總結(jié)出一般的規(guī)律，并在實際問題中將結(jié)論的相似性特點，讓學生可以運用到其它例題解答過程中。

結(jié)束語：

綜上所述，在新課程教育改革背景下，在高中數(shù)列知識課堂教學中，將研究性學習教學方法應用在該知識講解過程中，培養(yǎng)學生運用類比、發(fā)散思維等能力，同時增強學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，幫助學生形成良好的學習習慣，為今后的數(shù)學學習奠定堅實的基礎。